第四章 一次函数（12大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

第四章 一次函数 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、从函数图象中获取信息…………………………………………………………5 类型二、动点问题的函数图象…………………………………………………………18 类型三、一次函数的规律探究问题………………………………………………………26 类型四、分段函数与绝对值函数的应用…………………………………………………39 类型五、一次函数性质的应用…………………………………………………………53 类型六、一次函数的平移………………………………………………………………58 类型七、与一次函数有关的交点问题……………………………………………………66 类型八、一次函数背景下几何问题………………………………………………………71 类型九、一次函数应用—分配方案问题…………………………………………………100 类型十、一次函数应用—最大利润问题…………………………………………………107 类型十一、一次函数应用—行程问题…………………………………………………116 类型十二、一次函数应用—其它问题…………………………………………………127 知识点1．函数相关概念 （1）常量与变量 变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． （3）函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： （4）函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （5）函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． （6）函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （7）动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． （8）函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 知识点2．一次函数的概念 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点3．正比例函数的概念 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3.根据条件列一次函数关系式（难点） 知识点4．待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 知识点5．正比例函数的图象、性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 知识点6．一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 知识点7．一次函数图象的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 知识点8．一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)与一元一次方程kx+b=0(k,b为常数,k≠0)的关系 数:函数y=kx+b,函数值y=0时自变量x值是方程kx+b=0的解; 形:函数y=kx+b图象与x交点的横坐标是方程kx+b=0的解. 知识点9．两个一次函数图象的应用 在同一直角坐标系中,同时出现两个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息，一般出现在比如产量速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义。 类型一、从函数图象中获取信息 1．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（   ） ①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 本题考查动点函数的图像，掌握三角形的面积公式，函数图像的性质，理解函数图像上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】由图2可知：当H点由A点运动到B点时， ， ， 解得， 由图2可知：当H点由A点运动到B点用了， ∴H点的速度是， 故①正确； 由图2可知：当H点由B点运动到C点用了， ， 故②正确； 由图2可知：第到时H点由C点运动到D点， ，， ， ∴H点由D点运动到E点用了， ， 故③正确； 由图2可知：当H点由C点运动到D点用了， ， ， 当点 H 到达D点时， 故④正确； 故选：D． 2．如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图，解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．由直线解析式可知直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过两点，再根据的长即可得到的值． 【详解】解：如图1， 直线中， 令，则；令，则， ∴直线与坐标轴围成的为等腰直角三角形， ∴直线与直线平行，即直线沿轴的正方向平移时，同时经过两点， 由图2可得，当时，直线经过点， ∴， ∴， 当时，直线经过点， ∴当时，直线经过两点， ∴， ∴等腰中，， 即当时，， 故选：C． 3．根据素材，探索完成任务． 如何设计游览时间的方案？ 【素材1】 某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）． 【素材2】 小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像． 【素材3】 小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟． 问题解决 【任务1】 确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分． 【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？ 【任务3】 拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案． 共有____________种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟； 到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟； 回到景区大门时间：___________； 【答案】任务1：500米/分钟；任务2：小明13:44到达秀湖；任务3：    三，14:07，60，15:10，100，17:00 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息以及行程问题， 任务1：根据图二中提供的信息即可作答； 任务2：先确定有轨电车的出行规律，结合小明13：30到景区大门，依次顺延时间即可作答； 任务3：根据图二以及小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，即可确定13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园，再根据有轨电车的出行规律作出其出现在湿地公园、影视城的时刻表，再根据游玩的时间要求即可推出：两人最早离开湿地公园的时间是15:07，最早达到影视城的时间是15:10；最晚会在17:00到达景区大门，离开影视城的最晚时间是16:50，到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30，最晚离开湿地公园的时间是15:27，据此即可作答． 【详解】任务1：根据图二可知有轨电车一个循环耗时20分钟，行驶的距离为米， 则有轨电车的速度为：（米/分钟）， 任务2：有轨电车由景区大门抵达秀湖所花时间为：（分钟）， ∵最后一班有轨电动车19：00到景区大门，有轨电车一个循环耗时20分钟， ∴有轨电车在整点，整点过20分钟，整点过40分钟时均在景区大门， ∵小明13：30到景区大门， ∴小明13：40能在景区大门坐上有轨电车，经过4分钟的车程可以到达秀湖， 即：小明13：44到达秀湖； 任务3：由图2可知：小聪13:00从景区大门出发，13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园， 时刻表如下：（车的到站时间也是车的离站时间） 湿地公园 影视城 景区大门 14:07 14:10 14:20 14:27 14:30 14:40 14:47 14:50 15:00 15:07 15:10 15:20 15:27 15:30 15:40 15:47 15:50 16:00 16:07 16:10 16:20 16:27 16:30 16:40 16:47 16:50 17:00 17:07 17:10 17:20 两人一起游玩，则二人14:07到达湿地公园， 因为游玩的在湿地公园游览时间不少于50分钟， 所以两人最早离开湿地公园的时间是15:07， 则最早达到影视城的时间是15:10； 因为两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处， 所以两人最晚会在17:00到达景区大门， 所以两人离开影视城的最晚时间是16:50， 又因为在影视城游览时间不少于70分钟，最早达到影视城的时间是15:10， 所以两人到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30， 因为两人到达影视城的最晚时间是15:30， 所以最晚离开湿地公园的时间是15:27， 综上：总体方案有3种： 方案一：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:30离开，16:40回到景区大门； 方案二：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩100分钟，16:50离开，15:00回到景区大门； 方案三：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩80分钟，15:27从湿地公园出发，15:30达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:50离开，15:00回到景区大门； 即：共有三种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：14:07；在湿地公园停留60分钟； 到达影视城时间：15:10；在影视城停留100分钟； 回到景区大门时间：17:00． 4．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查函数函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图中信息可得两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得； （2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答； （3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差３千米，三种情况，即可解答． 【详解】（1）解：由图中信息可得两地距离为千米； 甲的速度：千米/时， ， 故答案为：；； （2）解：（小时）， （千米）； （3）解：当未到快递站时，； 当出快递站，； 当甲追乙差３千米时，， 综上，的值为或或． 5．问题背景：某农户要建进一个如图所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为 k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米． （1）设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为 米，可得y与x的函数关系式为： ． （2） 若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为 ． 问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上（下）平移个单位得到：受此启发，给定一个函数： 为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对 进行如下图象探索： 列表如下 1 2 3 4 3 （3） 请直接写出m， n的值： （4） 请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． （5） 请结合函数的图象，写出当x= ，y有最小值为 ； 学以致用 根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题： （6）y与x的函数关系式为 ． （7） 当水池底边长分别为 米时，水池总造价的最低费用为 千元； （8） 若该农户预算不超过5.5 千元，请直接写出x的值应控制在什么范围? 【答案】（1），；（2）；（3），；（4）见详解；（5），；（6）；（7），；（8） 【分析】 （1）水池的另一边长水池的底面积底面的一边长，把相关数值代入即可；水池的总造价侧面面积底面面积，把相关数值代入后化简即可； （2）水池的总造价侧面面积底面面积，把相关数值代入后化简即可； （3）把和3分别代入（2）得到的函数解析式，计算后可得到和的值； （4）描点，连线即可； （5）看图象的最低点所对应的横坐标和纵坐标即为为何值时，的最小值是多少； （6）水池的总造价侧面面积底面面积，把相关数值代入后化简即可； （7）根据函数是由函数向上平移2个单位得到，可得最低点的坐标为，那么可得水池底边长分别为1米时，水池总造价的最低费用为5千元； （8）根据函数是由函数向上平移2个单位得到，可得该农户预算不超过5.5千元，那么找到函数图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的的值即可． 【详解】 解：（1）水池底面一边长为米，底面积为1平方米， 水池的另一边长米； 底面造价为k千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米， ． 故答案为：，； （2）底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米， ． 故答案为：； （3）当时，； 当时，； （4） （5）由图象可得，当时，最小． 故答案为：1，3； （6）底面造价为3千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米， ． 故答案为：； （7）由函数平移的性质可得：函数是由函数向上平移2个单位得到的， 函数的最低点的坐标为， 函数的最低点的坐标为． 故答案为：1，5； （8） 该农户预算不超过5.5千元，函数是由函数向上平移2个单位得到的， 找到函数图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的的值即可． ． 【点睛】本题考查函数的应用．会根据函数图象得到关键点的意义是解决本题的关键．难点是用类比的思想得到关键点的信息． 6．如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是动点图象问题、图象面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． （1）由图象知，8秒时，相遇，此时扫过的面积图象中间变化1次，而的没有变化，故、在点相遇，由图2知，，即可求解； （2）分类讨论，根据三角形面积是底乘高乘，梯形面积是高乘上底加上下底的和再乘，进行列式计算，注意时间范围，即可作答． （3）与（2）过程类同，再令面积为在正方形中所夹图形面积S为5，即可列式代入数值作答． 【详解】（1）解：由图象知，8秒时，相遇， 此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇， 设正方形的边长为，则 由图2知，，解得：， 故答案为4； （2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则， 图3：，解得： ∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动 ∴ 同理， 当点在段时， 当点Q在段时， 则 ， 当点在段时， ； 综上， （3）解：由题意得：， 相遇前： 当Q在上，点P在上时，此时 当，则（舍去）； 当Q在上，点P在上时，此时 当，则 相遇后：当点在段时，如图， 设的面积为，梯形的面积为， 则正方形的面积为， ， 当点在段时， ； 当时， 令，，； 当时， 令，，（舍去）； 综上：或 类型二、动点问题的函数图象 7．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 8．如图，四边形是长方形，点从边上点出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点，最后沿运动到点，设点运动的路程为，的面积为，图是关于变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（    ） A． B．点为的中点 C．当时，的面积为 D．当时，长度的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，根据函数图象求出有关线段的长度逐一判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由题意知，当与重合时，，最大， 当点在上运动，逐渐减小，直至与重合时，则， ∴时，的最大值， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 由题意知，当时，点在上，，，如图， ， ∴， ∴点是的中点，故正确，不符合题意； 当时，与重合，连接， ∴，故正确，不符合题意； 作，延长交于，如图， 当时，点在上运动，， 即， ∵， ∴ 解得， ∴当时，长度的最小值即为的值，故错误，符合题意； 故选：． 9．如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，全等三角形的判定与性质，结合图形分析题意并解答是解题关键． 当点在上时，作于，证明与全等，得出，根据四边形面积公式计算即可；当点在延长线上时，作于，证明与全等，得出，根据四边形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，当点在上时，作于， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积为； 如图，当点在延长线上时，作于， 同理可证：，， ， 四边形的面积为； 故选：B． 10．图1，在中，，，点D是AC上一定点，点P沿边BC从点B运动到点C，连接PA，PD，设，．其中y关于x的函数图象如图2所示，则图2中函数 图象最低点的纵坐标m的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由图2数据可求AC、CD，作，，连接，交于点，，可由求EF，从而可求m； 【详解】：由图2，当时，P与C重合， ∴ ∴ 此时 ∴ 如图，作，，连接，交于点， 此时最小 ∵ ∴ ∴ ∴F与点D重合 ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关知识，结合图象数据判断特殊点位置，求出相关量，并合理构造辅助线是解题的关键． 11．如图1，在中，，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C．设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据函数图象中两个特殊点的位置的取值得到及，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点E为BC的中点， ∴， 由图象可得， 当时，，此时点与点重合， ∴，即①， 又由图象可得，当的最大值是， 此时点与点重合，即， ∵， ∴中，， 即②， 解①②得， 故选：D 【点睛】本题考查了三角形中的动点问题及函数图象，读懂函数的图象，从中获取有用的信息是解题的关键． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+m（m＞0）与直线y＝2x交于点4，与x轴交于点B，点O为坐标原点，点C在线段OB上，且不与点B重合，过点C作垂直于x轴的直线，交直线AB于点D，将△BCD沿CD翻折，得到△ECD．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则m＝ ． 【答案】 【分析】通过两直线的解析式，求出其交点A的坐标，且C点横坐标为m，此时CD直线应在A点的右侧，D点在直线AB上，故D点坐标（m，），重叠部分的面积可用m表示出来，将S= 代入公式，即可求出m的值． 【详解】解：直线y=2x与直线y＝− x+m交于点A（）， 由图2可知，当C点横坐标x=m时，重叠面积为S=， ∴此时CD直线应在A点的右侧，D点坐标（m，）， ∴重叠部分面积：S＝•m•＝， 将S=代入上式，得：m=， 解法二：观察图象可知，当C是OB的中点时，重叠部分的面积是，此时E与O重合， ∴×m×=， ∵m＞0， ∴m=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，数形结合并将重叠面积用m进行表示是解题的关键． 类型三、一次函数的规律探究问题 13．如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】解：∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴在直线上， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标，且在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， 即：的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 用同样的方法可得： 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，规律型：点的坐标，有理数乘方的应用，列代数式等知识点．正确地找出点的横坐标的规律是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【分析】延长交轴于，交轴于，根据等边三角形的性质得，，，直线的解析式为，得，由直线的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长． 【详解】解：延长交轴于，延长交轴于，    ，，均为等边三角形， ，，， 直线的解析式为：， ， 对于直线，，当时，， 点的坐标为， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， ， ， 同理得：，， 以此类推，第个等边三角形的边长为， 第2020个等边三角形的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质找出第个等边三角形的边长为是解题的关键． 15．已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，代入，可得出的值，利用三角形的面积公式可求出的值；分别代入求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故答案为：；1；． 16．设直线（）与坐标轴围成的直角三角形的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，依次把代入一次函数解析式，求得与坐标轴的交点，进而求得三角形的面积，找到三角形的面积的变化规律，相加计算即可求解，找到三角形面积的变化规律是本题的关键． 【详解】解：当时，一次函数为，与轴的交点为，与轴的交点为，； 当时，一次函数为，与轴的交点为，与轴的交点为，； 当时，一次函数为 ，与轴的交点为，与轴的交点为，； ； 当时，一次函数为，与轴的交点为，与轴的交点为，； ∴， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则△的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“）（n为正整数）”是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找出的坐标，结合图形即可得知点是线段的中点，由此即可得出点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：观察，发现：，，，，， …，）（n为正整数）． 观察图形可知：点是线段的中点， ∴点的坐标是，（n为正整数）， 的面积是， 的面积， 故答案为：． 18．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， ∵分别过点作轴的垂线交直线于点， ∴点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点， ∴ ， 故答案为： ． 19．如图，直线，点A1坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意即可求出点的坐标，进而找到点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点的坐标． 【详解】解：∵点A1坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点， ∴点横坐标为1， 将代入直线，求得点的纵坐标为， 根据勾股定理，得， ∴点坐标为， 同理，可得点的坐标为， 点的坐标为， 按照上述规律，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一次函数的函数值，勾股定理，坐标系中点的坐标规律．求出点、、、、的坐标是解题的关键． 20．如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据中，时，，得到，，，根据平分一、三象限夹角，得到，根据轴，得到，得到，根据时，，得到，，根据时，，得到，，发现规律，，…，得到 ，． 【详解】解：∵中，时，， ∴，，， ∵是一、三象限角平分线， ∴， ∵轴， ∴°， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 同理，， 当时，， ∴，， ∴发现规律，，， …， ∴ ，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的图象和性质，规律性过一次函数和正比例函数图象上的点做x轴和y轴的平行线产生的线段的长的规律． 21．如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， 又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 所以得直线和的直线方程分别为： ， ， 即， 解得： ， ∴点，． 将代入得点的纵坐标是， 将代入得点的纵坐标是， 故答案为：， 【点睛】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定相交于点的两直线的方程． 类型四、分段函数与绝对值函数的应用 22．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，故正确； 当，即时， 由得，， 解得， ∴不等式无解，该情况不存在； 当，即时， 由得，， 解得， ∴，故正确； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； ∴点到到轴的距离大于，故正确； ∴说法中正确的个数为个， 故选：． 23．已知函数其中m为常数，该函数图象记为G． （1）当时， ①若点A（a，6）在图象G上，求a的值； ②当时，求函数值y的取值范围． （2）点B在图象G上，点B的横坐标为2m，直线与图象G交于点C、D，当的面积为4时，求m的值； （3）直线与图象G交于点M，与直线交于点N，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①a的值为3或；②当时，函数值y的范围为（2）；（3）或 【分析】（1）将m=1代入函数，①将点A分别代入解析式求解． ②分别讨论1≤x≤2和-1≤x＜1求对应y值． （2）求出直线y=6m与图象G的交点C，D坐标与点B坐标，通过三角形面积公式求解． （3）把x=4m代入y=2x-1中得N（4m，8m-1），分类讨论m＞0与m＜0时对应的点M坐标，再根据≤MN≤求解． 【详解】解：（1）当m=1时，y=， ①当a≥1时，6=a+3， 解得a=3， 当a＜1时，6=-a+5， 解得a=-1， ∴a的值为3或-1； ②当1≤x≤2时，y=x+3中，y随x增大而增大， ∴4≤y≤5， 当-1≤x＜1时，y=-x+5，y随x增大而减小， ∴4＜y≤6， 综上所述，4≤y≤6； （2）当x≥m时，y≥4m，当x＜m时，y＞4m， ∴函数值y≥4m，当m＜0时，6m＜4m，直线y=6m与图象G无交点． 当m＞0时，2m＞m，在y=x+3m中，y=5m， ∴B（2m，5m）， 把y=6m分别代入y=x+3m与y=-x+5m中得x=3m，x=-m， ∴CD=4m， ∴S△BCD=CD•（xC-xB）=×4m（6m-5m）=4， 解得m=±， ∵m＞0， ∴m=； （3）把x=4m代入y=2x-1中得y=8m-1， ∴N（4m，8m-1）． 当m＜0时，4m＜m，把x=4m代入y=-x+5m得y=m， ∴M（4m，m）， ∵m＜0， ∴m＞8m，m＞8m-1， ∴MN=m-（8m-1）=1-7m． ∵1-7m＞1， ∴不存在m使≤MN≤． 当m＞0时，4m＞m， ∴M（4m，7m）． 当7m＞8m-1时，0＜m＜1， MN=7m-（8m-1）=1-m， 解≤1-m≤得≤m≤． 当7m＜8m-1，m＞1， MN=m-1， 解≤m-1≤得≤m≤． 综上所述，≤m≤或≤m≤． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，熟练掌握坐标系中点的特征，根据分类讨论思想求解． 24．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，_________，_________． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为_________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 【答案】(1)；0； (2)见详解； (3)①<，<；②；③. 【分析】（1）选择对应的函数解析式，代入求值即可； （2）描点连线即可； （3）①把代入中，得，把代入中，得，然后比较即可；由（2）中的图象可知，当时，或或，当时，，即可比较；②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称，即可求解；③根据题意可得，由，得， ，得或，解得，，然后根据即可求解. 【详解】（1）解：当时，代入得，，即； 当时，代入得，，即 故答案为：；0 （2）解： （3）解：①把代入中．得 把代入中，得 ∴ 由（2）中的图象可知，当时，或或 当时， ∴ 故答案为：<，<. ②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称， ∴. 故答案为：. ③根据题意可得，由，得 ，得或 解得， ， 解得 所以t的值为. 【点睛】本题是新定义题目，考查一次函数的图象和性质，画出函数图象是解题的关键． 25．某中学数学兴趣小组对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，探究函数的性质． 当时，函数化简为________；当时，函数化简为________； 请你画出的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：_________；    (2)当时，探究函数的性质．你认为函数 与函数的图象有何关系，请把你的猜想写下来：_______； (3)已知函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点的坐标是，则求的大小． 【答案】(1)， ；图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一） (2)函数的图象是由向右平移个单位； (3)． 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； 将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接，图象比较即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案． 【详解】（1）当时，；当时，； 列表： 描点： 连线， 如图：    根据图象可知：图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一）， 故答案为：图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一）； （2）同上画出函数图象，如图，    函数的图象是由向右平移个单位， 故答案为：函数的图象是由向右平移个单位； （3）当时，，∴点， 当时，，解得：或，    ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的特征，掌握绝对值的意义及数形结合思想是解题的关键． 26．如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． (1)填写下表，画出y关于x的函数图像； x …                     0 1 2 … y … … (2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． (4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 【答案】(1)见详解 (2)不是 (3)①见详解；②或1；或 (4)当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当时，方程没有解 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据两点间距离公式可得，代入相应的的值，求得的值填表即可；找出具体的点画出函数图象即可； （2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系； （3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论； （4）由题可知，作出的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可； 【详解】（1）解：表示与点之间的距离，所以，， 填表可得： x …                     0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 函数图象如下： （2）解：不是； 例如：当时，可以取或，不满足函数的定义，给定一个的值，都应该有唯一的的值与之对应； （3）解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 关于经过且垂直于轴的直线对称； ②根据图象可得：若，则对应的x的值是或1． 若，则对应的x的取值范围是或． （4）解：如图， ∵关于的方程(为常数，， 令，则图象过点， 当过点时，， ∴，此时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； ∴当时，方程有两个解； 当或或时，方程有一个解； 当时，方程没有解． 27．【课本原型】人教版八年级下期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． 【答案】【初步探究】（1）；（2）见解析；【数学思考】BD；【深入探究】 【分析】本题考查利用已学一次函数有关知识，探究求新函数解析式，画函数图象，研究函数的性质，注意数形结合．掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【初步探究】（1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，即可求得k、b的值，求得函数解析式，再求出时函数值即可求得a的值； （2）根据表中的数据，描点、连线即可； 【数学思考】根据所画函数图象，逐项分析解答即可； 【深入探究】由图象知，的图象关于直线对称，易得P、Q两点关于直线对称，由此得，即，代入，得q的取值范围，根据q的范围结合函数图象即可确定m的范围． 【详解】解：【初步探究】（1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，得：，解得：， 故函数解析式为； 当时，； 故答案为：； （2）根据表中的数据，描点、连线，画图如下； 【数学思考】解：根据所画函数图象 函数图象关于直线对称，不是关于y轴对称，故A说法错误； 当时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确； 当时，即，解得：或，故C说法错误； 由表知，函数图象与x轴相交于， 则函数图象与x轴围成图形的面积为，故D正确； 故选：BD； 【深入探究】解：由图象知，的图象关于直线对称， 和， P、Q两点关于直线对称， ， 即，代入， 即， 解得：； 当时，；当时，； 而当时，函数有最小值，且， 故m的取值范围为． 类型五、一次函数性质的应用 28．若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 29．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 【答案】且 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知，且在的上方，则，当经过点时，， 此时两直线相交，即可得到时，，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴直线经过定点， ∵无论取何值，始终有， ∴，且在的上方， ∴， 当经过点时， ， ∴， 此时两直线相交， ∴时，， 即且， 故答案为：且． 30．一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论中一定正确的是 （填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，； ③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 【答案】①②③ 【分析】将点、代入，求出、关于的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函数与轴的交点的坐标及即可判断④；分与两种情况讨论，根据即可求解，从而判断④． 【详解】解：依题得：， 解得：，， 时，， ，①正确； 当随着的值增大而增大时，， 即，， ②正确； ， ， 直线与轴相交于点， 即， ④错误； 当时，， ， ， 即，解得， 时，, , ， 即，解得， ③正确． 综上，结论中一定正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形面积的求法． 31．对于函数，当时有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义和一次函数的增减性，根据绝对值的意义；先得出的最大值为；分两种情况讨论：①，得一次函数，随的增大而增大，可知当时，取得最大值，然后代入计算即可得到的值；②，得一次函数，随的增大而增大，可知当时，取得最大值，然后代入计算即可得到的值，此时最大值为与的最大值为矛盾，舍去． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，，则，符合题意； 分两种情况： ①当时， ∵ ∴当时，随的增大而增大， 即当时，取得最大值， 即：， 解得：，此时，符合题意， ②当时， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 即当时，取得最大值， 即：， 解得：，此时最大值为与的最大值为矛盾，舍去 ∴或， 故答案为：或． 32．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，且过点，则 （用含的代数式表示）；的取值范围是 . 【答案】 【分析】若一次函数的图像经过第一、二、四象限，可知，再根据函数过点，将该点代入一次函数解析式，得出k与b的关系式，最后再利用，求出k的取值范围． 【详解】解：∵，过点 ∴ ∴ 又∵一次函数图像过第一、二、四象限 , ∴ 即 解得： 【点睛】本题考查一元一次函数的性质，考查不等式组的解法． 33．我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，新定义运算的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先求解当，或，设，，分别画出函数的简图，再分类讨论即可． 【详解】解：设，，如图， 当， 解得：或， 当时，， ∴， 此时没有最大值，也没有最小值， 当时，， ∴， 此时当时，有最大值，最小值； 当时，， ∴， 此时没有最大值，也没有最小值， 综上：可得A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选B 类型六、一次函数的平移 34．对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数” 与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将已知条件代入选项中进行分析判断． 【详解】解：①函数与互为“对称函数”， ，， ，互为相反数， 与的图象关于轴对称， 符合题意； ②与是“对称函数”， ， 与互为相反数 ， 符合题意； ③函数与函数互为“对称函数”， ，， 即， 求得：， ， 不符合题意； ④函数向右平移个单位得到函数， ， 即 解得：或， 不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质及其变换运用，要熟练掌握一次函数的基本性质及其平移规律． 35．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点； 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴； 设向右平移n个单位长度得到， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴向右平移个单位长度得到， ∴点， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键． 36．已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围． 【详解】解：直线与轴的交点在、之间（包括、两点）， ， 令，则， 解得， 则， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口． 37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）先将点B代入正比例函数解析式，求出a的值，再将点A和点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）先求出点C坐标，再将点C坐标代入，即可求出m的值； （3）为等腰三角形，分情况讨论：当点E在x轴上，设点E坐标为；当点E在y轴上，设点E坐标为，根据分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 得，解得， ∴点B坐标为， 将点，点代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点C坐标为， ∵正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点C， ∴将点代入， 得，解得； （3）解：为等腰三角形，分情况讨论： 当点E在x轴上， 设点E坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时， ， 解得或（不合题意，舍去）； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得, 当点E在y轴上， 设点E坐标为， ∵, 当时， ，n无解， 当时，     ， 解得， 当时， ，n无解， 综上所述，满足条件的点E坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与平移，等腰三角形的判定等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 38．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 ．​ 【答案】或 【分析】由在直线上存在点，使得点是正方形的“和谐点”，可知在直线上，求得直线经过点和时的的值，即可求得的取值范围． 【详解】解：直线向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到， 把代入得，解得， 把代入得，解得， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，能够理解题意是解题的关键． 39．如图1，在平面直角坐标系中，点，，过点和点作直线，已知点为线段上一点．    (1)在点，，中，可以与点关于直线对称的点是______； (2)已知直线过点，且，若轴上存在点，使得点与点关于直线对称，求的取值范围； (3)过点作直线，若直线上存在点，使得点与点关于直线对称（点可以与点重合），请你直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点，可知与点M关于直线对称的点是点； （2）分别求出点与点重合和点与点重合时点的坐标，即可求出求b的取值范围； （3）由（2）即可直接写出点N横坐标n的取值范围． 【详解】（1）设直线的解析式为，将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 在点中，可以与点关于直线对称的点是. 故答案为：； （2）∵直线过点，且， ∴直线的解析式为， 当点与点重合时，点的坐标为，此时直线与直线重合，此时，根据题意， 当点与点重合时，点的坐标为是等腰直角三角形， 此时直线与经过点，把代入，得：为的最大值， ∴；    （3）∵直线过原点，又关于直线对称， ， 又∵在上， ， 当经过第一、三象限时，点横坐标的取值范围为：； 当经过第二、四象限时，点横坐标的取值范围为：． ∴点横坐标的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，等腰直角三角形的性质，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典型的题目． 类型七、与一次函数有关的交点问题 40．我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（    ） A．或或1 B．或 C．或或1 D．2或 【答案】A 【分析】画出函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象，要使直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，只需直线经过（3，4）或经过（1，0）或平行于y=x+1． 【详解】解：由题意，函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象如图所示： 直线y=2x-2与直线y= x+1交于点（3，4）， 直线y=2x-2、y=-x+1与x轴交于点（1，0）， 直线y= x+1与y轴交于点（0，1）， ∵y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点， 当直线y=kx+经过点（3，4）时，则4=3k+， 解得k=， 当直线y=kx+经过点（1，0）时，k=-， 当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象也有且仅有两个交点； ∴直线直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为或-或1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关键． 41．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围. 【详解】∵， ∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2， ∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2）， ∵t>0， ∴2t+2>2， 当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1， 当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2， 当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3， ∴且， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键. 42．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(m＋1，m﹣1)，一次函数y＝﹣x＋3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B． (1)试判断点P是否在一次函数y＝x﹣2的图象上，并说明理由； (2)若点P在△AOB的内部（不含边界），求m的取值范围． (3)若点P在直线AB上，已知点R(，)，S(，)在直线y＝kx＋b上，b＞2，＋＝m，＋＝4，若＞，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)点P在一次函数y＝x﹣2的图象上，见解析 (2) (3)＜，见解析 【分析】（1）将点P直接代入进行求解即可； （2）求出y＝x﹣2与的交点，y＝x﹣2与x轴的交点，若点P在△AOB的内部，只需要即可； （3）求出m的值，再由点在直线上的特点确定，利用方程求出k的代数式，再根据b>2的条件，进一步确定k的取值范围，即可求解． 【详解】（1）当x＝m+1时，y＝m+1﹣2＝m﹣1，满足y＝x﹣2， ∴点P在一次函数y＝x﹣2的图象上． （2）∵根据题意得， 解得， ∴y＝x﹣2与的交点为， 当y=0时代入y＝x﹣2中， 解得x=2， ∴y＝x﹣2与x轴的交点(2，0)， ∵点P在△AOB的内部， ∴， ∴； （3）点R(，)，S(，)在直线y＝kx+b上， ∴+＝k(+)+2b， ∵+＝m， ∵+＝k(+)+2b＝km+2b， ∵点P在直线AB上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵b＞2， ∴， ∴k＜0， ∵y＝kx+b中，y值随x值的增大而减小， ∴若＞，则＜． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是：（1）利用代入法判断点是否在直线上；（2）将点在三角形内部问题转化为两直线交点，再进一步求解；（3）利用代入法确定k的代数式． 43．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 类型八、一次函数背景下几何问题 44．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】A 【分析】作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标． 【详解】解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示． ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵且， ∴当值最小时，值最小． 根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小． ∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式， ∴，即， ∴Q点的坐标为（，）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题． 45．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得，，由一次函数可得，，进而由勾股定理得到，，设，由列方程即可求出，进而得到点的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∵直线，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 46．如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线交x轴于点C，沿直线折叠，点O恰好落在直线上的点D处．    (1)求点C的坐标； (2)如图2，直线上的两点E，F，是以为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； (3)如图3，若交于点G，在线段上是否存在一点H，使与的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）在中，，，，由勾股定理得：，即，即可求解； （2）证明，则且，即可求解； （3）过点C作，则和面积相等，而与的面积相等，故点H为所求点，即可求解． 【详解】（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A， 当时，， 当时，，解得：， ∴，，则，， ∴， ∵沿直线折叠，点O恰好落在直线上的点D处， ∴，， 故设， 则中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，即， 即点； （2）设直线的解析式为：， ∵， ， ∴，解得：， 即直线的表达式为：， 过点B作y轴的平行线交过点E和x轴的平行线于点M，交过点F和x轴的平行线于点N，如图2，    设点E、F的坐标分别为：、， ∵是以为斜边的等腰直角三角形，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴且， 解得：， 即点； （3）如图3，    ∵， ∴， 即，则， ∵直线的表达式为：， 则点； 利用待定系数法，有直线的表达式为：， 过点C作，交于点H，连接， 则和面积相等， 而与的面积相等， 故点H为所求点， ∵，直线的表达式为：， ∴设直线的表达式为：， ∵， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得， 解得：， 即点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行线的性质、面积的计算，用平行线的方法确定三角形面积关系是解题的关键． 47．在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D． (1)求线段与的长度； (2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积； (3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在，或 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线求解是解答的关键． （1）求得点A、B坐标即可求解； （2）根据平移性质得到线段在整个平移过程中扫过图形是平行四边形，且，利用平行四边形的面积公式求解即可； （3）设平移距离为b，则，，设，利用勾股定理求得，则设，分当M在下方时和当M在上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形列方程求的b值即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， ∴； 当时，由得， 则， ∴； （2）解：连接， 根据平移性质，线段在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形，且， ∴线段在整个平移过程中扫过图形的面积为； （3）解：存在．理由如下， 设平移距离为b，则，， 设，由题意，，， ∴， 解得， ∴设， 当M在下方时，如图，过M作轴，过E作轴交于P，过F作轴交于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，则； 当M在上方时，如图， 同理可证，， ∴，， 解得，则， 综上，满足条件的点E的坐标为或． 48．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； (3)线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据，则，，即点A、的坐标分别为、，即可求解； （2）根据，可得点在过点和与点B关于x轴对称点且平行于的直线上，即可求解； （3）作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E，证是等腰直角三角形，得到，推出，由旋转的性质得：，证，求出，进而求得，，从而得到，求出，得，求直线解析式为，联立直线与直线，求出，由对称可求，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ，， ∴、， 设直线的解析式为，将点、，代入得 ， 解得，， 即直线的解析式为； （2）解：①当点在上方时， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， 故点； ②当点在下方时，设B关于x轴对称点， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， ∴点； 故点的坐标为或； （3）解：存在，的坐标为，理由如下： 作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E， 由题意得：， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理，得， 点在直线上， ， ， 由旋转的性质得：，， 即此时点符合条件， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立， 解得：， ， 关于y轴对称， ． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，旋转的性质，对称的性质，矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 49．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 50．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【答案】(1)， (2)当点P运动到时，的值最小，最小为 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值； （1）分别令、求解即可； （2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． ∴点C纵坐标为1， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， 故答案为：， ； （2）点关于x轴的对称点为，则， 连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时， 连接BP，此时的值最小， 设直线的表达式为 将点和点分别代入上式，得 解得， ∴直线的表达式为 当时，解得， ∴点P的坐标为 当点P运动到时，的值最小，最小值为． 51．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 【答案】(1)4，0；； (2)或； (3)或或. 【分析】（）把代入求点的坐标，把代入求点的坐标； （）过点作轴，垂足为，由的面积为，求的长度，从而得到点的坐标； （）由条件分，；②，； ，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，通过三角形的面积求坐标，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论． 【详解】（1）把代入，解得， ∴点的坐标为 把代入， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：4，0；； （2）过点作轴，垂足为， ∵的面积为， ∴ ，即，解得， ∵点，， ∴点的坐标为或； （3）当，时，过点作轴，垂足为，交直线于点， ∵轴，直线轴, ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 当，时，过点作轴, 垂足为，过点作轴，垂足为 同理可证 ， ∵， ∵，， ∴， ∴， 当，时，过点C作直线，垂足为，过点作, 垂足为， 同理可证 ， ∴， 设， ∵，， ∵， ∴， ∴，解得： ， ∴， 综上所述，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，或或. 52．【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    【答案】（1）①2，3；②点E的坐标为； （2）是定值，详见解析； （3）点Q的坐标为（）或（4，）． 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解； ②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，当点在点左边时过点作轴于，过点作于，证明．由全等三角形的性质证明边长相等，表示出点Q的坐标；当点在点右边时，同理用全等三角形的性质证明边长相等，可得点的坐标，将点Q的坐标代入直线解析式，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，y＝3， 令时，， ∴， 即， 故答案为：2，3． ②过点作于点D，    ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴（全等三角形的对应边相等） ∴ ∴点E的坐标为． （2）当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M，    ∵ ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）①当点在点左边时，过点P作轴于S，过点Q作于T， 设，，，    （等角的余角相等） ∵ ∴， ∴， ∴点， 将点Q的坐标代入 解得． ∴点Q的坐标为； ②当点在点右边时，同理过点P作轴于S，过点Q作于T，    可证 ∴，， ∴， 则点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入 解得， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 53．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为2个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 (1)直接写出　 　；　 　； (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为　 　；点N表示的数为　 　． ②当t为何值时，恰好有？ (3)若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)6，8 (2)①，；②或 (3)当时，取得最小值，最小值是 【分析】（1）因为关于x的多项式不含项和x的一次项，得：和的系数都为，列方程求解即可； （2）①根据向左移动减小、向右移动增大的原理，列代数式表示； ②根据，列方程求解即可； （3）根据题干中的，用表示，再根据函数性质求最小值． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ，， 故答案为：6，8； （2）解：①，N都是向左运动， ，， 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：或； （3）解：为线段的中点，Q为线段的中点， 点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ， 点M表示的数是，点N表示的数是， ， ， ①当时，， 的值随t的值的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为7； ②当时，， ③当时，， ， 的值随t的值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为7， ∴当时，取得最小值，最小值是7． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，结合一次函数的性质求解是解题关键． 54．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①3，6；② (2)的面积是定值，定值为18，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可． 【详解】（1）解：①若，则直线为， 当时，， ， 当时，， ， ，； ②作于，    ， ， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； （2）解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图，    ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． （3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点Q作于E，交于F， 分两种情况：当点Q在下方时，如图，    ∵，， ∴， 由“k型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 当点Q在上方时，如图，    同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一次函数图象性质，坐标与图形，掌握“k型全等”模型是解题的关键． 类型九、一次函数应用—分配方案问题 55．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 56．哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？ 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆． (2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地． 【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解； （2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得 16x+10（20-x）=248， 解得x=8， 20-x=20-8=12． 答：大货车用8辆，小货车用12辆． （2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a）， w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）] =70a+10850， 则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）； 根据题意得：16a+10（9-a）≥120， 解得a≥5， 又∵0≤a≤8， ∴5≤a≤8  且为整数． ∴a=5，6，7，8，共有4种方案， ∵w=70a+10850， k=70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a=5时，W最小． 答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地． 【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 57．某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元． （1）当时， ①求关于的函数关系式． ②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案． （2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值． 【答案】（1）①，②A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套，169200元；（2），m=1144 【分析】（1）①根据“总费用=A型餐桌的费用+B型餐桌的费用+C型餐桌的费用”即可求解；②根据题意列出不等式组，求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解； （2）根据总费用为180000元，列出方程，解方程求得，再由求得，根据题意求得m与n的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得当时，． 【详解】（1）①由题意可知． ②∵，． ∵， ∴y随的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，（元）， 此时具体的购买方案为：A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套． （2）由题意可知，． ∴， ∵， ∴， 又由， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确列出函数的解析式及求得自变量的取值范围是解决问题的关键． 58．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表． 印数a（千册） 彩色（元/张） 2.1 2 黑白（元/张） 0.8 0.5 （1）若印制2千册，则共需多少元？ （2）该校先印制了x千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x的代数式表示y． ②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？ 【答案】（1）28600元；（2）①；②101200元． 【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案． （2）①分和两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；②先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵印制的册数为2千册， ∴彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页， ∴需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元）， 故一共需要28600元； （2）①第一种情况当时， ， ，即， ∵， ∴即； 第二种情况当时， ， 即， ∴， ②设两次一共需要印刷的册数为m，需要的钱数为W，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故当，时所需要的的钱数最少为101200元． 【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解． 59．要从甲、乙两仓库向A、B两工地运送水泥，已知甲仓库可运出80吨水泥，乙仓库可运出60吨水泥：A、B两工地分别需水泥50吨和90吨．两仓库到A、B两工地的距离和每吨每千米的运费如下表： 路程（千米） 运费（元/吨千米） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A地水泥x吨，请填完整各仓库运出水泥吨数和运费表． 水泥（吨） 运费 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 x B地 （2）当甲仓库向A工地运送多少吨水泥时，总运费是2940元？ （3）当甲仓库向A、B两工地运送多少吨水泥时总运费最省？最省运费是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）40吨；（3）当甲仓库往A、B两工地各运50吨和30吨水泥，乙仓库往A、B两工地各运0吨和60吨水泥时，总运费最省，且为2910元． 【分析】（1）由甲库运往A地水泥x吨，根据题意可求得乙库运往B地水泥（10+x）吨，以及相应运费，即可填表； （2）将表格中所有运费相加，令其等于2940，求解即可； （3）根据表格求得总运费关于x的函数关系式，再求最值． 【详解】解：（1）填表如下： （2）由题意可得： ， 解得：x=40； （3）由题意可得： 总运费==-3x+3060， ∵-3＜0， ∴总运费随x的增大而减小， ∵0≤x≤50， ∴当x=50时，总运费最小， 即当甲仓库往A、B两工地各运50吨和30吨水泥，乙仓库往A、B两工地各运0吨和60吨水泥时，总运费最省， 最省总运费=2910． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解． 类型十、一次函数应用—最大利润问题 60．年月份流感爆发，消毒液销量暴增，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按元/件进行补贴，设某月销售价为元/件，与之间满足关系式：，下表是某个月的销售记录，每月销售量（万件）与该月销售价（元/件）之间成一次函数关系（）． 月份 … 二月 三月 四月 五月 … 销售价x（元/件） … 6 7 … 该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 … (1)求与的函数关系式； (2)当销售价为元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ (3)当销售价定为多少时，该月纯收入最大？并求出最大值．（纯收入=利润+补贴） 【答案】(1) (2) (3)当销售价定为元/件时，该月纯收入最大，最大值为万元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得； （3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：（1）设与的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则与的函数关系式为：； （2）当时，，， 则（万元）， 即政府该月应付给厂家补贴万元； （3）设该月纯收入为万元， 由题意得：， 整理得：， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为， 即当销售价定为元/件时，该月纯收入最大，最大值为万元． 61．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【答案】(1) (2)当时取最大值4500元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 62．为了响应襄阳市人民政府“改善市区河流水质，进一步净化居民生活环境”的号召，襄阳市富春紫光污水处理有限公司（以下简称：富春紫光） A型 型 价格万元台 处理污水量吨月 决定：今年新采购台污水处理设备用以增强公司的污水处理能力经过市场考查，诚信机械设备公司（以下简称：诚信公司）推荐了A、两种型号的设备供选择，其中每台的报价与月处理污水量如表： 经核算，若按诚信公司的报价：购买一台A型设备将比购买一台型设备多万元，购买台A型设备会比购买台型设备少万元． (1)求，的值； (2)诚信公司最初给出的销售条件是：购买型设备原则上不予优惠；购买A型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．并且由于受库存和产能等因素限制，在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供台A型设备，而富春紫光需要这批新购进的台设备月处理污水总能力不能低于吨， ①富春紫光买下这批设备最少需要支付多少购买资金？ ②经过反复谈判协商，诚信公司最终同意：在富春紫光按照最初的销售条件全部买下诚信公司库存的台A型设备的前提下，再给予型设备如下的优惠措施：购买型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．如果富春紫光想要用不超过万元的资金买下这批污水处理设备，试求的最大值？ 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①富春紫光买下这批设备最少需要支付万元购买资金；②的最大值为 【分析】（1）根据“购买一台型设备将比购买一台型设备多20万元，购买2台型设备会比购买3台型设备少40万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设购买台型设备，则购买台型设备，根据“在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供80台型设备，而富春紫光需要这批新购进的100台设备月处理污水总能力不能低于20600吨”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设富春紫光买下这批设备需要支付万元购买资金，分及两种情况考虑，利用总价单价数量，结合诚信公司给出的优惠条件，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； ②利用总价单价数量，结合富春紫光想要用不超过7850万元的资金买下这批污水处理设备，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， 的值为100，的值为80； （2）①设购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：． 设富春紫光买下这批设备需要支付万元购买资金， 当时，， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值； 当时，， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值． ， 富春紫光买下这批设备最少需要支付8100万元购买资金； ②根据题意得：， 解得：， 的最大值为25． 答：的最大值为25． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①分及两种情况，找出关于的函数关系式；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 63．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． (1)求出a，b的值； (2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 【答案】(1)a的值为35，b的值为40 (2)①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围； ②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）根据题意：， 解得， 答：a的值为35，b的值为40； （2）①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 则x的取值范围为：， ∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：； ②由题意得：， ∵， ∴当即时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， 乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大； 当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 64．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【答案】(1)． (2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． (3)的最大值为． 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围． 【详解】（1）当时，设，根据题意可得，， 解得， ； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ． ． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ， 当时，， ， 当时，的最大值为； 当时，， ， 当时，的最大值为（元， 综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）根据题意可知，降价后，， 当时，取得最大值， ，解得． 的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 65．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？ (3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案． 【答案】(1)W＝2x+800 (2)该公司有3种建房方案：①建A种户型30套，B种户型50套；②建A种户型31套，B种户型49套；三建A种户型32套，B种户型48套 (3)当0＜a≤2时，按（2）中第三种方案；当a＝2时，按（2）中三种方案均可；当2＜a≤3时，按（2）中第一种方案 【分析】（1）根据A种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，根据一套的利润×总的套数＝总利润，列出一次函数可得出答案； （2）根据该公司所建房资金不少于5700万元且A户型不超过32套，得出该公司建房方案； （3）在（2）的前提下，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）∵A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80﹣x）套， 根据题意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800， ∴W与x之间的函数解析式为W＝2x+800； （2）由题意得：90x+60（80﹣x）≥5700， 解得：x≥30， ∵x≤32， ∴30≤x≤32（x为正整数）， ∴x取30，31，32， ∴该公司有3种建房方案： 第一种：建A种户型30套，B种户型50套； 第二种：建A种户型31套，B种户型49套； 第三种：建A种户型32套，B种户型48套； （3）由题意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800， 当0＜a≤2时，W随x的增大而增大， ∴x＝32时，W最大， 此时按（2）中第三种方案； 当a＝2时，W＝800， 此时按（2）中三种方案均可； 当2＜a≤3时，W随x的增大而减小， ∴当x＝30时，W最大， 此时按（2）中第一种方案． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键． 类型十一、一次函数应用—行程问题 66．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【答案】(1) (2)①；②追上时兄妹俩离家米远 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【详解】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 67．半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） (1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； (2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 【答案】(1)1，甲、乙在距离起点10公里处相遇 (2)丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里 【分析】本题考查了一元一次函数的应用，分情况讨论是几天的关键； （1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，列方程，进而得出答案； （2）先求出冠军的平均配速约为3分钟/公里，则丙的平均配速分钟/公里，设丙的平均配速为y分钟/公里，在分别求出，，进而得出，画图，分3中情况进行讨论即可。 【详解】（1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇， ，   解得：， 答：甲、乙在距离起点10公里处相遇．且共有1次相遇， 故答案为：1； （2）冠军用时1小时3分钟， 冠军的平均配速约为3分钟/公里， 丙的平均配速分钟/公里． （法一）设丙的平均配速为y分钟/公里， ，， ． ①如图，当S为中点时，得， 即， ， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即， ， ∴丙的平均配速为分钟/公里． ③如图，当R为中点时，得， 即 （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． （法二）设丙的平均速度为y公里/分， ，，， ，． ①如图，当S为中点时，得， 即， ，， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即 ，， ∴丙的平均配速为分钟/公里， ③如图，当R为中点时，得， 即 ， （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． 68．如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒． (1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒； (2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标； (3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)50，26 (2)， (3)18秒 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由点与的坐标求出火车的长度，分别根据“火车行驶的速度（桥的长度火车的长度）整列火车完全在桥上的时间”和“火车从开始上桥到完全过桥所用的时间（桥的长度火车的长度）火车行驶的速度”计算即可； （2）根据火车的长度和点的坐标，求出当车尾刚好经过点时，火车头的坐标，利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式；利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式，两函数表达式联立列方程组并求解即可得到交点坐标； （3）当时，射线与射线无交点，设此时，根据射线所在直线的函数表达式的一次项系数，设出射线所在直线的函数表达式，将点的坐标代入，求出所在直线的函数表达式，再将代入，求出对，再根据“时间路程速度”计算即可． 【详解】（1），， （米， 火车的长度为300米， 则火车行驶的速度为（米秒），火车从开始上桥到完全过桥共用（秒． 故答案为：50，26． （2）火车的长度为300米，， 当车尾刚好经过点时，火车头． 设射线所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 射线所在直线的函数表达式为； 设射线所在直线的函数表达式为，且． 将坐标代入， 得， 解得， 射线所在直线的函数表达式为； 当射线、射线相交时，得， 解得， 射线、射线的交点坐标为． （3）当时，射线与射线无交点，设此时． 设当时，射线所在直线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， ， 将代入，得， 解得， （秒， 激光射线与射线有交点的时长为18秒． 69．公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题： (1)，两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ； (2)小车出发两小时与公交车相距多少千米？ (3)求小车出发几小时后，两车相距千米？ 【答案】(1)，， (2)小车出发两小时与公交车相距千米 (3)小时或小时或 【分析】观察图可得，两地的距离，根据“速度路程时间”求得公交车的速度，小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，列关于的方程并求解即可； 根据“路程速度时间”，分别求出两车与地的距离并求差即可； 利用待定系数法分别求出公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式、小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式，根据两车的距离列绝对值方程并求解，并转换为小车出发后的时间即可． 本题考查一次函数的应用，熟练掌握路程、速度、时间之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）由图象可知，，两地相距千米，公交车速度为千米小时， 小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，得，解得． 故答案为：，，． （2）小车的速度为千米小时，则小车出发小时距地的距离为千米， 当小车出发小时时，公交车已出发了小时，公交车行驶小时距地的距离为千米， 千米， 小车出发两小时与公交车相距千米． （3）设公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为． 当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ； 当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ； 综上，小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为． 当时，，解得不符合题意，舍去； 当时，，解得或； 当时，，解得不符合题意，舍去或不符合题意，舍去； 当时，，解得． 综上，当公交车出发小时或小时或小时后，两车相距千米． 小时，小时，小时， 小车出发小时或小时或小时后，两车相距千米． 70．甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发3后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为（单位：）、（单位：），都是甲出发时间（单位：）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为，乙的速度为．    (1)______，______； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲出发时间（单位：）之间的函数图象． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的解析式，分段讨论方法的应用； （1）根据题意得，即可求得，由图象上的数据可求得，即可求得，据此即可求得a的值； （2）利用待定系数法，即可求得； （3）分段分析，即可画得． 【详解】（1）解：设甲的速度为，乙的速度为 根据题意得： 解得 故答案为：， （2）解：设与之间的函数表达式为 把，分别代入解析式，得 解得 故与之间的函数表达式为 （3）解：由题意题意可知： 前两人之间的距离逐渐增大，最大为 内，两人之间的距离逐渐减小，在时，距离为 内，两人之间的距离逐渐增大，最大距离为： 甲所需的总的时间为： 故内，两人之间的距离逐渐减小，在时，距离为 画图如下：    类型十二、一次函数应用—其它问题 71．综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析，； (2)； (3)此时双层部分的长度为． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． （1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 72．【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数、新定义偏差w的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； （2）令（1）解析式中，代入求解即可； （3）根据w的定义代入计算. 【详解】（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 时，；时，； ， 解得：， 水面高度h与流水时间t的函数解析式为； （2）将代入解析式得： 解得：    又初始时间为                                                      水面高度为时的时间是 （3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值 t 0 10 20 30 40 30 29 28 27 26 根据w的定义得： ． 73．如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．    (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同： (3)若乙容器底面积为（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积． 【答案】(1)20，140 (2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同 (3) 【分析】（1）借助图像可知折线是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案； （2）分别求出线段、的解析式，然后联立解方程组即可解题； （3）先求出铁块的底面积，然后计算出铁块的体积即可解题． 【详解】（1）解：由图像可知，折线是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是，铁块的高度是； 故答案为：20，140． （2）设线段的解析式为：， 将点和代入得，解得， 设线段的解析式为：， 将点和代入得， ，解得， ， 令， 解得， 注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同． （3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm， 当水面没有没过铁块时，2分钟上升了50mm，即1分钟上升25mm． 设铁块的底面积为． 匀速注水， 1分钟非水量是相等的． 乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为： 不放铁块时，1分钟注水的体积为：， ，解得， 铁块的体积为：． 【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 74．在综合与实践活动中，活动小组了解到银川某家快递公司的省内邮寄的费用标准：首重2kg收费15元，续重6元/kg（不足1kg按1kg计费）．为了方便对问题的研究，活动小组将快递计费重量设为，将快递总费用定义为，如下表： 快递重量（kg） … 计费重量 2 2 3 4 5 … 快递费 15 15 21 27 33 … 定义：对于任意的快递重量，，，为不小于的最小整数，如：． (1)通过观察上表，猜想出与快递重量之间的关系式，与快递重量之间的关系式． (2)用含的代数式表示，计算当计费重量为时，快递重量的范围． (3)若快递重量为，那么快递费为多少元？ 【答案】(1)；； (2)快递重量的范围； (3)快递费为81元． 【分析】（1）分两种情况，根据题意可得与快递重量n之间的关系式，与快递重量n之间的关系式； （2）根据即可用含的代数式表示，根据表格中的数据可得快递重量的范围； （3）根据（1）求得的关系式即可求解． 【详解】（1）解：当时，，； 当时，，（为不小于n的最小整数），； ∴与快递重量n之间的关系式为； 与快递重量n之间的关系式为； （2）解：∵， ∴， 当时，快递重量的范围； （3）解：若快递重量为，， ∴（元）， 答：快递费为81元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意得出函数关系式． 75．某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据整理如下： 销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2 服装部制定两种奖励方案，供营业员选择高薪方案： 方案一：薪资f＝底薪a+销售额x×抽成c 方案二：薪资g＝底薪b+销售额x×抽成（销售额不超过18万元的抽成2%，18万元以上的部分抽成d，） 小明发现： I．当销售额为15万元时，两个方案的薪资均为0.5万元． Ⅱ．与他销售额相同的还有3个人，选择方案一比选择方案二多了100元． (1)写出方案二中销售额不超过18万元的薪资g（万元）关于销售额x（万元）的函数解析式：________________； (2)求销售额为30万元的小王选择方案一薪资是多少? (3)服装部发现：销售额为15万元的营业员都选择方案二．若有一半以上的营业员选择方案一时，试求方案二中销售额在18万元以上部分的抽成d的取值范围． 【答案】(1)g＝0.2+0.02x（0≤x≤18）； (2)销售额为30万元的小王选择方案一薪资是0.95万元； (3)0.03＜d＜0.035． 【分析】（1）根据Ⅰ中所给条件列出函数解析式即可得出结论； （2）根据Ⅰ、Ⅱ所给条件可列出方程组，求出f与x的关系式，再将x＝30代入即可； （3）根据题意可知，列出不等式即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，g＝b+15×2%＝0.5， 解得b＝0.2． ∴g＝0.2+0.02x（0≤x≤18）． 故答案为：g＝0.2+0.02x（0≤x≤18） （2）由题意可知，， 解得． ∴f＝0.05+0.03x． 当x＝30时，f＝0.05+0.03×30＝0.95（万元）． ∴销售额为30万元的小王选择方案一薪资是0.95万元． （3）当0≤x≤15时均选择方案二， 当x＞15时，选择方案一需超过15人， 即当x＝24时，需满足f＞g， ∴0.05+24×0.03＞0.2+0.02×18+（24﹣18）d， 解得d＜0.035． ∵d＞c， ∴0.03＜d＜0.035． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题关键是理解题目中所给薪资方式，并列出等量关系． 76．某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解： (1)小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？ (2)小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点，分别作x轴的垂线AB，CD．使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性； (3)小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由． 【答案】(1) 元/千克，画图见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 元/千克 【分析】（1）设甲糖果质量为千克，则乙糖果质量为千克，根据单价等于总价除以质量，即可求解；如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD∶CD=1∶2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果， BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量，即可求解； （2）根据题意得： ，点P的横坐标为1，求出直线EF的解析式，再将 x=1代入，即可求解； （3）类比（2）设计图形，过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价，即可求解． 【详解】（1）解：设甲糖果质量为千克，则乙糖果质量为千克，根据题意得： 什锦糖果的单价为 ， 如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD∶CD=1∶2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果， BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量， 根据题意得：BC=3BD，CD=2BD， ∴什锦糖果的单价为 ， （2）解：根据题意得： ，点P的横坐标为1， 设直线EF的解析式为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线EF的解析式为 ， 当x=1时， ， 即什锦糖果的质量为 元/千克； （3）设计方案如下：如图，过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；使用方法： 把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价； 设直线EF的解析式为 ， 把点 代入得： ，解得： ， ∴直线EF的解析式为， 当x=1时， ， 即甲乙糖果混合后的什锦糖果的单价为 元/千克， ∴点 ， 设直线MN的解析式为 ， 把点 ， 代入得： ，解得： ， ∴直线MN的解析式为， ∴当x=3时， ， 即三种糖果混合后的什锦糖果的单价为 元/千克． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，明确题意，利用数形结合思想解答是解题的关键． 试卷第134页，共135页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、从函数图象中获取信息…………………………………………………………5 类型二、动点问题的函数图象…………………………………………………………18 类型三、一次函数的规律探究问题………………………………………………………26 类型四、分段函数与绝对值函数的应用…………………………………………………39 类型五、一次函数性质的应用…………………………………………………………53 类型六、一次函数的平移………………………………………………………………58 类型七、与一次函数有关的交点问题……………………………………………………66 类型八、一次函数背景下几何问题………………………………………………………71 类型九、一次函数应用—分配方案问题…………………………………………………100 类型十、一次函数应用—最大利润问题…………………………………………………107 类型十一、一次函数应用—行程问题…………………………………………………116 类型十二、一次函数应用—其它问题…………………………………………………127 知识点1．函数相关概念 （1）常量与变量 变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． （3）函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： （4）函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （5）函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． （6）函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （7）动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． （8）函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 知识点2．一次函数的概念 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点3．正比例函数的概念 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3.根据条件列一次函数关系式（难点） 知识点4．待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 知识点5．正比例函数的图象、性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 知识点6．一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 知识点7．一次函数图象的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 知识点8．一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)与一元一次方程kx+b=0(k,b为常数,k≠0)的关系 数:函数y=kx+b,函数值y=0时自变量x值是方程kx+b=0的解; 形:函数y=kx+b图象与x交点的横坐标是方程kx+b=0的解. 知识点9．两个一次函数图象的应用 在同一直角坐标系中,同时出现两个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息，一般出现在比如产量速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义。 类型一、从函数图象中获取信息 1．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（   ） ①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（    ） A．6 B．9 C． D． 3．根据素材，探索完成任务． 如何设计游览时间的方案？ 【素材1】 某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）． 【素材2】 小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像． 【素材3】 小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟． 问题解决 【任务1】 确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分． 【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？ 【任务3】 拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案． 共有____________种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟； 到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟； 回到景区大门时间：___________； 湿地公园 影视城 景区大门 14:07 14:10 14:20 14:27 14:30 14:40 14:47 14:50 15:00 15:07 15:10 15:20 15:27 15:30 15:40 15:47 15:50 16:00 16:07 16:10 16:20 16:27 16:30 16:40 16:47 16:50 17:00 17:07 17:10 17:20 4．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 5．问题背景：某农户要建进一个如图所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为 k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米． （1）设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为 米，可得y与x的函数关系式为： ． （2） 若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为 ． 问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上（下）平移个单位得到：受此启发，给定一个函数： 为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对 进行如下图象探索： 列表如下 1 2 3 4 3 （3） 请直接写出m， n的值： （4） 请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． （5） 请结合函数的图象，写出当x= ，y有最小值为 ； 学以致用 根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题： （6）y与x的函数关系式为 ． （7） 当水池底边长分别为 米时，水池总造价的最低费用为 千元； （8） 若该农户预算不超过5.5 千元，请直接写出x的值应控制在什么范围? 6．如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 类型二、动点问题的函数图象 7．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，四边形是长方形，点从边上点出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点，最后沿运动到点，设点运动的路程为，的面积为，图是关于变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（    ） A． B．点为的中点 C．当时，的面积为 D．当时，长度的最小值为 9．如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 10．图1，在中，，，点D是AC上一定点，点P沿边BC从点B运动到点C，连接PA，PD，设，．其中y关于x的函数图象如图2所示，则图2中函数 图象最低点的纵坐标m的值为（    ） A． B． C．6 D． 11．如图1，在中，，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C．设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+m（m＞0）与直线y＝2x交于点4，与x轴交于点B，点O为坐标原点，点C在线段OB上，且不与点B重合，过点C作垂直于x轴的直线，交直线AB于点D，将△BCD沿CD翻折，得到△ECD．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则m＝ ． 类型三、一次函数的规律探究问题 13．如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 15．已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 16．设直线（）与坐标轴围成的直角三角形的面积分别为，则 ． 17．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则△的面积是 ． 18．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 19．如图，直线，点A1坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为 ． 20．如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ．    21．如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    类型四、分段函数与绝对值函数的应用 22．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数其中m为常数，该函数图象记为G． （1）当时， ①若点A（a，6）在图象G上，求a的值； ②当时，求函数值y的取值范围． （2）点B在图象G上，点B的横坐标为2m，直线与图象G交于点C、D，当的面积为4时，求m的值； （3）直线与图象G交于点M，与直线交于点N，当时，直接写出m的取值范围． 24．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，_________，_________． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为_________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 25．某中学数学兴趣小组对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，探究函数的性质． 当时，函数化简为________；当时，函数化简为________； 请你画出的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：_________；    (2)当时，探究函数的性质．你认为函数 与函数的图象有何关系，请把你的猜想写下来：_______； (3)已知函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点的坐标是，则求的大小． 26．如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． (1)填写下表，画出y关于x的函数图像； x …                     0 1 2 … y … … (2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． (4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 x …                     0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 27．【课本原型】人教版八年级下期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． 类型五、一次函数性质的应用 28．若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 29．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 30．一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论中一定正确的是 （填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，； ③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 31．对于函数，当时有最大值，则的值为 ． 32．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，且过点，则 （用含的代数式表示）；的取值范围是 . 33．我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值 类型六、一次函数的平移 34．对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数” 与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 36．已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是 . 37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 38．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 ．​ 39．如图1，在平面直角坐标系中，点，，过点和点作直线，已知点为线段上一点．    (1)在点，，中，可以与点关于直线对称的点是______； (2)已知直线过点，且，若轴上存在点，使得点与点关于直线对称，求的取值范围； (3)过点作直线，若直线上存在点，使得点与点关于直线对称（点可以与点重合），请你直接写出点横坐标的取值范围． 类型七、与一次函数有关的交点问题 40．我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（    ） A．或或1 B．或 C．或或1 D．2或 41．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 42．平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(m＋1，m﹣1)，一次函数y＝﹣x＋3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B． (1)试判断点P是否在一次函数y＝x﹣2的图象上，并说明理由； (2)若点P在△AOB的内部（不含边界），求m的取值范围． (3)若点P在直线AB上，已知点R(，)，S(，)在直线y＝kx＋b上，b＞2，＋＝m，＋＝4，若＞，请判断与的大小关系，并说明理由． 43．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 类型八、一次函数背景下几何问题 44．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 45．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 46．如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线交x轴于点C，沿直线折叠，点O恰好落在直线上的点D处．    (1)求点C的坐标； (2)如图2，直线上的两点E，F，是以为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； (3)如图3，若交于点G，在线段上是否存在一点H，使与的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由．       47．在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D． (1)求线段与的长度； (2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积； (3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； (3)线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 49．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 50．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 51．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 52．【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    53．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为2个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 (1)直接写出　 　；　 　； (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为　 　；点N表示的数为　 　． ②当t为何值时，恰好有？ (3)若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 54．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 类型九、一次函数应用—分配方案问题 55．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 56．哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？ 57．某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元． （1）当时， ①求关于的函数关系式． ②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案． （2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值． 58．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表． 印数a（千册） 彩色（元/张） 2.1 2 黑白（元/张） 0.8 0.5 （1）若印制2千册，则共需多少元？ （2）该校先印制了x千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x的代数式表示y． ②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？ 59．要从甲、乙两仓库向A、B两工地运送水泥，已知甲仓库可运出80吨水泥，乙仓库可运出60吨水泥：A、B两工地分别需水泥50吨和90吨．两仓库到A、B两工地的距离和每吨每千米的运费如下表： 路程（千米） 运费（元/吨千米） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A地水泥x吨，请填完整各仓库运出水泥吨数和运费表． 水泥（吨） 运费 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 x B地 （2）当甲仓库向A工地运送多少吨水泥时，总运费是2940元？ （3）当甲仓库向A、B两工地运送多少吨水泥时总运费最省？最省运费是多少？ 类型十、一次函数应用—最大利润问题 60．年月份流感爆发，消毒液销量暴增，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按元/件进行补贴，设某月销售价为元/件，与之间满足关系式：，下表是某个月的销售记录，每月销售量（万件）与该月销售价（元/件）之间成一次函数关系（）． 月份 … 二月 三月 四月 五月 … 销售价x（元/件） … 6 7 … 该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 … (1)求与的函数关系式； (2)当销售价为元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ (3)当销售价定为多少时，该月纯收入最大？并求出最大值．（纯收入=利润+补贴） 61．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 62．为了响应襄阳市人民政府“改善市区河流水质，进一步净化居民生活环境”的号召，襄阳市富春紫光污水处理有限公司（以下简称：富春紫光） A型 型 价格万元台 处理污水量吨月 决定：今年新采购台污水处理设备用以增强公司的污水处理能力经过市场考查，诚信机械设备公司（以下简称：诚信公司）推荐了A、两种型号的设备供选择，其中每台的报价与月处理污水量如表： 经核算，若按诚信公司的报价：购买一台A型设备将比购买一台型设备多万元，购买台A型设备会比购买台型设备少万元． (1)求，的值； (2)诚信公司最初给出的销售条件是：购买型设备原则上不予优惠；购买A型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．并且由于受库存和产能等因素限制，在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供台A型设备，而富春紫光需要这批新购进的台设备月处理污水总能力不能低于吨， ①富春紫光买下这批设备最少需要支付多少购买资金？ ②经过反复谈判协商，诚信公司最终同意：在富春紫光按照最初的销售条件全部买下诚信公司库存的台A型设备的前提下，再给予型设备如下的优惠措施：购买型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．如果富春紫光想要用不超过万元的资金买下这批污水处理设备，试求的最大值？ 63．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． (1)求出a，b的值； (2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 64．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 65．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？ (3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案． 类型十一、一次函数应用—行程问题 66．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 67．半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） (1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； (2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 68．如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒． (1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒； (2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标； (3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 69．公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题： (1)，两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ； (2)小车出发两小时与公交车相距多少千米？ (3)求小车出发几小时后，两车相距千米？ 70．甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发3后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为（单位：）、（单位：），都是甲出发时间（单位：）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为，乙的速度为．    (1)______，______； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲出发时间（单位：）之间的函数图象． 类型十二、一次函数应用—其它问题 71．综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 72．【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； t 0 10 20 30 40 30 29 28 27 26 73．如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．    (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同： (3)若乙容器底面积为（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积． 74．在综合与实践活动中，活动小组了解到银川某家快递公司的省内邮寄的费用标准：首重2kg收费15元，续重6元/kg（不足1kg按1kg计费）．为了方便对问题的研究，活动小组将快递计费重量设为，将快递总费用定义为，如下表： 快递重量（kg） … 计费重量 2 2 3 4 5 … 快递费 15 15 21 27 33 … 定义：对于任意的快递重量，，，为不小于的最小整数，如：． (1)通过观察上表，猜想出与快递重量之间的关系式，与快递重量之间的关系式． (2)用含的代数式表示，计算当计费重量为时，快递重量的范围． (3)若快递重量为，那么快递费为多少元？ 75．某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据整理如下： 销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2 服装部制定两种奖励方案，供营业员选择高薪方案： 方案一：薪资f＝底薪a+销售额x×抽成c 方案二：薪资g＝底薪b+销售额x×抽成（销售额不超过18万元的抽成2%，18万元以上的部分抽成d，） 小明发现： I．当销售额为15万元时，两个方案的薪资均为0.5万元． Ⅱ．与他销售额相同的还有3个人，选择方案一比选择方案二多了100元． (1)写出方案二中销售额不超过18万元的薪资g（万元）关于销售额x（万元）的函数解析式：________________； (2)求销售额为30万元的小王选择方案一薪资是多少? (3)服装部发现：销售额为15万元的营业员都选择方案二．若有一半以上的营业员选择方案一时，试求方案二中销售额在18万元以上部分的抽成d的取值范围． 76．某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解： (1)小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？ (2)小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点，分别作x轴的垂线AB，CD．使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性； (3)小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由． 试卷第134页，共135页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$