融会贯通第14天-遇见最美的数学系列——高考数学叠Buff14天争夺90分

高考高手数学叠B什 融会贯通·第 14天 打卡日期： 建议用时：55分钟是否通关：口答案见P7 1.(多选题)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2y(p>0)上，过点 B(0,一1)的直线交C于P,Q两点，则( A.C的准线为y=一1 B.直线AB与C相切 C.1OP|·IOQI>|OA| D.|BP|·IBQ>|BA|2 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4 csin C, sA=名则2-= A.6 B.5 C.4 D.3 3设F1,F2是双曲线Cx?-兰=1的两个焦点，0为坐标原点，点P在C上且 3 1OP=2,则△PFF2的面积为( A号 B.3 c D.2 4.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2,连接 CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)= sin Bsin(C-A). (1)证明：2a2=b2+c2; ②)若a=5,osA-5求△ABC的周长 -30 融会贯通·第14天 6.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线L1,l2,直线L1 与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则|AB|十|DE的最小值 为() A.16 B.14 C.12 D.10 7.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y =f(x)的图象可能是() 8设a∈(0，，B∈(o,,且tana=1+sin,则( ) cos B A3a-月=8 B.3a+8-7 c.2a-g-8 D2a+8=8 已知椭圆C的方程为十=1(a>b>0),右焦点为F(2,0),且离i (1)求椭圆C的方程： (2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2十y2=b2(x>0)相切.证 明：M,N,F三点共线的充要条件是MN|=√3. 10.等比数列{an}中，a1=1,a5=4a3: (1)求{am}的通项公式； (2)记S。为{an}的前n项和，若Sm=63,求m. 31融会贯通·答案详解详析 cos'8+cos'a +sin8+2sin acos 8+2sin Bcos a =1+ 4=k2-4>0. 1十2sin(a+3)=1, y1),Q(x2…y2),则x1十x=k,.|k|>2,yy= .sin(a+ 1 x1x:=1, (x12)2=1, 96:f(x)= 2 的图象经过点P,Q, 2 +ar 又OP|=√+y=√y+听，|OQ|=√x+y= 2 62 1 √y+, igtap 5'‘2+ag-5 .|OP|·|OQ|=√y1y1+y1)1+y)= 29 两式相加，得2十ap2+ag =1. √kx1·x2=k>2=|OA2,故C正确： BP|=√1+kIx1,BQ=√1+kx| 即2(2+a9)+2(2+a2=1. (2+ap)(2"十ag) .BP|·1BQ=(1+k2)lx1x:1=1+k>5, 化简，得2·2*十a(p·2+g·2”)=2n+ 而BA=5,故D正确.故选BCD. a(p·28+g·2)+ag, 2.A由已知及正弦定理，得a-b=4c2, 即2=a2pg=36pq,a2=36.a>0.∴a=6. 10.(1)证明，PD⊥面ABCD,且PDC面PCD, 由余弦定理的推论，得-一号-mA6+心 -c21 1 ∴.面PCD⊥面ABCD,交线为CD 又：四边形ABCD为矩形，AD⊥CD,ADC面ABCD, .MD⊥面PCD. 又由于CFC面PCD,.MDL⊥CF 3.B由题意知a■1，b■√3，e=2.不妨设F,F,分别为双 MF LCF,且MD∩MF=M, ∴.CF⊥面MDF 曲线C的左，右焦点，则F(一2,0)，F:(2,0) 因为OP=2,所以点P在以O为圆心，F,F:为直径的 (2)解：MD⊥面PCD, 圆上， VaE=子5amMD, 故PF1⊥PF,则1PF,2+PF:P=(2c)2=16 :CF⊥面MDF,DF二面MDF,∴CF⊥DF, 由双曲线的定义可知|川PF:|一PF2|=2a=2, :在R△PCD中，CD=1,PC=2, 所以PF,P+PF:P-2PF,I·|PF,=4, .∠PCD=60°，且CD=1, 所以PF·IPF,|=6, cF=2,故PF=2一2.3 所以△PF,F:的面积为2PF,·PF,=3 又：CF⊥MF,故利用勾股定理得CM=@ ,依题意作出图形，如图所示， 2" 2 则sin∠DBC=sin∠ABC 在△Mc中，CM-cD=1.得DN- 1 由题意知AB=AC=4, BC=BD=2, 又F点位于CP的四等分点，且PD=5, E为PD的四等分点，放DE= 则sn∠ABC=E 4 4 Go8∠ABC=1 1 1 .SACD= 所以Sax=2BC·BD Vwae3sae·DM-% 1 ·LDC-×2x2x年-厘 4 2 第14天 因为co5∠DBC=-cos∠ABC= 1D点A.1D在抛物线C上d1=2pp=号 BD'+BC-CD 8-CD 2BD·BC 8 ∴抛物线C的方程为x=y..抛物线C的准线为y■ 所以CD=√⑥， -,故A错讽 由余弦定理，得os∠BDC= 4+10-4/10 :点A(1,1),B(0,-1),.直线AB的方程为y=2x-1, 2×2×X/104 联立抛物线C与直线AB的方程，得，2一1消去y 5.(1)证明，sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), r=y. .'.sin Csin Acos B-sin Csin Boos A=sin B.sin Ccos A- 整理得x2-2x+1=0,41=(-2)1-4×1×1=0,∴.直线 sin Bsin Acos C, AB与抛物线C相切，故B正确： 由题意可得，直线PQ的斜率存在，则可设直线PQ的方 由正弦定理及余弦定理，得ca·g土c-b 2ae -cb. 程为y=kx一1，联立直线PQ与抛物线C的方程，得 b2+c2-a2 =灰.+a-a.士b- =虹一1消去y整理得-k缸十1=0，设点P(x, 2bc =y. 化简整理，得2a=b十c2, (2)解a=5,.b+e2=2a2=50. -47 高考高手数学叠Bu什5 由余弦定理，得cosA=+,-Q_2525 .'sin acos 8-cos asin B=cos a. -2631 ..sin(a-B)=cos a, 灰-号b+=++2张-9， ∴sin(a-=m(受-a) ,.a+b+十c=14.故△ABC的周长为14 6.A方法一（代数法）： “a∈(o)pe(o,受） 由题意，易知直线，12斜率不存在时，不合题意. 设直线1方程为y=k,(x一1)， -<a-K受0<受-a<受 联立抛物线方程，得一红 y=k1(r-1), -月=受-a2a-月=受故选C 消去y,得x2-21x一4x十k=0, 所以，+，-2张十 9.(1)解由条件得 e=2 又a2=b+c2..b2=1. 同理，直线：与抛物线的交点满足x,十x,- 2k5+4 由抛物线定义可知AB|十IDE=x1十r:十，+I,十 ∴椭圆C的标准方程为号+y= 2p=2张+420+4 (2)证明①证“M,N,F三点共线”→“MN|=√3”，（必 +8=16. 要性) 当且仅当k1=一k:=1(或-1)时，取得等号. :M,N,F三点共线，∴.可设直线MN的方程为x一√2= 方法二（几何法》： 易知2p=4,p=2 my,圆心O(0,0)到MN的距离d= =1→m2=1, √/1+m 不妨设直线AB的倾斜角为(0<0<艺），点A在x轴 x=my十√2， 联立 上方. 3+y=1, 得(3+m2)y2+22my-1=0→ 过点A作抛物线y=4x的准线的 垂线，垂足为K,作AK:⊥x轴于 4y°+2√2my-1=0, 点K,设抛物线的准线交x轴于点 则1MN1=1+m.8m+i6=2×区-5，g G,如图所示.易知 1AF|·cos8+GF1=AKI, 要性成立 AK=AFI. ②证“MN|=3”→“M,N,F三点共线”.（充分性） 1GF=专-(-）=p: :MN|=3,.可设直线MN的方程为x=ty十n, 圆心0(0.0)到MN的距离d=n=1>n-2一1 AFI.cos0+P=IAFI.AFI-1-c0s0 1+t x=y十n, 同理可得BF-1十6Os0心AB 2p 2p 联立 3+y=1, 得(u2+3)y2+2my十n2-3=0, 1-cos'0 sin0 又直线DE与直线AB垂直，直线DE的倾斜角为受+0， △=412n2-4(2+3)(m2-3)-12(2-n2+3)=24. ∴DEI= 2p 2p N=17·得-g. n3=2 MN与曲线x2+y2=62(x>0)相切， 又p=2.1AB1+DE1=2p( ∴n>0n=2, sin 0cos 0 1 4 1i20sim20≥16. ∴直线MN的方程为x=y+2,直线MN过点F(W2,0), M,N,F三点共线，充分性成立 综上所述，M,N,F三点共线的充要条件是MN|=√5. 当且仅当0=于时取等号， 10.解(1)设a,)的公比为q,由题设得a,=q- 由已知得g=4q,解得q=0(舍去)，q=一2或q=2. 即AB引+|DE1的最小值为16故选A 故am=（-2)-或a.=2"-1. 7.D设导函数y=广(x)的三个零点分别为x12,x,且 x1<0<x:<x.所以在区间（一∞，x,)和(x,x,)上， (2)若a,=(-2),则5.=1=一22 3 f广(x)<0,f(x)是减函数，在区间(x1,x:)和(x1,十∞) 由S。=63得（一2）”=一188，此方程没有正整数解. 上，f(x)>0,f(x)是增函数，所以函数y=f(x)的图象 若am=2-1,则Sn=2”-1 可能为D,故选D. 由S.=63得2”=64，解得m=6. 8C由已知，得sia=1十sin星 综上，m=6. cos a cos3· ,∴.sin acos B=cosa+cos asin月. 48