3.4.1-3.4.2用向量法研究立体几何中的位置关系（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

3.4.1-3.4.2用向量法研究立体几何中的位置关系 考点01：直线的方向向量 1．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 2．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 考点02：平面的法向量 1．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【分析】分别写出点的坐标，根据正方体中平面可判断A；利用两个非零向量垂直则数量积为0可判断B；根据点在x轴上的投影点为可判断C；根据点关于平面对称点坐标为可判断D. 【详解】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 2．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 考点03：空间向量法做直线与直线平行 1．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示即可得出，可得结论. 【详解】因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，，， 则，， 有，又不在一条直线上， 所以. 2．已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用坐标关系来证明. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为，则,,,; 因为，且， 所以，并且． 考点04：空间向量法做直线与平面平行 1．（多选）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断. 【详解】若，则需，即， 对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：ABC 2．已知点，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明向量共面，证明即可； （2）方法一：由向量共线结合线面平行的判定定理证明； 方法二：由共面向量基本定理结合线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明  如图，连接，． （1） ， 由向量共面的充要条件知，四点共面. （2）方法一  ， . 又平面，平面， 平面. 方法二   ， 又，不共线，与，共面. 又平面， 平面． 考点05：空间向量法做平面与平面平行 1.如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 2.如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，分别写出，求出平面与平面.的法向量，根据法向量与法向量的关系即可证明. 【详解】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，,,,, , 设平面的一个法向量为，则 即，令，解得 所以 设平面的一个法向量为，则 即，令，解得 所以 所以 ∴平面∥平面. 考点06：空间向量法做直线与直线垂直 1．已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】设，，，可得，，再根据数量积可得，即可得. 【详解】如图所示，连接，    设，，，， 则． 因为是的中点， 则， 且． 可得 ． 可得，所以． 如图，直三棱柱中，，，，，是的中点． (1)求直线的一个方向向量； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系后，写出的坐标即可求解； （2）写出的坐标，然后证明即可. 【详解】（1） 由题意知，两两垂直，故以点B为原点， 分别以、与的方向为与轴的正方向，建立空间直角坐标系， 所以、、、、 、． 则，是直线的一个方向向量 （2）因为M是的中点，所以，所以， 又因为， 所以，所以． 考点07：空间向量法做直线与平面垂直 1．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】存在，点Q为点B． 【分析】假设存在点，取的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用直线与平面垂直的性质，得到，即可求得点坐标. 【详解】假设在线段上存在一点，使平面． 取的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 显然， 平面，面，则， ，解得，满足要求， 在线段上存在一点，使平面，此时点为点． 2.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 考点08：空间向量法做平面与平面垂直 1.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面. 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 2.如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可由线面垂直求证面面垂直. 【详解】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 1．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用空间点坐标表示和对称点的坐标变化写出点坐标. 【详解】运用空间点坐标表示和对称规律，知道关于轴对称的点的坐标是. 故选：D. 2．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据向量垂直可得是平面的一个法向量，即可根据向量的位置关系，逐一判断直线与平面的位置关系. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 3．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】由，得，即，解得. 故选：C 4．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为，所以的方向向量与平面的法向量垂直，再根据基本不等式，利用常数代换求解. 【详解】依题意，，即， 所以， 又，所以，，所以， 当且仅当时，即时，取到等号， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 5．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 6．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 7．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 8．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来判断出正确答案. 【详解】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 9．(多选)下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 10．（多选）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 11．（多选）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】AD 【分析】利用线面平行的判定即可判断A；根据即可判断BC，建立合适的空间直角坐标系，证明，最后结合线面垂直的判定即可. 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 12．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可得，求出，从而可求出结果. 【详解】因为、、， 所以， 因为向量是平面的一个法向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：7 13．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 【答案】1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故选：B. 14．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进而转换为方程有解问题. 【详解】   因为在矩形中，平面， 所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，其中或不符题意， 则，，， 则有， 由，得 即， 若线段上存在点，即方程在有解， 设函数为，，对称轴为， 则方程在有解需满足， 又因为， 所以. 故答案为： 15．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 16．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得. （2）利用向量法来证得. 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4.1-3.4.2用向量法研究立体几何中的位置关系 考点01：直线的方向向量 1．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点02：平面的法向量 1．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 2．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 考点03：空间向量法做直线与直线平行 1．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 2．已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且． 考点04：空间向量法做直线与平面平行 1．（多选）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知点，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：平面. 考点05：空间向量法做平面与平面平行 1.如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 2.如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面. 考点06：空间向量法做直线与直线垂直 1． 已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 2.如图，直三棱柱中，，，，，是的中点． (1)求直线的一个方向向量； (2)求证：． 考点07：空间向量法做直线与平面垂直 1．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 2.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 考点08：空间向量法做平面与平面垂直 1.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 2.如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 1．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 3．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D．4 4．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 5．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 6．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 8．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 9．(多选)下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10．（多选）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 11．（多选）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 12．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 13．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 14．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．    15．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 16．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$