第03讲 整式（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第03讲 整式（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 题型强化 题型一．整式 1．（浦东新区校级期中）代数式，，，，，中整式的个数　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（普陀区校级期中）下列各式中，整式的个数有　　 ，，，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（金山区校级期中）下列代数式中： 单项式：　0，，，　； 多项式：　　； 整式：　　． 题型二、单项式的判断 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）下列代数式中单项式是（    ） A．0 B． C． D． 5．（23-24七年级上·）在式子中，单项式有 个． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 题型三、整式的项、项数或次数 7．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）整式的项数和次数分别是（　　） A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，10 8．（21-22七年级上·上海青浦·期中）写出一个只含字母的二次三项式，如果它的二次项系数为3，常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为 （只需写出一种情况）． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）整式是六次四项式，且的次数跟它相同 (1)求，的值 (2)求整式的常数项以及各项的系数和． 题型四、图形类规律探索 10．（21-22七年级上·上海徐汇·期中）如图，用若干个边长为1的小正方形，依次拼成大的正方形，其中第1个正方形中有4条长为1的线段，第2个大正方形中有6条长为2的线段，第3个大正方形中有8条为3的线段，…，那么第n个大正方形中有长为n的线段的条数为（　　） A．2（n+1） B．2n C．2n+1 D．（n+1）2 11．（21-22七年级上·上海青浦·期中）按照图（1）、（2）、（3）的方式分割三角形，照此规律分割下去，第n个图中共有 个三角形． 12．（19-20七年级上·上海闵行·阶段练习）如图是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形解答下列问题：    (1)第个图形中一共有多少个点？ (2)请用含的代数式表示出第个图形中点的数量，并求出第个图形中点的数量． 分层练习 一、单选题 1．下列各式是5次单项式的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列四个代数式中，是单项式的为（  ） A． B． C． D． 3．代数式， ，，，，0.5 中整式的个数（ ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．代数式 ，，，，， 中，单项式个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．将正整数1至2018按一定规律排列如下表：    平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．是整式 B．单项式的系数是2，次数是10 C．多项式的常数项是，二次项的系数是 D．多项式按字母a的降幂排列是 二、填空题 7．单项式的系数是 ，次数是 ． 8．是 次 项式． 9．将多项式按降幂排列为 ． 10．多项式中，其中三次项的系数是 ． 11．多项式是 次 项式，常数项是 ． 12．把多项式按字母的降幂排列： ． 13．多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 14．在代数式；；；；；中整式的个数有 个． 15． 是关于与的五次三项式，则 ． 16．下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 17．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 18．观察下列算式： ；；；；． 用你所发现的规律，化简： （为正整数）． 三、解答题 19．请把多项式重新排列． (1)按x降幂排列： (2)按y降幂排列． 20．分别写出下列单项式的系数和次数． (1)； (2)； (3)． 21．察以下5个乘法算式：6×10；8×18；11×29；12×26；25×37． （1）请仿照式子“6×34＝202﹣142”，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式； 6×10＝　 　； 8×18＝　 　； 11×29＝　 　； 12×26＝　 　； 25×37＝　 　． （2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母a，b表示（a，b为正数且a＜b），请写出a、b的等式表示（1）的规律．（只要求写出结果）． 22．如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格． … 层数 一层 二层 三层 四层 … n层 所含三角形的个数 … 所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 … 23．下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ （1）；         （2）；              （3）； （4）；              （5）；        （6）． 24．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 25．观察下列等式，探究其中的规律： ；；； ；… (1)根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数） ＝ ； ＝ ； (2)根据（1）小题的规律计算：． 26．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含有的代数式表示第个等式：____________（为正整数）； (3)求：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 整式（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 题型强化 题型一．整式 1．（浦东新区校级期中）代数式，，，，，中整式的个数　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】运用整式的概念进行逐一辨别、求解． 【解答】解：由题意得，，，，是整式， ，是分式， 故选：． 【点评】此题考查了整式的辨别能力，关键是能准确理解并运用整式的概念． 2．（普陀区校级期中）下列各式中，整式的个数有　　 ，，，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据整式的定义解决此题． 【解答】解：根据整式的定义，整式，，，共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查整式的定义，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键． 3．（金山区校级期中）下列代数式中： 单项式：　0，，，　； 多项式：　　； 整式：　　． 【分析】根据单项式、多项式、整式的定义判断后选出即可． 【解答】解：单项式：0，，，； 多项式：，，，； 整式：0，，，，，，，； 故答案为：0，，，；，，，；0，，，，，，，． 【点评】本题考查了对单项式，多项式，整式的定义的理解和运用，注意：整式包括多项式和单项式，若干个单项式的和组成的式叫做多项式． 题型二、单项式的判断 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）下列代数式中单项式是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；因此此题可根据“由数 或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式”进行求解． 【详解】解：符合单项式的定义只有A选项符合，B、C、D都不是单项式； 故选A． 5．（23-24七年级上·）在式子中，单项式有 个． 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式是解题的关键．根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，共3个， 故答案为：3 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 【答案】单项式：；多项式：；整式： 【知识点】单项式的判断、整式的判断、多项式的判断 【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义． 题型三、整式的项、项数或次数 7．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）整式的项数和次数分别是（　　） A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，10 【答案】B 【知识点】整式的项、项数或次数 【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个整式的次数；整式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 【详解】解：整式的项数和次数分别是 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义和相关观念是解题的关键． 8．（21-22七年级上·上海青浦·期中）写出一个只含字母的二次三项式，如果它的二次项系数为3，常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为 （只需写出一种情况）． 【答案】（符合条件即可） 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】根据二次三项式和多项式的系数、次数、常数项的有关概念，只含字母x及相反数的概念，即可得出答案． 本题考查了多项式及相反数．关键是能根据多项式的系数、次数、常数项的有关概念写出多项式． 【详解】解：∵这个只含字母的二次三项式，常数项和一次项系数互为相反数， ∴常数项可以是，则一次项系数为1， ∵它的二次项系数为3， ∴这个二次三项式可以是：． 故答案为：．（答案不唯一） 9．（2024七年级上·上海·专题练习）整式是六次四项式，且的次数跟它相同 (1)求，的值 (2)求整式的常数项以及各项的系数和． 【答案】(1)， (2)； 【知识点】多项式的项、项数或次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了整式与单项式，解题的关键是熟练的掌握整式与单项式的定义． （1）根据整式的概念即可求出n与m的值； （2）然后根据整式即可判断常数项与各项系数． 【详解】（1）解：由题意可知：是六次四项式， ∴， 解得：， ∵的次数也是六次， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴该整式为：， ∴常数项，各项系数为：，1，，， 故系数和为：． 题型四、图形类规律探索 10．（21-22七年级上·上海徐汇·期中）如图，用若干个边长为1的小正方形，依次拼成大的正方形，其中第1个正方形中有4条长为1的线段，第2个大正方形中有6条长为2的线段，第3个大正方形中有8条为3的线段，…，那么第n个大正方形中有长为n的线段的条数为（　　） A．2（n+1） B．2n C．2n+1 D．（n+1）2 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】首先根据图形得出图形中相关线段条数的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵第一个图形有4条长为1的线段， 第二个图形有22+2条长为2的线段， 第三个图形有23+2条长为3的线段， ， ∴第n个图形有2n+2=2(n+1)条长为n的线段， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形的变化类，根据图形得出图形中相关线段条数的变化规律是解题关键． 11．（21-22七年级上·上海青浦·期中）按照图（1）、（2）、（3）的方式分割三角形，照此规律分割下去，第n个图中共有 个三角形． 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化类规律问题，解答本题的关键是发现题目中图形的变化规律，求出相应的三角形的个数． 根据题目中的图形变化规律可知，每一次变化增加四个三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，图（1）所得三角形总个数为：； 图（2）所得三角形总个数为：； 图（3）所得三角形总个数为：； 所以第n个图中共有个三角形； 故答案为：． 12．（19-20七年级上·上海闵行·阶段练习）如图是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形解答下列问题：    (1)第个图形中一共有多少个点？ (2)请用含的代数式表示出第个图形中点的数量，并求出第个图形中点的数量． 【答案】(1)31个 (2)个；601个 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查图形的变化规律，难度适中； （1）根据第一个图形中点的个数为7，第二个图形中点的个数为13，第三个图形中点的个数为19，即可计算出第5个图形中点的个数； （2）根据（1）中规律，用含n的代数式表示，将代入代数式，即可得出答案． 观察图形，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第一个图形中，一共有7个点，； 第二个图形中，一共有13个点，； 第三个图形中，一共有19个点，； …… 第五个图形中，一共有个点； （2）解：由（1）可得：第n个图形中点的数量：个； 当时，， ∴第100个图形中一共有601个点． 分层练习 一、单选题 1．下列各式是5次单项式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的次数的定义：单项式中所有字母指数的和为单项式的次数．利用单项式中所有字母指数的和为单项式的次数逐一判断即可． 【详解】解：A、单项式的次数是次，本选项不符合题意； B、单项式的次数是次，本选项符合题意； C、单项式的次数是次，本选项不符合题意； D、是多项式不是单项式，其次数是3次，本选项不符合题意； 故选：B． 2．在下列四个代数式中，是单项式的为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用单项式和多项式的定义逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.是单项式，故A正确，符合题意； B.，是多项式，故B错误，不符合题意； C.，是多项式，故C错误，不符合题意； D.，是多项式，故D错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了单项式和多项式，数或字母的积组成的式子叫单项式，单独的一个字母或数也是单项式，几个单项式的和叫多项式，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键． 3．代数式， ，，，，0.5 中整式的个数（ ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】直接利用整式的定义得出答案． 此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：整式有，， ，0.5共有4个． 故选：B． 4．代数式 ，，，，， 中，单项式个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的知识，根据单项式的概念求解“数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式”． 【详解】代数式 ，，，，， 中，，是单项式，共2个， 故选：B． 5．将正整数1至2018按一定规律排列如下表：    平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设方框的中间数为，则三个数分别为，进而可得出3个数之和为；然后令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第八列数，即可确定值，此题得解． 【详解】解：设方框的中间数为，则三个数分别为， ∴3个数之和为：， A、，符合题意； B、，不是整数，不符合题意； C、，不是整数，不符合题意； D、，是第一列的数，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查表格中数字排列规律，分析阴影的方框中数字的大小规律是解决问题的关键． 6．下列说法正确的是（    ） A．是整式 B．单项式的系数是2，次数是10 C．多项式的常数项是，二次项的系数是 D．多项式按字母a的降幂排列是 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的概念作出判断． 【详解】A、整式中分母不能包含字母，故A错误； B、单项式的系数是，次数是2，故B错误； C、多项式的常数项是，二次项的系数是，故C项正确； D、多项式按字母a的降幂排列是，D项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查整式、单项式、多项式的定义，解题的关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断，据此解题即可得到正确答案． 二、填空题 7．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 8 【分析】本题考查了单项式的知识，属于基础题．根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：，8 8．是 次 项式． 【答案】 二 四 【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 【详解】解：的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， 故多项式的次数为， 该多项式共含有个单项式， 故故多项式的项数为， 故答案为：二；四． 【点睛】本题考查多项式的次数和项数．熟记相关定义是解题关键． 9．将多项式按降幂排列为 ． 【答案】 【分析】根据的指数进行排序即可，本题主要考查对多项式按某个字母的排列，对单项式、多项式次数的理解． 【详解】解：∵的指数分别为：， ∴按降幂排列为， 故答案为：． 10．多项式中，其中三次项的系数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式的项的系数．找到该多项式的三次项为，即可求解． 【详解】解：， ∴三次项为， ∴三次项的系数是． 故答案为： 11．多项式是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 四 四 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义． 根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：多项式的次数为四次四项式，常数项为， 故答案为：四、四、． 12．把多项式按字母的降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，按字母x的指数由高到低排列．根据多项式中的指数从大到小，对多项式的项进行排列即可． 【详解】解：由题意知，按字母x的降幂排列为， 故答案为：． 13．多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【答案】 六 五 【分析】本题考查多项式的次数，项数和系数．熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据多项式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，进行作答即可． 【详解】解：根据题意可得多项式一共有五项，其中：、、的次数均是，的次数是，是常数项， ∴多项式最高次项六，最高次项的系数是， 故答案为：六，五，． 14．在代数式；；；；；中整式的个数有 个． 【答案】 【分析】本题考查整式的概念，熟练掌握整式的概念是解题的关键；整式包含了单项式和多项式，分母部分出现了字母的式子不属于整式判断即可 【详解】解，根据整式的概念即可判断，不是整式，其他四个均为整式； 故答案为： 15． 是关于与的五次三项式，则 ． 【答案】1 【分析】先根据原多项式是一个五次三项式得出的值，代入原式后，根据原式为三项式，得出的值，最后把代入求解即可． 【详解】解：原多项式是一个五次三项式，最高项是 原式 ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式的项数和次数，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 16．下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 17．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】本题考查了单项式，整式，二项式的定义．根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】解：（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤ 18．观察下列算式： ；；；；． 用你所发现的规律，化简： （为正整数）． 【答案】 【分析】先根据；；；；得出，再将变形成题目中的形式，化简即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是认真阅读题目中数字变化的规律，得出，难点在于将变形为符合题目的形式． 三、解答题 19．请把多项式重新排列． (1)按x降幂排列： (2)按y降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察x的指数，按x的指数从大到小排列，即可； （2）观察y的指数，按y的指数从大到小排列，即可． 【详解】（1）按x降幂排列：； （2）按y降幂排列：． 【点睛】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升幂或降幂排列的意义，是解题的关键． 20．分别写出下列单项式的系数和次数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)单项式的系数是－1，次数是3 (2)单项式的系数是，次数是6 (3)单项式的系数是，次数是3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． （1）（2）（3）根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】（1）单项式的系数是－1，次数是3； （2）单项式的系数是，次数是6； （3）单项式的系数是，次数是3． 21．察以下5个乘法算式：6×10；8×18；11×29；12×26；25×37． （1）请仿照式子“6×34＝202﹣142”，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式； 6×10＝　 　； 8×18＝　 　； 11×29＝　 　； 12×26＝　 　； 25×37＝　 　． （2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母a，b表示（a，b为正数且a＜b），请写出a、b的等式表示（1）的规律．（只要求写出结果）． 【答案】（1），，，，；（2） 【分析】（1）根据“6×34＝202﹣142”推导出各个数字之间的关系； （2）根据（1）中的结果推导出结果即可； 【详解】（1）∵6×34＝202﹣142， ∴，， ∴， 同理可得：，，，； 故答案是：，，，，； （2）∵a，b为正数且a＜b， ∴． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律题型，准确分析计算是解题的关键． 22．如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格． … 层数 一层 二层 三层 四层 … n层 所含三角形的个数 … 所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 … 【答案】见解析 【分析】先写出第四层所含小三角形个数及所需小木棒的根数，再发现规矩即可求解． 【详解】解：∵一层时，所含小三角形个数为3=，所需小木棒的根数为7=3（1+2）-2， 二层时，所含小三角形个数为8=32-1，所需小木棒的根数为16=3×（1+2+3）-2， 三层时，所含小三角形个数为15=42-1，所需小木棒的根数为28=3×（1+2+3+4）-2， 四层时，所含小三角形个数为24=52-1，所需小木棒的根数为43=3×（1+2+3+4+5）-2， … ∴n层时，所含小三角形个数为(n+1)2-1，所需小木棒的根数为3×（1+2+…+n+n+1）-2= =， 完成表格如下： 层数 一层 二层 三层 四层 … n层 所含三角形的个数 … 所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 =43 … = 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据简单图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，总结出一般规律是解题的关键． 23．下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ （1）；         （2）；              （3）； （4）；              （5）；        （6）． 【答案】（1）多项式，次数是2；（2）单项式，次数是4；（3）多项式，次数是3；（4）单项式，次数是2；（5）多项式，次数是1；（6）多项式，次数是3 【分析】根据单项式是数与字母的乘积，几个单项式的和是多项式，单项式的次数是字母指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：（1）是多项式，次数是2； （2）是单项式，次数是4； （3）是多项式，次数是3； （4）是单项式，次数是2； （5）是多项式，次数是1； （6）是多项式，次数是3． 【点睛】本题考查了多项式，单项式的定义，次数的定义，掌握多项式次数最高项的次数叫做多项式的次数． 24．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 25．观察下列等式，探究其中的规律： ；；； ；… (1)根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数） ＝ ； ＝ ； (2)根据（1）小题的规律计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）认真观察题中所给等式规律即可得到答案； （2）要利用（1）中得到的规律：；将分子分母同时乘（3-1）即可变的形式，再进行化简求解． 【详解】（1）＝；； （2）＝ ＝． 【点睛】本题考查了等式的性质，题目中给出了几个具有相同规律的等式，正确找出规律是解题的关键，并且还需要灵活运用规律去求解其他式子的值． 26．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含有的代数式表示第个等式：____________（为正整数）； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的等式，可以写出第个等式； （3）根据（2）中的规律，即可求得所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得： 第5个等式：, 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式为：， 即， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查数字类规律探索、有理数的混合运算，解答本题的关键是得到． 学科网（北京）股份有限公司 $$