山东省济南市历下区某校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

第 1页（共 6页） 2024-2025 学年第一学期开学适应性练习 （满分：150 分，测试时间：90 分钟） 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分） 1．科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为 0.0000061米，将数据 0.0000061用科学记数法表示 正确的是（ ） A．6.1×10﹣5 B．0.61×10﹣5 C．6.1×10﹣6 D．0.61×10﹣6 2．下列数中：8，﹣3 1 2 ， � 2 ， 3 27， 22 7 ，0， 5，9.121121112无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列运算不正确的是（ ） A．3x﹣2x＝x B．（x﹣1）2＝x2﹣1 C．（2x2）3＝8x6 D．2x2÷x＝2x 4．估算 24 +2的值（ ） A．在 5和 6之间 B．在 6和 7之间 C．在 7和 8之间 D．在 8和 9之间 5．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示 的是该展览馆出入口的示意图．小颖 B入口进 D出口的概率是（ ） A． 1 5 B． 1 6 C． 1 2 D． 1 3 第 5题 第 8题 第 9题 第 10题 6．已知 a2+a﹣5＝0，代数式（a2﹣5）（a+1）的值是（ ） A．4 B．﹣5 C．5 D．﹣4 7．若 � − 3 +（a﹣4）2＝0，则化简 ��的结果是（ ） A． 2 3 3 B．± 2 3 3 C． 4 3 3 D．± 4 3 3 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 9、3和 1，A和 B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ） A．18 B．15 C．12 D．8 第 2页（共 6页） 9．如图 1，已知扇形 AOB，点 P从点 O出发，沿 O﹣A﹣B﹣O以 1cm/s的速度运动，设点 P的运动时间为 x s，OP＝y cm，y随 x变化的图象如图 2所示，则扇形 AOB的面积为（ ） A．3πcm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．1.5πcm2 10．如图，已知点 D、E分别是等边△ABC中 BC、AB边上的中点，AB＝6，点 F是线段 AD上的动点，则 BF+EF的最小值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．3 3 二．填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分） 11．已知一个正数的两个平方根分别是 3x﹣2和 5x﹣14，则 x的值为 ． 12．如图，在△ABC中，CD是边 AB上的中线，AE⊥BC，若 BC＝4，S△ACD＝3，则 AE＝ ． 13．如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B离点 C的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表 面从点 A爬到点 B，需要爬行的最短距离是 ． 第 12题 第 13题 第 14题 第 15题 14．如图，矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为 AD上一点，将△ABP沿 BP翻折至△EBP，PE与 CD相 交于点 O，且 OE＝OD，则 AP的长为 ． 15．如图，等腰直角三角形 ABC的两直角边分别为 1，以斜边 BC为边作第二个等腰直角三角形 BCD，再 以斜边 BD为边作第三个等腰直角三角形 BDE，如此进行下去…记等腰直角三角形 ABC的直角边长为 x1 ＝1，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为 x2，x3，x4，…xn，则 x2023＝ ． 三．解答题（共 10 小题，满分 90 分） 16．（7分）先化简再求值：[（3a+b）2+（b+3a）（b﹣3a）﹣6b2]÷（2b），其中 a=− 13，b＝﹣2． 17．（7分）计算：（1） 25 + 3 −64 − ( − 3)2； （2）3 −27 + 49 − 2 + |1 − 2|． 第 3页（共 6页） 18．（7分）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线 AD平分∠BAC，交 BC于点 E，点 F在边 AB的延长线上， AF＝AC，连接 EF． （1）求证：△AEC≌△AEF． （2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数． 19．（8分）如图，在 8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为 1个单位 长度） （1）请在图中作出△ABC关于直线 l成轴对称的△A′B′C′； （2）在直线 l上找一点 P，使得 PA+PB最小．（保留必要的作图痕迹） 20．（8分）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果： （1）有 5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”将这 5张纸牌背面朝上 洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为 ． （2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边 形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假 设飞镖落在游戏板上），求飞镖落在阴影部分的概率． 第 4页（共 6页） 21．（9分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，点 D为△ABC外一点，连接 BD， CD，测得 CD＝4，BD＝3，求四边形 ABDC的面积． 22．（10分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点 P从点 A出发，以每秒 1cm 的速度向点 C运动，连接 PB，设运动时间为 t秒（t＞0）． （1）求 BC． （2）当 PA＝PB时，求 t的值． 23．（10分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已 2000多年，相 传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组 在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度. 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离 BC的长为 15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB的长为 17米， 牵线放风筝的手到地面的距离为 1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题：（1）运用所学勾股定理相关知识，根据 第 5页（共 6页） 测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．（2）如果想要风筝沿 DA方 向再上升 12米，且 BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 24．（12分）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程 S （km）与乙行驶的时间 x（h）的关系如图①所示，其中 h表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程 差 y（km）与乙行驶的时间 x（h）的关系如图②所示，请你解决以下问题： （1）图②中的自变量是 ，因变量是 ； （2）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h； （3）结合题意和图①，可知图②中：a＝ ，b＝ ； （4）求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为 7.5km？ 第 6页（共 6页） 25．（12分）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题： 如图 1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是 BC的中点，求 BC边上的中线 AD的取值范围． 【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图 1，延长 AD到 M，使 DM＝ AD，连接 BM．根据 可以判定△ADC≌△MDB，得出 AC＝BM．这样就能把线段 AB、AC、 2AD集中在△ABM中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 AD的取值范围． 【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等， 往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的． 【问题解决】（2）如图 2，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线 AD交 BC边于点 D．若 AB＝3， BD＝2，求 AC的长． 【应用提升】（3）已知：如图 3，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2．D、E是三角形边 AB、AC 上两个动点，且 AD＝CE，连接 BE，CD．求（BE+CD）2的最小值． 2024-2025学年第一学期开学适应性练习 ——八年级数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）（2023•萧山区二模）科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（　　） A．6.1×10﹣5 B．0.61×10﹣5 C．6.1×10﹣6 D．0.61×10﹣6 【解答】解：0.0000061＝6.1×10﹣6， 故选：C． 2．（4分）（2022•海曙区校级开学）下列数中：8，﹣3，，，，0，，9.121121112无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：3， 无理数有，，共有2个， 故选：B． 3．（4分）（2024•涧西区校级一模）下列运算不正确的是（　　） A．3x﹣2x＝x B．（x﹣1）2＝x2﹣1 C．（2x2）3＝8x6 D．2x2÷x＝2x 【解答】解：A．3x﹣2x＝x，故选项A计算正确，不符合题意； B．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故选项B计算错误，符合题意； C．（2x2）3＝8x6，故选项C计算正确，不符合题意； D．2x2÷x＝2x，故选项D计算正确，不符合题意； 故选：B． 4．（4分）（2023秋•巴州区期中）估算2的值（　　） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【解答】解：∵45， ∴62＜7， 故选：B． 5．（4分）（2023•临沂一模）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖B入口进D出口的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图可知，A，B为入口；C，D，E为出口， ∴小颖B入口进D出口的概率为：． 故选：B． 6．（4分）（2022秋•南平期末）已知a2+a﹣5＝0，代数式（a2﹣5）（a+1）的值是（　　） A．4 B．﹣5 C．5 D．﹣4 【解答】解：∵a2+a﹣5＝0， ∴a2﹣5＝﹣a，a2+a＝5， ∴（a2﹣5）（a+1） ＝﹣a（a+1） ＝﹣a2﹣a ＝﹣（a2+a） ＝﹣5． 故选：B． 7．（4分）（2024春•鹤山市期中）若（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 【解答】解：∵（a﹣4）2＝0， ∴b﹣3＝0，a﹣4＝0， 即a＝4，b＝3， ∴， 故选：A． 8．（4分）（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　） A．18 B．15 C．12 D．8 【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9， 所以AB2＝AC2+BC2＝225， 所以AB＝15， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选：B． 9．（4分）（2023•淮阴区三模）如图1，已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣O以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为x s，OP＝y cm，y随x变化的图象如图2所示，则扇形AOB的面积为（　　） A．3πcm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．1.5πcm2 【解答】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为π+6﹣（π+3）＝3， ∴OB＝3cm，即扇形的半径为3cm， 由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为π+3， ∴弧长为πcm， 设扇形的圆心角为n，根据弧长公式可得：， 解得n＝60°， 由扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为1.5π（cm2）． 故选：D． 10．（4分）（2024•思明区校级二模）如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AB＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．3 B．6 C．9 D． 【解答】解：连接CE交AD于点F，连接BF， ∵△ABC是等边三角形， ∴BF＝CF，， ∴BF+EF＝CF+EF＝CE， 此时BF+EF的值最小，最小值为CE， ∴， ∴BF+EF的最小值为， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）（2021秋•源城区校级期末）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 　2　． 【解答】解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数， ∴3x﹣2+5x﹣14＝0， 解得：x＝2， 故答案为：2． 12．（4分）（2024春•历下区期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，AE⊥BC，若BC＝4，S△ACD＝3，则AE＝　3　． 【解答】解：∵CD是边AB上的中线， ∴AD＝BD， ∴△ACD和△BCD等底同高， ∴S△ACD＝S△BCD＝3， ∴S△ABC＝6， ∴， ∴， ∴AE＝3． 故答案为：3． 13．（4分）（2017秋•历下区期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 　25　． 【解答】解：如图：（1）AB25； （2）AB5； （3）AB5． 所以需要爬行的最短距离是25． 14．（4分）（2024•海州区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为　2.4　． 【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4， 根据题意得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4， 在△ODP和△OEG中， ， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， 设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x， ∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x， 根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即32+（4﹣x）2＝（x+1）2， 解得：x＝2.4， ∴AP＝2.4； 故答案为：2.4． 15．（4分）（2023春•青秀区校级期中）如图，等腰直角三角形ABC的两直角边分别为1，以斜边BC为边作第二个等腰直角三角形BCD，再以斜边BD为边作第三个等腰直角三角形BDE，如此进行下去…记等腰直角三角形ABC的直角边长为x1＝1，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为x2，x3，x4，…xn，则x2023＝　21011　． 【解答】解：第1个等腰直角三角形ABC的直角边长为x1＝1， ∴第2个等腰直角三角形ABC的直角边长为x2， 第3个等腰直角三角形ABC的直角边长为x3， 第4个等腰直角三角形ABC的直角边长为x4， ••••••， ∴第n个等腰直角三角形ABC的直角边长为xn， ∴x202321011． 故答案为：21011． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16．（7分）（2023春•太和区期中）先化简再求值：[（3a+b）2+（b+3a）（b﹣3a）﹣6b2]÷（2b），其中a，b＝﹣2． 【解答】解：[（3a+b）2+（b+3a）（b﹣3a）﹣6b2]÷（2b） ＝（9a2+6ab+b2+b2﹣9a2﹣6b2）÷（2b） ＝（6ab﹣4b2）÷（2b） ＝3a﹣2b， 当，b＝﹣2时，原式3． 17．（7分）（2023春•如东县校级期中）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝5﹣4﹣3 ＝﹣2； （2）原式 ＝3． 18．（7分）（2023•杭州一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF． （1）求证：△AEC≌△AEF． （2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数． 【解答】（1）证明：射线AD平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠FAE， 在△AEC和△AEF中， ， ∴△AEC≌△AEF（SAS）； （2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS）， ∴∠C＝∠F， ∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°， ∴∠FAE+∠F＝50°， ∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝80°， ∴∠BEF为80°． 19．（8分）（2024春•渠县校级期末）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为1个单位长度） （1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．（保留必要的作图痕迹） 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，连接AB'，交直线l于点P，连接BP， 则PA+PB＝PA+PB'＝AB'，为最小值， 则点P即为所求． 20．（8分）（2023春•罗湖区期末）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果： （1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为 　　． （2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 　　． 【解答】解：（1）将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌有5种等可能结果，其中是奇数的有2种结果， ∴是奇数的概率为， 故答案为：； （2）令最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面积为2+1+4＝7， 所以飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 21．（9分）（2022春•同心县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝4，BD＝3，求四边形ABDC的面积． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC5； 在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD12×53×4＝36． 22．（10分）（2022秋•钢城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）BC＝　12　cm． （2）当PA＝PB时，求t的值． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm， ∴BC（cm）； 故答案为：12； （2）由题意可得AP＝t，则PC＝16﹣t， 在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°， 由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2， 即（16﹣t）2+122＝t2， 解得：t＝12.5， ∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5． 23．（10分）（2024春•历下区期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度. 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米， 由勾股定理，可得AC8米， ∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A'C＝20米， 在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米， 由勾股定理，可得A′B25米， 则应该再放出25﹣17＝8（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 24．（12分）（2024春•历下区期末）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程S（km）与乙行驶的时间x（h）的关系如图①所示，其中h表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差y（km）与乙行驶的时间x（h）的关系如图②所示，请你解决以下问题： （1）图②中的自变量是 　乙行驶的时间　，因变量是 　甲、乙两人之间的路程差　； （2）甲的速度是 　25　km/h，乙的速度是 　10　km/h； （3）结合题意和图①，可知图②中：a＝　1.5　，b＝　10　； （4）求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为7.5km？ 【解答】解：（1）图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差； 故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差； （2）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h）， 乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （3）由图可得， b＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， a＝1.5， 故答案为：1.5，10； （4）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发x h时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x， 25﹣10x＝7.5，得x； 即乙出发h或h时，甲、乙两人路程差为7.5km． 25．（12分）（2023春•碑林区校级期末）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．根据 　SAS　可以判定△ADC≌△MDB，得出AC＝BM．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABM中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围． 【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的． 【问题解决】 （2）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．若AB＝3，BD＝2，求AC的长． 【应用提升】 （3）已知：如图3，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2．D、E是三角形边AB、AC上两个动点，且AD＝CE，连接BE，CD．求（BE+CD）2的最小值． 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS ）， 故答案为：SAS； （2）延长AB到P，使BP＝BD，连接DP， ∴∠P＝∠BDP∠ABD， ∵∠ABD＝2∠C， ∴∠P＝∠C， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠PAD＝∠CAD， 在△ADP和△ADC中， ， ∴△ADP≌△ADC（AAS）， ∴AC＝AP＝AB+BP＝AB+BD＝3+2＝5； （3）过点C向上作CM∥AB，使CM＝AC，连接EM，BM，过点M作MN⊥BC，交BC延长线于点N， ∴∠MNC＝90°， ∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2， ∴∠ABC＝45°，AB＝AC， ∵CM∥AB， ∴∠A＝90°＝∠MCE，∠ABC＝∠NCM＝45°， 在△ADC和△CEM中， ， ∴△ADC≌△CEM（SAS）， ∴CD＝EM， ∴BE+EM≥BM， 即当B，E，M三点共线时，BE+EM最小，最小值为BM， 在Rt△MCN中， ∵CN2+MN2＝MC2，MC＝AC， ∴CN＝MN＝1， ∴BN＝BC+CN＝2+1＝3， 在Rt△BNM中，BM2＝BN2+MN2＝32+12＝10， ∴（BE+CD）2的最小值为10． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/1 14:10:02；用户：初中数学 王晓；邮箱：ssefzsx005@xyh.com；学号：27845130 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$