第三章 位置与坐标（五大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

第三章 位置与坐标 内容导航 知识点 类型一、写出平面直角坐标系中的坐标 类型二、平面直角坐标系中的最定义问题 类型三、平面直角坐标系中的几何问题 类型四、平面直角坐标系中的规律探究问题 类型五、平面直角坐标系中的对称问题 知识点1．位置的确定 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 知识点2．平面直角坐标系的相关概念 1、建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． 2、各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． 3、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 4、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． 5、坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点3．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 类型一、写出平面直角坐标系中的坐标 1．如图，已知，，第四象限的点到轴的距离为，若，满足，则点坐标为 ；与轴的交点坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 3．如图，已知长方形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第四象限．    (1)直接写出点的坐标______； (2)点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动． ①当点运动了4秒时，直接写出此时点的坐标______； ②当三角形的面积为3时，直接写出点的坐标； (3)若过点的直线与长方形的边交于点，且直线将长方形的面积分为两部分，求点的坐标． 类型二、平面直角坐标系中的最定义问题 4．在平面直角坐标系中，点，过点P作轴，垂足为点H，给出如下定义：将点H向右平移个单位，得到点Q，则称点Q是点P关于x轴的折对点；当时，则称d为点P关于点Q的折对距离． (1)点关于x轴的折对点的坐标是______，折对距离为______； (2)点Q是点P关于x轴的折对点，若折对点，写出一个符合条件的P点坐标； (3)已知点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，在正方形上存在点P，且点P关于点Q的折对距离，直接写出t的取值范围． 5．问题情境： 如图，在平面直角坐标系中有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），小明在学习中发现，当x1=x2，AB∥y轴，线段AB的长度为|y1﹣y2|；当y1=y3，AC∥x轴，线段AC的长度为|x1﹣x3|． 初步应用 （1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥　　　　轴（填“x”或“y”）； （2）若点C（1，﹣2），CD∥y轴，且点D在x轴上，则CD=　　　　； （3）若点E（﹣3，2），点F（t，﹣4），且EF∥y轴，t=　　　　； 拓展探索： 已知P（3，﹣3），PQ∥y轴． （1）若三角形OPQ的面积为3，求满足条件的点Q的坐标． （2）若PQ=a，将点Q向右平移b个单位长度到达点M，已知点M在第一象限角平分线上，请直接写出a，b之间满足的关系．    6．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”． (1)点______“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)已知点 ①若点P是第二象限内的一个“和谐点”，且，求a的值； ②若点P是第一象限内的一个“和谐点”，如图②，点E是线段上一点，连接并延长交的延长线于点Q，，求点Q的纵坐标． 7．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．    (1)已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是 ． ②在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______； (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 8．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 9．在同一平面内，如果线段外一点到这条线段所在的直线的距离是2，我们称这个点为这条线段的“标准距离点”．例如，图1中点P为线段外一点，点P到线段所在的直线的距离是2，则称点P是线段的“标准距离点”．如图2，平面直角坐标系中，点，点在第二象限． (1)在点，，中，线段的“标准距离点”是______（只填字母）； (2)若点B是线段的“标准距离点”． ①a的值为______； ②点C是x轴上一点（点C不与点A重合），三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点C的坐标； ③已知点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数，连接交线段于点E，点F在x轴上，如果三角形的面积等于三角形的面积，求点F的坐标（用含m的式子表示）． 10．出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪的数学家赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．在平面直角坐标系中，定义md(P，Q)=为两点，之间的“曼哈顿距离”．例如A(2，-3)，B(5，2)，则md(A，B)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知点D(0，2)，H(0，1)，点G(4，5)． (1)求md(O，G)= ______； (2)已知点T(t，2-t)， ①若md(H，T)=3，则T点坐标为__________； ②求md(G，T)的最小值__________； (3)如果三个点P、Q、R之间的“曼哈顿距离”md(P，Q)、md(R，Q)、md(P，R)中，有一个是其它两个之和，称三角形PQR为“曼哈顿三角形”．已知M(0，m)，m<0，点N在第三象限，四边形DMNE为正方形．如果在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y，使得三角形YHG是曼哈顿三角形，直接写出m的取值范围是__________ 11．在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”．   ①当时，为点与点的“远距离”； 即，当时，为点与点的“远距离”， 即． ②点与点的“总距离”为与的和， 即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，则______，______； (2)若点在第一象限，且，求点B的坐标； (3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图1中画出图形W； ②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围． 类型三、平面直角坐标系中的几何问题 12．如图，在平面直角坐标系中，，为平面坐标系中一点且． (1)求证：； (2)x轴上一点有，求取得最小值时点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 15．如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存，在请说明理由． 17．已知满足，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． (1)如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是，点B的坐标是，且满足，则_______，________，A的坐标为________． (2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于E，猜想：与数量关系为________，并证明你的猜想． (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想________． 18．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于． (1)如图，当点的坐标是时，求点的坐标； (2)连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 类型四、平面直角坐标系中的规律探究问题 19．如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是(      ) A． B． C． D． ． 20．如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ． 23．如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第50秒时运动到点 ． 24．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 25．在平面直角坐标系xOy中，点M是x轴正半轴上的一个点，点M关于y轴的对称点记作点N．若在坐标系内有一点P，使得，则称点P为点M的“-关联点”．例如：如图1，点P是点M的“-关联点”．已知点，，其中且．若点Q是点A的“-关联点”，同时也是点B的“-关联点”，当时，则t的取值范围是 类型五、平面直角坐标系中的对称问题 26．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 27．如图，在平面直角坐标系中，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，并回答问题： (1)请画出关于y轴对称的，并写出坐标：________，_________，__________； (2)画出边上的高（保留作图痕迹）； (3)P为上一点，画出点P关于的对称点Q（保留作图痕迹）． ． 28．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 29．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 30．综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________； 【实践探究】 （2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题． 31．综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．    (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式：的最小值． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是______； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长； (3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，求的取值范围． 33．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称； (1)点B的坐标为________； (2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由． 试卷第2页，共92页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 位置与坐标 内容导航 知识点 类型一、写出平面直角坐标系中的坐标……………………………………………………2 类型二、平面直角坐标系中的最定义问题…………………………………………………9 类型三、平面直角坐标系中的几何问题…………………………………………………28 类型四、平面直角坐标系中的规律探究问题……………………………………………48 类型五、平面直角坐标系中的对称问题…………………………………………………55 知识点1．位置的确定 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 知识点2．平面直角坐标系的相关概念 1、建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． 2、各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． 3、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 4、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． 5、坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点3．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 类型一、写出平面直角坐标系中的坐标 1．如图，已知，，第四象限的点到轴的距离为，若，满足，则点坐标为 ；与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据和二次根式有意义的条件，得到c的值，再根据第四象限的点到轴的距离为得到C点的坐标；再把BC直线方程求解出来，即可得到答案． 【详解】解：∵， 根据二次根式的定义得到：， ∴c=2， ∴并且， 即， ∴， 又∵第四象限的点到轴的距离为， ∴， 故点坐标为， 又∵， ∴B点坐标为，点坐标为， 设BC直线方程为：y=kx+b， 把B、C代入直线方程得到， 当x=0时，， 故与轴的交点坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确求解c的值和m的值，解题时应灵活运用所学知识． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是坐标的特点、三角形的面积公式，线段有关的计算； （1）根据坐标的定义求解即可； （2）根据M为中点，得到，根据N为中点得到， 根据求解即可； （3）线段把长方形分成的两部分面积比为，只要即可使把长方形分成的两部分面积比为，据此求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点C的坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． ∴， ∴点B坐标为 故答案为：； （2）由题意得，，即 ∵M为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，，即 连接， 则线段把长方形分成的两部分面积比为， ∵把长方形分成的两部分面积比为， ∴把分成的两部分面积比为， ∴为中点， ∴， ∴， ， 此时点P坐标． 3．如图，已知长方形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第四象限．    (1)直接写出点的坐标______； (2)点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动． ①当点运动了4秒时，直接写出此时点的坐标______； ②当三角形的面积为3时，直接写出点的坐标； (3)若过点的直线与长方形的边交于点，且直线将长方形的面积分为两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据长方形的性质即可得出点的坐标； （2）①点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，当点运动了4秒时，运动了8个单位长度，此时在上，由此可得的长，进而得到，即可得出点的坐标；②设点的纵坐标为，由三角形的面积为3，可得，从而得到，再结合图形分：当在上时，当在上时，分别得出坐标即可； （3）分两种情况：当点在上时；当点在上时，根据直线将长方形的面积分为两部分，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形，，， ，， 点在第四象限， ， 故答案为：； （2）解：①点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，当点运动了4秒时，运动了8个单位长度，此时在上，   ， ， ， ， 故答案为：； ②设点的纵坐标为， 三角形的面积为3， ， 即， 或， 由图可知， ，   ， 如图，此时存在两种情况：当在上时，，当在上时，， 点的坐标为或； （3）解：当点在上时，设点，   ， 直线将长方形的面积分为两部分， ， ， 即， 解得：， ， 当点在上时，设点，   ， 直线将长方形的面积分为两部分， ， ， 即， 解得：， ， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题只要考查了坐标与图形、三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质，采用数形结合的思想以及分类讨论的思想解题，是解题的关键． 类型二、平面直角坐标系中的最定义问题 4．在平面直角坐标系中，点，过点P作轴，垂足为点H，给出如下定义：将点H向右平移个单位，得到点Q，则称点Q是点P关于x轴的折对点；当时，则称d为点P关于点Q的折对距离． (1)点关于x轴的折对点的坐标是______，折对距离为______； (2)点Q是点P关于x轴的折对点，若折对点，写出一个符合条件的P点坐标； (3)已知点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，在正方形上存在点P，且点P关于点Q的折对距离，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折对点及折对距离的定义求解即可； （2）根据折对点的定义确定平移距离，写出点的坐标即可； （3）由题意可知正方形边长为，根据点P关于点Q的折对距离，分类讨论，确定取值范围即可． 【详解】（1）解：点，过点P作轴，则点H的坐标为，， 向右平移个单位后得到折对点坐标为； 折对距离为， 故答案为：，． （2）解：点Q是点P关于x轴的折对点，折对点，设点Q是向右平移个单位得到的，则点P的坐标为或（答案不唯一）． （3）解：∵点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形， ∴正方形的边长为，当点P在上时，点P关于点Q的折对距离，t的最小值为，即． 当点P在上时，点P关于点Q的折对距离，t的最大值为，即； 所以，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，解题关键是准确理解新定义，利用点的坐标特征解决问题． 5．问题情境： 如图，在平面直角坐标系中有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），小明在学习中发现，当x1=x2，AB∥y轴，线段AB的长度为|y1﹣y2|；当y1=y3，AC∥x轴，线段AC的长度为|x1﹣x3|． 初步应用 （1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥　　　　轴（填“x”或“y”）； （2）若点C（1，﹣2），CD∥y轴，且点D在x轴上，则CD=　　　　； （3）若点E（﹣3，2），点F（t，﹣4），且EF∥y轴，t=　　　　； 拓展探索： 已知P（3，﹣3），PQ∥y轴． （1）若三角形OPQ的面积为3，求满足条件的点Q的坐标． （2）若PQ=a，将点Q向右平移b个单位长度到达点M，已知点M在第一象限角平分线上，请直接写出a，b之间满足的关系．    【答案】初步应用：（1）x；（2）2；（3）-3；拓展探索：（1）Q点坐标为（3，-1）或（3，-5）；（2）a﹣b=6． 【分析】初步应用：（1）根据若，即可得出结论； （2）由C（1，﹣2），CD∥y轴，且点D在x轴上，可得D的坐标，再根据进行计算即可， （3）由EF∥y轴，可得，从而可得答案， 拓展探索： （1）利用P（3，﹣3），PQ∥y轴，三角形OPQ的面积为3，可得的长度，结合的位置直接得到答案， （2）利用P（3，﹣3），PQ∥y轴，PQ=a，写出的坐标，再根据平移规律得到的坐标，利用的位置列方程得数量关系． 【详解】解：（1） A（﹣1，1）、B（2，1）， ， 轴， 故答案为：． （2） C（1，﹣2），CD∥y轴，且点D在x轴上， ， 故答案为：2． （3） EF∥y轴， ， E（﹣3，2），点F（t，﹣4）， 故答案为： 拓展探索： （1）如图： P（3，﹣3），PQ∥y轴， ， 同理： ． 故答案为：（3，-1）或（3，-5） （２） PQ=a，P（3，﹣3），PQ∥y轴， 或（不合题意舍去） 往右平移个单位长度后到点M，则坐标为， 在第一象限的角平分线上，    故答案为： 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点的坐标特点，与轴，轴平行的直线上的点的坐标特点，线段长度的计算方法，点的平移的坐标规律，掌握以上知识是解题关键． 6．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”． (1)点______“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)已知点 ①若点P是第二象限内的一个“和谐点”，且，求a的值； ②若点P是第一象限内的一个“和谐点”，如图②，点E是线段上一点，连接并延长交的延长线于点Q，，求点Q的纵坐标． 【答案】(1)不是 (2)①；②4 【分析】（1）由题干“和谐点”的定义计算出和即可判断点P是否为“和谐点”； （2）①根据“和谐点”的定义列出方程，解方程即可； ②根据点P是第一象限内的一个“和谐点”，得出，设点E的坐标为，点Q的坐标为，根据点E、Q在同一直线上得出，表示出，，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，如图所示： ∵，， ∴点P不是“和谐点”； （2）解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，如图所示： ∵，点P是第二象限内的一个“和谐点”， ∴，， ∴， 解得：； ②∵点P是第一象限内的一个“和谐点”， ∴， ∴， 设点E的坐标为，点Q的坐标为， 设直线为，把代入得：， ∴， ∴直线为， 把代入得：， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ， ， ， 把代入得：， 整理得：， 把代入得： ， 即点Q的纵坐标为4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，整式混合运算，一元一次方程的应用．理解“和谐点”的定义和利用数形结合的思想是解答本题的关键． 7．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．    (1)已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是 ． ②在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______； (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①3；②③或． (2)的值是或 【分析】（1）①根据定义分别求得点A到x轴，y轴的距离，即可求解； ②求出点E，F，G的“长距”，找到与点A是“等距点”的点； ③根据“等距点”的定义可得点的“长距”是3，从而得到，解方程即可求解； （2）由于点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，又，为“等距点”，可分两种情况讨论：①若，则，②若，则，解之即可解答． 【详解】（1）①∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”是3． 故答案为：3 ②∵点的“长距”是3， 点的“长距”是3， 点的“长距”是5， ∴点A的“等距点”是点E，F． 故答案为：E，F ③∵点A，B两点为“等距点”，且， ∴， 解得或． 故答案为：或 （2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为1， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为4， 又，为“等距点”， ∴①若，则， 解得（舍去）或． ②若，则， 解得或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键． 8．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【分析】（1）①分别期初四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 ∵R，S两点为“和合点”， ∴． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．在同一平面内，如果线段外一点到这条线段所在的直线的距离是2，我们称这个点为这条线段的“标准距离点”．例如，图1中点P为线段外一点，点P到线段所在的直线的距离是2，则称点P是线段的“标准距离点”．如图2，平面直角坐标系中，点，点在第二象限． (1)在点，，中，线段的“标准距离点”是______（只填字母）； (2)若点B是线段的“标准距离点”． ①a的值为______； ②点C是x轴上一点（点C不与点A重合），三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点C的坐标； ③已知点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数，连接交线段于点E，点F在x轴上，如果三角形的面积等于三角形的面积，求点F的坐标（用含m的式子表示）． 【答案】(1)H，K (2)①2；②点C的坐标为；③或 【分析】（1）根据“标准距离点”的定义，线段的“标准距离点”就是要求到线段的距离为2，又线段在x轴上，即要求到x轴的距离为2，故点H、K满足要求； （2）①由于点B是线段OA的“标准距离点”，所以； ②设点C的坐标为，过点B作轴于点M，则，，根据列出方程求解即可； ③过点E作轴于点P，与的延长线交于点Q，则，由点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数可得点D的坐标为，由点B、点D的坐标可得，由于，，根据得到，因此点F的坐标为或 【详解】（1）∵点到x轴的距离为1，点到x轴的距离为2，到x轴的距离为2 ∴点到线段的距离为1，点到线段的距离为2，到线段的距离为2 ∴线段的“标准距离点”是点H和点K． 故答案为：H，K （2）①∵点是线段的“标准距离点” ∴ ∵点在第二象限 ②设点C的坐标为，过点B作轴于点M ，， ，， 解得 ∴点C的坐标为或 ∵点C不与点A重合 ∴点C的坐标为 ③过点E作轴于点P，与的延长线交于点Q ∵点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数 ∴，即点D的坐标为 轴， 轴，轴 ， ， 又 点F的坐标为或 【点睛】本题主要考查新定义，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，坐标系中求三角形的面积．解题的关键是平面直角坐标系中线段的长的求解． 10．出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪的数学家赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．在平面直角坐标系中，定义md(P，Q)=为两点，之间的“曼哈顿距离”．例如A(2，-3)，B(5，2)，则md(A，B)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知点D(0，2)，H(0，1)，点G(4，5)． (1)求md(O，G)= ______； (2)已知点T(t，2-t)， ①若md(H，T)=3，则T点坐标为__________； ②求md(G，T)的最小值__________； (3)如果三个点P、Q、R之间的“曼哈顿距离”md(P，Q)、md(R，Q)、md(P，R)中，有一个是其它两个之和，称三角形PQR为“曼哈顿三角形”．已知M(0，m)，m<0，点N在第三象限，四边形DMNE为正方形．如果在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y，使得三角形YHG是曼哈顿三角形，直接写出m的取值范围是__________ 【答案】(1)9 (2)①T点坐标为或；②当时，md(G，T)的最小值为 (3) 【分析】（1）根据曼哈顿距离定义计算即可； （2）①根据曼哈顿距离定义表示出md(H，T)，再列方程计算即可； ②根据曼哈顿距离定义表示出md(G，T)的值再判断即可； （3）设，表示出md(Y，G)、md(Y，H)、md(G，RH)的值后观察即可． 【详解】（1）∵点G(4，5) ∴， 故答案为：9 （2）①∵T(t，2-t)，H(0，1) ∴ 当时，，解得，此时T点坐标为； 当时，； 当时，，解得，此时T点坐标为； 综上所述，T点坐标为或 ② ∵根据绝对值的意义可得：表示数轴上一点t到4和-3的距离之和 ∴当t在4和-3之间时和最小， 即当时，md(G，T)的最小值为． （3）设 ∵Y在正方形DMNE为内部，且D(0，2)，M(0，m)，m<0，点N在第三象限， ∴， ∵Y为整点 ∴，且 a、b均为整数 ∴ ∴ ∴正方形DMNE内部所有整点都能使三角形YHG是曼哈顿三角形， ∵在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y， ∴正方形的边长范围为： 即，解得． 【点睛】本题考查直角坐标系中的坐标特征、新定义运算，理解“曼哈顿距离”的定义是解题的关键，第（3）问需要特别注意的横纵坐标的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”．   ①当时，为点与点的“远距离”； 即，当时，为点与点的“远距离”， 即． ②点与点的“总距离”为与的和， 即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，则______，______； (2)若点在第一象限，且，求点B的坐标； (3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图1中画出图形W； ②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据和的定义，进行计算即可； （2）分或两种情况讨论求解即可； （3）①根据，得到，然后画图即可； ②分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， ∵B点在第一象限， ∴或， ∴或，即或； （3）解：①∵， ∴如图所示：    ②设：， ∵点E在线段上， 则：，， ∵且， 当时，当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往右移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且，    当时：当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往左移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且，    综上：或时，在线段上存在点E，使得点E满足且． 【点睛】本题考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握和的定义，是解题的关键． 类型三、平面直角坐标系中的几何问题 12．如图，在平面直角坐标系中，，为平面坐标系中一点且． (1)求证：； (2)x轴上一点有，求取得最小值时点的坐标． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）根据两点间的距离公式及完全平方公式求解即可； （2）根据绝对值的性质及坐标内点的坐标性质求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，取得最小值， 当时，点在线段的垂直平分线上， ，， 点的横坐标为，即， 由（1）知，， ， ， 当时，无解， 当时，， 综上，取得最小值时点的坐标为或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了两点间的距离公式、绝对值的性质及坐标系内点的坐标性质等知识点，熟练运用有关知识是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 14．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 15．如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，②或 (4)，或或 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． （1）由图可知； （2）利用可证； （3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为：； （2）证明：，， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：①由（2）知， ，， 四边形的面积为：； ②同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：， 故答案为：，； （4）解：如图所示，作轴于点D． ，， ，． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存，在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 或 【分析】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解∶ ， ， 或（舍）， ； （2）解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴，  ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，注意分类讨论． 17．已知满足，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． (1)如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是，点B的坐标是，且满足，则_______，________，A的坐标为________． (2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于E，猜想：与数量关系为________，并证明你的猜想． (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想________． 【答案】(1)，3， (2)．证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，利用证明，得出，，即可求解； （2）先利用等腰三角形的判定得出，同（1）的方法证明出，得出即可； （3）作于E，同（1）方法证明，得出，最后结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图①中， ∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，3，； （2）解：结论：． 理由：如图②中，延长、交于点F， ∵y轴平分， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：； 如图③中，作于E， 则四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于． (1)如图，当点的坐标是时，求点的坐标； (2)连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】(1) (2)当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即 (3)当与全等时， 【分析】（1）根据题意，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作于点，根据全等三角形的判定方法可得，再根据角平分线的性质即可求解； （3）根据题意，可得，分别用含的式子表示出的值，根据全等三角形的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴，且， ∴四边形是矩形， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是角平分线， ∴， ∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即； （3）解：已知， ∴，，且， ∴在中，， ∴， 由（1）的证明可得，， ∴，则， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位， ∴，，则点从的时间为：， 第一种情况，当在上时，，则， ∴，且， ∴， 解得，； 第二中情况，当在的延长线上时，如图所示， ∵，且，即， ∴， ∴不存在； 综上所述，当与全等时，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，动点与线段和差的计算方法，掌握平面直角坐标系的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 类型四、平面直角坐标系中的规律探究问题 19．如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形、点坐标规律型问题等知识点，根据已知条件归纳出规律是解题的关键． 根据坐标系确定前面的一些点，然后归纳规律，最后利用规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴点在第三象限， 由题意，，，，，，，，，，，， ∴， ∵，即， ∴． 故选：C． 20．如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：B． 21．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律．设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化确定变化的规律，结合，即可求解． 【详解】解：设第次跳动至点， 观察发现：，，，，，，，，，，..． ∴，，，，（为自然数）， ∵， ∴， 即． 故选：C． 22．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律，根据已知和图性可得，点的横纵坐标每次一轮变化，横坐标每一次比前一次多，纵坐标按照循环，据此即可求解，从所给的数据和图形中找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：前五次运动横坐标分别为， 第到次运动横坐标分别为， ， ∴第到次运动横坐标分别为， 前五次运动纵坐标分别为， 第到次运动纵坐标分别为， ， ∴第到次运动纵坐标分别为， ∵， ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是， 故答案为：． 23．如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第50秒时运动到点 ． 【答案】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，观察图形可知，每6秒运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用50除以6，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可，，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 【详解】解：点的运动规律是每运动四次向右平移四个单位， ， ∴ 动点P第48秒时运动到向右平移个单位， 则 此时点P的坐标为 接下来点P在轴的上方运动， 再过两秒后点坐标为， 故动点P第50秒时运动到点， 故答案为：． 24．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ，45为奇数， 第2025个点的坐标为， 退1个点，得到第2024个点是， 故答案为：． 25．在平面直角坐标系xOy中，点M是x轴正半轴上的一个点，点M关于y轴的对称点记作点N．若在坐标系内有一点P，使得，则称点P为点M的“-关联点”．例如：如图1，点P是点M的“-关联点”．已知点，，其中且．若点Q是点A的“-关联点”，同时也是点B的“-关联点”，当时，则t的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解点为点的“关联点”是意义．画出图形，由是点的“一关联点”，可得在右侧，即，在中，，当时，在中，，可得，求出t的值，观察图形即得点是点的“关联点”，同时也是点的“一关联点”，且，据此求出的范围； 【详解】如图： 是点的“一关联点”， 在右侧，即， 根据已知可得：，，，， 在中，， 当时，在中，， ， 解得， 由图可得，点是点的“关联点”，同时也是点的“一关联点”，且，的范围是； 故答案为： 类型五、平面直角坐标系中的对称问题 26．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P即为所求 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形． （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得周长最小． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）如图，点P即为所求． 27．如图，在平面直角坐标系中，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，并回答问题： (1)请画出关于y轴对称的，并写出坐标：________，_________，__________； (2)画出边上的高（保留作图痕迹）； (3)P为上一点，画出点P关于的对称点Q（保留作图痕迹）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了对称的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的三线合一的性质，三角形全等的判定和性质等知识，熟记几何图形性质是解题的关键． （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的判定和性质，推理判定，再画图即可． （3）根据等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的判定和性质，推理判定，再画图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 故，画图如下： ． 故答案为：． （2）解：根据题意，得，，， 得到， 取， 连接交于点H， 连接， 则即为所求． （3）解：连接交于点M， 连接，并延长，交于点Q， 则点Q即为所求． 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴即， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线是线段的垂直平分线， 故点P与点Q关于直线对称． 28．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:． 【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可； （）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵在中，，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，， ∵直线经过点， ∴直线的解析式为, 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小， ∴，，， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于， 设，则， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∴， 故点的坐标为：， 故答案为：； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为； 【拓展延伸】：如图所示， 直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为， ∵，， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 29．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3)最小值为10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和； （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和， 故答案为或； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，    ∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴，， ∴ ， ∴代数式的最小值为10． 30．综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________； 【实践探究】 （2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由关于轴对称的点的特征求出对称点的坐标； （2）过点作轴，交直线于点，连接，证明，求出的长度，从而得到点的坐标； （3）过点作轴，交直线于点，证明，通过直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，求出点的坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：（1）由关于轴对称的点的特征可知，点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （2）过点作轴，交直线于点，连接， ∵点，点关于直线对称， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴点， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴点的坐标为； （3）过点作轴，交直线于点， ∴， ∵点，点关于直线对称，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵轴，点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是， ∴点横坐标为， ∵， ∴点横坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查关于轴对称的点的特征，平面直角坐标系中的点的坐标，全等三角形的性质与判定，平行线的性质等知识点，解题关键在于构造全等三角形，求出相应线段的长度从而得到点的坐标． 31．综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．    (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式：的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)5 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积． （3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：的面积是； 故答案为：； （2）的边长分别为、、（，，且）， ∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：    由图可知：的面积是； （3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：    设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为5． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是______； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长； (3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案； （3）根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标； 故答案为：；； （2）解：∵点的坐标是，其中， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴； （3）解：∵点，， ∴点、关于轴和直线的二次反射点分别为，，如图， 当与有公共点时， ， 解得：， 当与有公共点时， ， 解得：， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称性质、动点问题、新定义二次反射点的理解和运用，解题关键是对新定义二次反射点的正确理解． 33．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称； (1)点B的坐标为________； (2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据对称性可知到的距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解； （2）根据对称性可知点与点关于对称，则点在上，设点，根据三角形的面积公式求解即可求解； （3）方法同（2）即可求解． 【详解】（1）点A的坐标为，过点作x轴的垂线l， 到的距离为, 则 故答案为： （2）如图，,， 点与点关于对称， 在四边形内部有一个点P，满足， 则点在上，设点， ， 即 解得或 在四边形内部 （3）存在，由（2）可知时，在四边形外部 故 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点到坐标轴的距离，数形结合是解题的关键． 试卷第2页，共92页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$