河南省开封市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式

河南省开封市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 一．选择题（共10小题） 1．（2024•开封二模）关于x的一元二次方程x（x﹣3）＝2m有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•开封二模）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 3．（2024•兰考县二模）定义新运算：m*n＝m2﹣mn﹣3，例如：2*3＝22﹣2×3﹣3＝﹣5．则关于x的一元二次方程x*a＝1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 4．（2024•尉氏县二模）若关于x的一元二次方程（1﹣m）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2且m≠1 B．m＞2 C．m≤2且m≠1 D．m≥2 5．（2024•顺河区二模）数轴所表示的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 6．（2024•顺河区二模）一元二次方程x（x﹣2）＝3根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 7．（2024•龙亭区二模）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+x+3＝0 D．﹣x2﹣2x﹣1＝0 8．（2024•顺河区二模）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定ad﹣bc，例如2×3﹣4×1＝2，则3的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 9．（2024•龙亭区二模）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k＜2 B．k＞2 C．k＞4 D．k≥2 10．（2024•龙亭区二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞2 C．m＜2且m≠1 D．m＞﹣2且m≠1 二．填空题（共8小题） 11．（2024•开封二模）我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱”其大意是：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买x个，苦果买y个，则可列方程组为 　 　． 12．（2024•龙亭区二模）方程的解为 　 　． 13．（2024•龙亭区二模）选择适当的不等号填空：若a＜b，则﹣2a+1 　 　﹣2b+1． 14．（2024•顺河区二模）已知关于x的分式方程1的解是非正数，则a的取值范围是　 　． 15．（2024•龙亭区二模）不等式组的解集是 　 　． 16．（2024•开封二模）不等式组的正整数解的和为 　 　． 17．（2024•开封二模）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为 　 　． 18．（2024•尉氏县二模）不等式组的解集为 　 　． 三．解答题（共5小题） 19．（2024•尉氏县二模）为践行环保理念，守护绿水青山，某餐厅计划从“2024中国国际生物降解材料展览会（生物降解展）”采购甲、乙两种可降解的一次性餐具．已知甲种餐具的单价是乙种餐具单价的，用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套． （1）求甲、乙两种餐具的单价． （2）如果采购甲、乙两种可降解的一次性餐具共20000套，其中甲种m套，乙种的套数不少于甲种的一半，一共需要w元，那么采购甲种多少套时需要的采购款最少？ 20．（2024•顺河区二模）为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 21．（2024•顺河区二模）南阳市历史文化厚重，是楚汉文化的重要发祥地，同时也是“中国月季之乡”．某苗圃经营商从批发市场购进甲、乙两种月季花进行售卖．若每棵甲种月季花的进价比每棵乙种月季花的进价少5元，且用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等． （1）求购进甲、乙两种月季花的单价分别为多少元． （2）该苗圃经营商计划购进甲、乙两种月季花共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，已知甲的售价是40元/棵，乙的售价是50元/棵，试问如何购买能使利润最大？并求出最大利润． 22．（2024•开封二模）河南省鄢陵县特产——鄢陵蜡梅是中国国家地理标志产品，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生去某教育基地体验鄢陵蜡梅种植，为了方便开展活动，需要采购一批鄢陵蜡梅树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下： 信息一： 树苗品种 单价/（元/棵） 采购地 A B 市场 a+14 55 园艺基地 a 50 信息二：用540元在市场上购买A种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买A种树苗的棵数相同． （1）请分别求出园艺基地、市场上A种树苗的单价． （2）学校决定在园艺基地购买A，B两种树苗共300棵，且A种树苗的棵数不超过B种树苗的棵数的，园艺基地为了支持该学校的活动，对A，B两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则学校最少花费多少元？ 23．（2024•开封二模）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元． （1）求甲、乙两种书的单价． （2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过2800元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 河南省开封市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•开封二模）关于x的一元二次方程x（x﹣3）＝2m有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：x（x﹣3）＝2m转化为一般式为：x2﹣3x﹣2m＝0， ∵方程有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2m）≥0， ∴； 故选：A． 2．（2024•开封二模）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：根据题意，得Δ＝4﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，解得a＞﹣1， ∵a≠0， ∴a的值可以为， 故选：A． 3．（2024•兰考县二模）定义新运算：m*n＝m2﹣mn﹣3，例如：2*3＝22﹣2×3﹣3＝﹣5．则关于x的一元二次方程x*a＝1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【解答】解：由x*a＝1得， x2﹣ax﹣3＝1， 即x2﹣ax﹣4＝0， 所以Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣4）＝a2+16≥16＞0， 所以此方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（2024•尉氏县二模）若关于x的一元二次方程（1﹣m）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2且m≠1 B．m＞2 C．m≤2且m≠1 D．m≥2 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣m）x2+2x﹣1＝0有实数根， ∴， 解得m≤2且m≠1， 故选：C． 5．（2024•顺河区二模）数轴所表示的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 【解答】解：∵数轴上﹣1点处是空心圆点，且折线向左， ∴x＜﹣1． 故选：C． 6．（2024•顺河区二模）一元二次方程x（x﹣2）＝3根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：由题知， x（x﹣2）＝3， 即x2﹣2x﹣3＝0， 所以b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝4+12＝16＞0， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 7．（2024•龙亭区二模）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+x+3＝0 D．﹣x2﹣2x﹣1＝0 【解答】解：A．Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等实数根，此选项错误，不合题意； B．Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误，不合题意； C．Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，方程没有实数根，此选项错误，符合题意； D．Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝0，方程有两个相等的实数根，此选项错误，不合题意． 故选：C． 8．（2024•顺河区二模）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定ad﹣bc，例如2×3﹣4×1＝2，则3的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：根据规定得x（x﹣3）﹣3x＝﹣3，整理得x2﹣6x+3＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×3＝24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 9．（2024•龙亭区二模）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k＜2 B．k＞2 C．k＞4 D．k≥2 【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＜0， 解得：k＞2． ∴实数k的取值范围是：k＞2． 故选：B． 10．（2024•龙亭区二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞2 C．m＜2且m≠1 D．m＞﹣2且m≠1 【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（m﹣1）＝8﹣4m＞0，且m﹣1≠0， 解得：m＜2且m≠1． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．（2024•开封二模）我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱”其大意是：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买x个，苦果买y个，则可列方程组为 　　． 【解答】解：每个甜果的价格（文），每个苦果的价格（文）， 设甜果买x个，苦果买y个， 根据题意，得， 故答案为：． 12．（2024•龙亭区二模）方程的解为 　x＝1　． 【解答】解：原方程去分母得：x（x+3）+6（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）， 整理得：9x﹣18＝﹣9， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+3）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 13．（2024•龙亭区二模）选择适当的不等号填空：若a＜b，则﹣2a+1 　＞　﹣2b+1． 【解答】解：∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴﹣2a+1＞﹣2b+1， 故答案为：＞． 14．（2024•顺河区二模）已知关于x的分式方程1的解是非正数，则a的取值范围是　a≥﹣3且a≠﹣2　． 【解答】解：去分母，得a+2＝﹣x﹣1， 解得：x＝﹣a﹣3， ∵x≤0， ∴﹣a﹣3≤0， ∴a≥﹣3， ∴a≠﹣2， ∴a≥﹣3且a≠﹣2． 故答案为：a≥﹣3且a≠﹣2． 15．（2024•龙亭区二模）不等式组的解集是 　x＞1　． 【解答】解：； 解不等式①得： x≥﹣1； 解不等式②得： x﹣2x+2＜1； ∴x＞1； ∴不等式组的解集为：x＞1 故答案为：x＞1． 16．（2024•开封二模）不等式组的正整数解的和为 　3　． 【解答】解： 解不等式①，得x≤2， 解不等式②，得x＞﹣4， ∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤2， ∴正整数解为1，2， 即1+2＝3， 故答案为：3． 17．（2024•开封二模）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为 　（x+1）2＝4　． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， 移项得，x2+2x＝3， 等式两边同时加上1得，x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， 故答案为：（x+1）2＝4． 18．（2024•尉氏县二模）不等式组的解集为 　﹣5＜x≤4　． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≤4， 解不等式②，得：x＞﹣5， 不等式组的解集为：﹣5＜x≤4． 故答案为：﹣5＜x≤4． 三．解答题（共5小题） 19．（2024•尉氏县二模）为践行环保理念，守护绿水青山，某餐厅计划从“2024中国国际生物降解材料展览会（生物降解展）”采购甲、乙两种可降解的一次性餐具．已知甲种餐具的单价是乙种餐具单价的，用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套． （1）求甲、乙两种餐具的单价． （2）如果采购甲、乙两种可降解的一次性餐具共20000套，其中甲种m套，乙种的套数不少于甲种的一半，一共需要w元，那么采购甲种多少套时需要的采购款最少？ 【解答】解：（1）设乙种餐具的单价为x元/套，则甲种餐具的单价为元/套．根据题意得， ， 解得：x＝0.5， 经检验，x＝0.5是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种餐具的单价为0.2元/套，乙种餐具的单价为0.5元/套． （2）由题意得w＝0.2m+0.5（20000﹣m）＝﹣0.3m+10000， ∵﹣0.3＜0， ∴w随m的增大而减小． ∵， 解得， ∵m为正整数， ∴当m＝13333时，w有最小值． 答：当采购甲种13333套时需要的采购款最少． 20．（2024•顺河区二模）为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 【解答】解：（1）设该校八年级订购的《西游记》的单价是x元，则《朝花夕拾》的单价是1.4x元， 由题意得：300， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴1.4x＝14， 答：该校八年级订购的《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元； （2）设《朝花夕拾》购买m本，则《朝花夕拾》购买（100﹣m）本， 由题意得：14m+10（100﹣m）≤1200， 解得：m≤50， 答：《朝花夕拾》最多购买50本． 21．（2024•顺河区二模）南阳市历史文化厚重，是楚汉文化的重要发祥地，同时也是“中国月季之乡”．某苗圃经营商从批发市场购进甲、乙两种月季花进行售卖．若每棵甲种月季花的进价比每棵乙种月季花的进价少5元，且用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等． （1）求购进甲、乙两种月季花的单价分别为多少元． （2）该苗圃经营商计划购进甲、乙两种月季花共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，已知甲的售价是40元/棵，乙的售价是50元/棵，试问如何购买能使利润最大？并求出最大利润． 【解答】解：（1）设甲种月季每棵x元，乙种月季每棵（x+5）元，由题意得， ， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解， 则乙种月季的价格为：30+5＝35元， 答：甲种月季每棵30元，乙种月季每棵35元； （2）设该苗圃获得利润为y元，购进甲种月季a棵，则购进乙种月季（100﹣a）棵，由题意得， y＝（40﹣30）a+（50﹣35）（100﹣a）＝﹣5a+1500， ∵100﹣a≤3a ∴a≥25， ∵﹣5＜0， ∴当a＝25时，y有最大值，即y最大＝﹣5×25+1500＝1375， 即：购进甲种月季25棵时，该苗圃获得利润最大，为1375元． 22．（2024•开封二模）河南省鄢陵县特产——鄢陵蜡梅是中国国家地理标志产品，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生去某教育基地体验鄢陵蜡梅种植，为了方便开展活动，需要采购一批鄢陵蜡梅树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下： 信息一： 树苗品种 单价/（元/棵） 采购地 A B 市场 a+14 55 园艺基地 a 50 信息二：用540元在市场上购买A种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买A种树苗的棵数相同． （1）请分别求出园艺基地、市场上A种树苗的单价． （2）学校决定在园艺基地购买A，B两种树苗共300棵，且A种树苗的棵数不超过B种树苗的棵数的，园艺基地为了支持该学校的活动，对A，B两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则学校最少花费多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：a＝40， 经检验，a＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴a+14＝40+14＝54（元/棵）． 答：园艺基地A种树苗的单价是40元/棵，市场上A种树苗的单价是54元/棵； （2）设购买x棵A种树苗，则购买（300﹣x）棵B种树苗， 根据题意得：x（300﹣x）， 解得：x≤120． 设学校在园艺基地购买A，B两种树苗共花费y元，则y＝（40﹣4）x+（50﹣4）（300﹣x）， 即y＝﹣10x+13800， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝120时，y取得最小值，最小值为﹣10×120+13800＝12600（元）． 答：学校最少花费12600元． 23．（2024•开封二模）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元． （1）求甲、乙两种书的单价． （2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过2800元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【解答】解：（1）设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为（x﹣10）元，由题意得 ， 解得x＝35， 经检验，x＝35是原分式方程的解，且符合实际． ∴x﹣10＝35﹣10＝25， 答：甲、乙两种书的单价分别为35元、25元． （2）设该校购买了甲种书m本，则购买了乙种书（100﹣m）本， 则35m+25（100﹣m）≤2800， 解得：m≤30， ∴该校最多购买30本甲种书． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/12 15:03:12；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$