精品解析：广东省惠州市惠城区2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学模拟试题

2024年广东省惠州市惠城区九年级数学上册第一次月考模拟 （考试范围：一元二次方程、二次函数； 时间：90分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共计30分） 1. 下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 4. 如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （     ） A. 对称轴是直线 B. 图象与x轴没有交点 C. 顶点坐标为 D. 当时， y随x的增大而减小 7. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（     ） A. 2023 B. C. 2024 D. 2025 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，抛物线顶点为，下列四个结论：①无论取何值，恒成立；②当时，是等腰直角三角形；③若则；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①② D. ①③ 二、填空题(本大题共7个小题,每小题4分,共计28分) 11. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为， 则代数式的值为 _________． 13. 关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则______． 14. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 15. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为______秒． 16. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 17. 已知抛物线（对称轴为直线）的部分图像如图所示，以下结论：①；②方程的根是，；③抛物线上有三点，，，则；④，其中正确的有______．（填序号） 三、解答题(本大题共7个小题,共计72分) 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 如图，点都在二次函数的图象上． （1）求a，b的值． （2）若二次函数的图象经过点，，，比较，，的大小，并简述理由． 21. 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个． （1）当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式； （2）如果前两天共获利525元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？ 23. 如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（）． （1）求的长度．（用含的代数式表示） （2）连接、，当为直角三角形时，求的值． （3）设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示． （4）当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值． 24. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； （3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省惠州市惠城区九年级数学上册第一次月考模拟 （考试范围：一元二次方程、二次函数； 时间：90分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共计30分） 1. 下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为是一元二次方程． 【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； （2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程； （3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程； （4）不是整式方程，不是一元二次方程． ∴是一元二次方程是（1），共有1个， 故选：A． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 4. 如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 解：以AB所在的直线为x轴，向右为正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，向上为正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2， 把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2， 所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4-4）米， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 6. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （     ） A. 对称轴是直线 B. 图象与x轴没有交点 C. 顶点坐标为 D. 当时， y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，逐项判定即可． 【详解】解：A．，二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．∵，抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意； C．，顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（     ） A. 2023 B. C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是关键． 由题意知，，则，根据，再整体代入计算即可． 【详解】解：解：由题意知，， ， ． 故选：D． 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 10. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，抛物线顶点为，下列四个结论：①无论取何值，恒成立；②当时，是等腰直角三角形；③若则；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①② D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可知C（0，t），把解析式配方可得顶点D（1，t-1），根据两点间距离公式可对①进行判断；当t=0时，根据抛物线解析式可得A、B、D三点坐标，利用两点间距离公式求出AD、BD、AB的长，根据勾股定理逆定理即可对②进行判定；根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，根据二次函数的对称性即可对③进行判定；由可得x1-1＞1-x2，根据x1、x2的取值范围可比较两点与对称轴的距离的远近，根据二次函数的性质可对④进行判定；综上即可得答案． 【详解】∵=(x-1)2+t-1， ∴顶点D坐标为（1，t-1），对称轴为直线x=1， 当x=0时，y=t， ∴点C坐标为（0，t）， ∴CD==， ∴无论取何值，恒成立，故①正确， 当t=0时，方程为y=x2-2x，顶点D坐标为（1，-1）， 令y=0，则x2-2x=0， 解得：x1=0，x2=2， ∴A（0，0），B（2，0）， ∵A、B关于对称轴x=1对称， ∴△ABD是等腰三角形，AD=BD==，AB=2， ∵（）2+（）2=22， ∴AD2+BD2=AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确， ∵A（a，0），B（b，0）根据对称轴x=1对称， ∴当a=-1时，b=3，故③错误， ∵， ∴x1-1＞1-x2， ∵， ∴x1-1＜0，1-x2＜0， ∴|x1-1|＜|1-x2|， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∵1＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴y1＜y2，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题及二次函数的性质，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．熟练掌握二次函数解析式的三种形式及性质是解题关键． 二、填空题(本大题共7个小题,每小题4分,共计28分) 11. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为， 则代数式的值为 _________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解． 利用抛物线与轴的交点问题得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：2025． 13. 关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将一元二次方程转化为一般式，由根与系数的关系得到，再将变形为代入数据计算即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程即的两个根分别为和， ， ， ， 故答案为：． 14. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 15. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为______秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 当汽车停下来时，最大，故将写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴当秒时，S取得最大值，即汽车停下来． 故答案为：2． 16. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 17. 已知抛物线（对称轴为直线）的部分图像如图所示，以下结论：①；②方程的根是，；③抛物线上有三点，，，则；④，其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；根据二次函数图像和性质一一判断即可； 【详解】解：抛物线（对称轴为直线）， ， 抛物线开口向上， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ∴， 故，故①正确； 抛物线与轴交于，对称轴为， 则抛物线与轴另一个交点为交于， 故②正确； 根据抛物线的增减性可知：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 当和时，值相等； 故，故③错误； 已知对称轴为直线， 当时，是，取得最小值； 当时，，即，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题(本大题共7个小题,共计72分) 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程． （1）先变形得到，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为，然后利用求根公式法解方程． 【小问1详解】 解： ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， 变形得， 其中，，，， ∴， ∴， ，． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 20. 如图，点都在二次函数的图象上． （1）求a，b的值． （2）若二次函数的图象经过点，，，比较，，的大小，并简述理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据函数的性质解答． 【小问1详解】 解：将代入中，得 ，解得， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴二次函数的解析式为， ∵，对称轴为直线， ∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， ∵二次函数的图象经过点，，，且 ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 21. 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 22. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个． （1）当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式； （2）如果前两天共获利525元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？ 【答案】（1） （2）第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元 【解析】 【分析】（1）利用第二天起每天的销售量每个降低的价格，即可解答； （2）利用总利润每个销售利润销售数量，结合前两天共获利525元，即可列一元二次方程，解之即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意可得， 整理得， 解得，， 当时，不符合题中让更多的消费者拥有“冰墩墩”降价的主旨， ， 答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系． 23. 如图在长方形中，，，动点从点出发以的速度匀速向终点运动，当点出发后动点从点出发，沿折线——以的速度向终点运动，设点的运动时间为（）． （1）求的长度．（用含的代数式表示） （2）连接、，当为直角三角形时，求的值． （3）设以、、、为顶点的四边形的面积为，用含的代数式表示． （4）当在（3）条件下的四边形为梯形时，且梯形面积等于，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）在上和在上两种情况讨论求解即可； （2）由当为直角三角形时，只有，此时，重合，求解即可； （3）分在上，且点在点的左侧，即时，在上，且点在点的右侧，即时，以及当在上，即时，三种情况讨论求解即可； （4）分在上，且点在点的左侧，即时，和当在上，且点在点的右侧，即时，两种情况列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：当在上，即时，（）， 当在上，即时，（）， ∴的长度为； 【小问2详解】 解：如图，由题意可得，， 又∵， ∴当为直角三角形时，，此时，重合， ∴当为直角三角形时，； 【小问3详解】 解：如图，当在上，且点在点的左侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，且点在点的右侧，即时， ∵，， ∴， ∴（）， 如图，当在上，即时， ∵，，， ∴， ∴（）， 综上可得， 【小问4详解】 解：以、、、为顶点的四边形为梯形时，在上， 当在上，且点在点的左侧，即时，由（）得 ， 解得， 当在上，且点在点的右侧，即时，由（）得 ， 解得， 综上的值为或． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，直角三角形，绝对值，熟练掌握面积公式是解题的关键． 24. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； （3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）存在，，，，； （3）存在点M使最小， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【小问1详解】 解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； 【小问3详解】 解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $