融会贯通第5天-遇见最美的数学系列——高考数学叠Buff14天争夺90分

高考高手数学叠B什 融会贯通·第 5 天 打卡日期： 建议用时：55分钟是否通关：口答案见P36 1.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为( A. 3 b.2 C.2 n号 4￥得明8附T0#d学·学T明=土，门图鲫晋8乙 A号 B.√6 C.5 D.2 3.设a,b均为单位向量，则“|a一3b|=|3a十b”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若函数f(x)=x2+ax十b在区间[0,1门上的最大值是M,最小值是m,则M- m() A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 5.如图，已知三棱柱ABC-A,B,C1,平面A:ACC1⊥平面ABC, ∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=AC=AC,E,F分别是 ACA1B1的中点 (1)证明：EF⊥BC; (2)求直线EF与平面A,BC所成角的余弦值. -12 融会贯通·第5天 6.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an)的前n项和.若Sg=4S4,则a1o= ( A号 B号 C.10 D.12 知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120,AD=2,CD=2BD.当 得最小值时，BD= 8.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜， 决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独 立，则甲队以4：1获胜的概率是 9.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折 线图. 投资额 240 220 200 80 160 140 120 火gg3 100 20 19253537424247535 为年 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个 线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…， 17)建立模型①：=一30.4十13.5t;根据2010年至2016年的数据（时间变量t的 值依次为1,2，，7)建立模型②：y=99十17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由， 10.已知函数f(x)=simx-sim(z-,x∈R (1)求(x)的最小正周期： (2)求f(x)在区间[-一3，上的最大值和最小值 -13高考高手数学漫Buf分 解得2张-<r<2k+e刀 设Pu.则有号+y=1,放r=51-y. 所以函数f(r)=cos(x+于)的单调递减区间为2染 则PB=x+(y-1)=50-y2)+(y-1D=-4(y+ 子欧+】4∈弘，结合选项知选D )+6-(+》+ 8B由已知a2=25,b2=m2,c=4, 又由a2=6十c2,可得m2=9. 因为-1y<1,所以当y=一子时.PB取得最大值 因为m>0,所以m一3. 为空所以1PB的最大值为受 3 3.C由a-3b1=3a+b.得(a-3b)2=(3a+b) 又ee1.所以<ee: ,a,b均为单位向量，.1一6a·b十9=9十6a·b十1. .a·b=0,放a⊥b,反之也成立.故选C cos0=a·b (e1+e)·(3e1+e) ab-e,+eX√3e+ea 4B因为最值在f(0)=6,f0)=1+a+b,f(-号)=b- 4+4e1·e 一中取。所以最值之差一定与。有关，与6无关，故选且 √2+2e1e:×√10+6e1ea 5.解1)连接AE,因为AA=AC,E是AC的中点，所以 设e·e=x,则子<≤ A,E⊥AC. 16(x+1D2 16(x+1) 又平面A1ACC,⊥平面ABC,A,EC平面A,ACC1, os0=(2+2z)(10+60127r+32x+20 平面A:ACC∩平面ABC=AC, 4(.x+1) 4(x+1)1 所以，AE⊥平面ABC. 33+8x十537+1+27+D=1 3+2 如图，以点E为原点，分别以 x+1 射线EC,EA:为y,:轴的正 得m0∈[器，]·所以cos0的最小值是器 半轴，建立空间直角坐标系 E-ryz. 10.解(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小 不妨设AC=4,则A1(0,0, 到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为 23),B(3,1.0),B:(3,3, 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 2.r停g2.co 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26 2.0) 位的是6,68，故样本中位数为6,68=67，所以该市的 2 因此应-(，225)成-(-5,10 市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知，0位市民对甲，乙部门的评分高于 由E求.BC=O得EF⊥BC (2)设直线EF与平面A,BC所成角为a. 90的比率分别为品=01，高=0.16，故该市的市民对 由(1)可得BC=(-3,1,0).A1C=(0.2.-23) 甲，乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1， 设平面A:BC的法向量为n=(x,y,z 0.16. (3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于 BC·n=0·得 由 -3x十y=0, A,C.n=0, -52=0. 对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出 对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准 取n=(1w3,1), 差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致， 故血0=osE市，n=序nL=4 对乙部门的评价较低，评价差异较大.（注：利用其他统计 EF1·n5 量进行分析，结论合理的也可)， 因此，直线EF与平面A,BC所成的角的余弦值为号， 第5天 1.B由题意记x∈(0.1)，y∈(1,2)， 6B公差d=1,Sg=4S,. 8a十am)_4X4(a1十a) 2 2 题目即求x十y>号的概率，面出可 即2a,+7d=4a1+6d,解得a,=2 1 行域（如图阴影部分）， 1x1-号×是 0m=a十9d=号+9-9 21 故P= 4 =1一 1×1 7.3-1(方法1)令BD=t,则>0. 923 如图，以D为坐标原点，DC所在直线 3232 为x轴建立平面直角坐标系.则C 2.A由椭圆方程可得a=5,b=1, (24,0),A(1,3),B(-t,0), AC 故椭圆的上顶点为B(0,1). AB 36 融会贯通·答案详解详析 (24-1)2+3 = 12 ≥4一23，当且仅当1+1 (1+1)2+3 +1+中的 3 所以，f（x)在区间 上的最大值为 ，最小值 AC 5,即BD=一1时，等号成立此时，-3-1 为 第6天 (方法2)设BD=1,则CD=2,由余弦定理得AC 1.C①充分性证明： AB 4r2+4-2X2×2os60°412-4r+4 若{an}为递增数列，则有对Vn∈N”,a+1>a,公差d= 12 =小 au+1-am>0,a.=a1+(n-10d=dm十(a1-d). t2+4-24×2cos120° t2+2+4 +1+中本 3 令4.>0.则m>1-.当a1≥0时，取N,=2 d 4-23,当且仅当1+1=3，即BD=5-1时.等号成立， 此时6-5-1 当，<0时，取正整数N,-[-】+2(其中[-】为 8.0.18前五场中有一场客场输时，甲队以4：1获胜的概 不大于一的最大整数)： 率是0.6×0.5×0.5×2=0.108： 则当n>N。时，由于aN。>0,都有a。=a1十(n-1)d> 前五场中有一场主场输时，甲队以4：1获胜的概率是 0.4×0.6X2×0.5×0.6=0.072. a,+([】+d>0,故充分性成立 综上所述，甲队以4：1获胜的概率是Q.108十Q.072=0.18 ②必要性的证明： 9.解(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资 假设数列(a,)的公差d<0. 额的预测值为y=-30.4+13.5×19=226.1(亿元). a.=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 利用模型②.该地区2018年的环境基础设施投资额的预 令a.<0.则n> d- d 测值为y=99+17.5×9=256.5(亿元) (2)利用模壁②得到的预测值更可靠。 显然当n取比N,和子都大的正整数时a,<@ 理由如下： 这与存在正整数V。,当m>N。时，a.>0矛盾，所以d> ()从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点 0,即a,}为递增数列，故必要性成立.故选C 没有随机散布在直线y=一30.4十13.5t上下，这说明利 2.C设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R, 用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好 地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对 △AC的外接圆的半径为，则5-月。=号 2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 S0=成=15，解得a=3R=2放=号×号。 2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长 3.设O到平面ABC的距离为d,则d+r=R2,故d= 趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y √R-r=√4-3=1.故选C 99+17.51可以较好地描述2010年以后的环境基础设施 3C当a<0时，在x≥0上，x-4≥0恒成立，所以只需满 投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更 足(x-b)(x一2a一b)≥0恒成立，此时2a十b<6.由二次 可靠 函数的图象可知，只有6<0时，满足(x一b)(x一2a一b)≥ ()从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额 0,b>0不满足条件： 220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显 编低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明 利用模型②得到的预测值更可靠。 2+ (以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理 由均可得分) 当b<0时，在[0，十∞)上，x一b≥0恒成立，所以只需满 10,解(1)由已知，有fx)=一0s2红 1-co(2a-5 足(x一a)(x-2a一b)≥0恒成立，此时两根分别为x=d 2 和x=2a十b. (1)当a+b>0时，此时0<a<2a+b,当x≥0时，(x a)(x-2a-b)≥0不恒成立： 2a+b 所以，)的最小正周期T-受=元 ②)因为)在区同[一音一若]上是减函数，在区间 (2)当a十b<0时，此时2a十b<a,若满足(x一4）·(x 2a一b)≥0恒成立，只需满足a<0: [吾]上是增函数，(-晋)=一子(-若 合）- -37