3.4.1直线的方向向量与平面的法向量 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§3.4.1　直线的方向向量与平面的法向量 1 聚焦知识目标 1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点) 2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点) 数学核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养． 2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养． 环节一 问题提出 问题提出 在前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是：首先将立体几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体几何问题.几何特征的代数表述起着重要的作用.  我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来.  容易想到：在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示，向量 就是点P的位置向量. 环节二 直线的方向向量 直线的方向向量 方向向量 体验 体验 直线的方向向量 典例 直线的方向向量 典例 直线的方向向量 反思 直线的方向向量 典例 例3在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,求 依题意知  因为点D是直线AB上的一点，所以存在实数λ，使得 则  由CD⊥AB,得 即  (1+λ)+2(2λ)+3(-2+3λ)=0.  解得  所以 直线的方向向量 典例 例4 求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得   证明如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得 又因为 所以  整理，得   类似平面向量中【三点共线】的规则 环节三 平面法向量 平面的法向量 法向量 平面的法向量 如图,在空间直角坐标系中,若n=(A,B,C),点M的坐标为 则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有    代入 即 ②  由此可见，平面α内任意一点P的坐标(x，y，z)都满足方程②； 反之，以满足方程②的(x，y，z)为坐标的任意一点也都在平面α内.所以方程②叫作平面α的方程. 感知 感知 平面的法向量 典例 平面的法向量 反思 平面的法向量 自探 环节四 学以致用 学以致用 1.分别写出x轴、y轴、x轴的一个方向向量的坐标.