精品解析：2024年辽宁省沈阳市浑南区数学零模后跟踪训练试题

2024年辽宁省沈阳市浑南区数学零模后跟踪训练卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作（　　） A. ﹣0.15 B. +0.22 C. +0.15 D. ﹣0.22 【答案】A 【解析】 【分析】根据“具有相反意义的量的表示方法”进行分析判断即可. 【详解】解：∵跳远比赛中，以4.00米为标准，小东跳出了4.22米，记做+0.22米， ∴小东跳出3.85米应记作：-0.15米. 故选A. 【点睛】本题考查正负数的实际意义，熟悉：“具有相反意义的量的表示方法：在具有相反意义的两个量中，若一个量用正数表示，则另一个量用负数表示”是解答本题的关键. 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 4. 不等式组2x＞﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式2x＞﹣2，得：x＞﹣1，在数轴上表示为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点． 5. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 6. 下列说法中，正确的是（　　） A. 要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用全面调查方式 B. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 C. 如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4 D. “打开电视正在播放湖南新闻节目”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了调查方式的选择，事件的分类，事件发生的可能性，中位数，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、要了解某大洋的海水污染质量情况，调查范围广，不易调查，应采用抽样调查，原说法错误，不符合题意； B、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，原说法错误，不符合题意； C、如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4，原说法正确，符合题意； D、“打开电视正在播放湖南新闻节目”是随机事件，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； C、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意． 故选：A． 8. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点，时，恰好与边相切，则此餐盘的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，则，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】 连接，过点作，交于点，交于点， 则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，， ， ，，， 设餐盘的半径为，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， 餐盘的半径是． 故选：A． 9. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x=-1， 所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0）， ∴AB=1-（-3）=4，故①正确； 由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac>0，故②正确； 由图象可知：抛物线开口向上， ∴a>0， 由对称轴可知：−<0， ∴b>0，故③正确； 当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确； 所以，正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 二．填空题（共5小题） 11. 如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【详解】解：钢架桥的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 【点睛】此题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别求甲、乙两品中的方差即可判断； 【详解】解： ∴乙更稳定； 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查根据方差判断稳定性，分别求出甲、乙的方差，方差越小越稳定，解本题的关键在于知道方差的求解公式． 14. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得 ， 由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种等可能性，所以概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∠D＝30°，点E是BC边的中点，F是射线BA上一动点，将△BEF沿直线EF折叠，得到△PEF，连接PC，当△PCE为等边三角形时，BF的长为_____． 【答案】3或6 【解析】 【分析】分两种情况：当P点在EC的上方和下方时，由等边三角形的性质与直角三角形的性质分别求出BF的值即可． 【详解】当点P在EC的上方时，如图1， 则EF⊥BP，BE＝PE， ∴∠PBE＝∠BPE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝30°， ∴∠ABC＝∠D＝30°， ∵△PCE是等边三角形， ∴∠PEC＝60°， ∵∠PEC＝∠PBE+∠BPE， ∴∠PBE＝30°， ∴∠ABC＝∠PBC＝30°， ∴B、F、A、P在同一直线上， ∴BF＝BE•cos30°＝=3. 当点P在CE下方P′处时，如图2，连接BP′， 则EF′⊥BP′，BE＝EP′， ∵△P′CE是等边三角形， ∴∠P′EC＝60°， ∵∠P′EC＝∠P′BE+∠BP′E， ∴∠P′BE＝30°， ∴BQ＝BEcos30°＝2=3， ∠ABP′＝60°， ∴BF′＝=6， 故答案为3或6． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质及解直角三角形的应用，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键. 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，特殊角三角函数值，分式的减法计算： （1）先计算算术平方根，特殊角三角函数值，零指数幂，再计算加减法即可； （2）先通分，再约分化简即可． 【详解】解；（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元． （1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ （2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 【答案】（1）甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． （2）至少销售甲种电子产品万件． 【解析】 【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价元，乙种电子产品的销售单价元，根据等量关系：件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同，件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售多元，列出方程组求解即可； （2）可设销售甲种电子产品万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． 根据题意得：， 解得：； 答：甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． 【小问2详解】 解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件． 根据题意得：． 解得：． 答：至少销售甲种电子产品万件． 【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系及等量关系． 18. 跳绳是普及性很好的体育运动项目，在我国有着非常悠久的历史，这种运动唐朝称“透索”，宋称“跳索”，明称“跳百索”、“跳白索”、“跳马索”，清称“绳飞”，清末以后称作“跳绳”．某中学把跳绳作为学校特色体育运动项目之一，2023年4月份，为了了解八年级学生每分钟跳绳次数，该校随机抽取了八年级50名学生，进行一分钟跳绳测试，并将测试成绩（满分为10分）进行整理，绘制了统计表． 调查结果统计表①： 组别 每分钟跳绳数x（次） 成绩（分） 频数（人） A 5 2 B 6 5 C 7 8 D 8 9 E 9 15 F 10 11 规定：得10分为优秀，达到8分为良好，达到6分为合格． 调查结果统计表②： D组跳绳次数统计： 140，145，145，147，155，155，155，156，158． 根据以上信息解答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的众数是 分； （2）参与测试的学生中获得良好及以上等级的学生占测试人数的百分比是 ； （3）王莉参加了这次跳绳测试，跳绳次数是155次，本次测试学生中比她的跳绳次数少的是 人； 【答案】（1）9 （2） （3）19 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表、众数的知识，读懂频数分布表和利用统计表获取信息是解题的关键． （1）根据众数的定义解答即可； （2）用获得良好及以上等级的人数除以总人数即可； （3）根据频数分布表求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生每分钟跳绳成绩9分的人数最多， ∴在这次测试中，成绩的众数是9分， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：王莉参加了这次跳绳测试，跳绳次数是155次，本次测试学生中比她的跳绳次数少的是：（人）． 故答案为：19． 19. 一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象． （1）求所在直线的表达式． （2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ （3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】（1） （2）出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 （3）两地间的距离为600米 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【小问1详解】 ∵， ∴所在直线的表达式为． 【小问2详解】 设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． 【小问3详解】 设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 20. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）过C作CN⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDN=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）①延长NC交AB于M，则CM⊥AB，求出h=MN=1.44（m），由（1）得CN=0.8m，然后求出CM的长即可； ②由锐角三角函数定义求出∠ACM≈37°，再由（1）得∠DCN=90°-∠CDN=60°，然后求出∠ACD的度数即可． 【小问1详解】 解：过点C作CN⊥DE，垂足为N， 在Rt△CND中，， ∴∠CDN＝30°， CN＝0.5×1.6＝0.8， 【小问2详解】 ①延长NC，交AB的延长线于点M ∵AB∥DE， ∴CM⊥AB， ∴h＝MN＝1.8×0.8＝1.44， ∴CM＝1.44－0.8＝0.64， ②在Rt△ACM中，， ∵cos37°≈0.8， ∴∠MCA＝37°， ∴， 由（1）得：∠DCG=90°-∠CDG=60°， ∴∠ACD=180°-∠ACF-∠DCG≈180°-37°-60°=83°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 22. 在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，图是跳台比赛场地的示意图，在图中取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，解答下列问题： （1）求山坡坡顶的高度为______ ，抛物线的函数解析式为______ ； （2）当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ （4）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；； （2）当运动员与点的水平距离是，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员与小山坡的高度差最大是米； （4）． 【解析】 【分析】（）山坡坡顶的高度即为的最大值；根据题意将点和代入：求出、的值即可写出的函数解析式； （）令，解方程即可； （）设运动员与小山坡的高度差为，根据题意得，由函数的性质可以求出的最大值． （）根据题意列不等式，解出的取值范围即可； 本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． 【小问1详解】 ， 当时，取最大值； 由题意可知抛物线：过点和，将其代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：； 故答案为：；； 【小问2详解】 当运动员和小山坡到水平线的高度相同时， ， 整理得：， 解得：，舍去， ∴当运动员与点的水平距离是，运动员和小山坡到水平线的高度相同； 【小问3详解】 设运动员与小山坡的高度差为， 则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴运动员与小山坡的高度差最大是米； 小问4详解】 由（）知，抛物线的顶点为， ∴当时，运动员运动到坡顶正上方， ∵， ∴， ∴与坡顶距离超过米， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：． 23. 【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 【答案】（1）小丽同学的解题思路；证明见解析（2）证明见解析（3） 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）小丽同学，由平行线分线段成比例得到，再证即可；小强同学，证明，则，得到，，则，，即可得到结论； （2）过点D作交于点M，则，，，由比例的性质得到，证明，即可得到结论； （3）延长交的延长线于点F，求出，，，进一步得到，．过点E作于点G，证明是等腰直角三角形，，则，，求得，即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：小丽同学， ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 小强同学， 在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． （2）证明：如图4，过点D作交于点M， ∴，，， ∴，则； ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图5，延长交的延长线于点F， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，． ∴ 过点E作于点G， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省沈阳市浑南区数学零模后跟踪训练卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作（　　） A. ﹣0.15 B. +0.22 C. +0.15 D. ﹣0.22 2. 生活中有许多对称美图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组2x＞﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（　　） A. 要了解某大洋海水污染质量情况，宜采用全面调查方式 B. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 C. 如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4 D. “打开电视正在播放湖南新闻节目”是必然事件 7. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A B. C. D. 8. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点，时，恰好与边相切，则此餐盘的半径是（ ） A. B. C. D. 9. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题） 11. 如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______． 12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∠D＝30°，点E是BC边的中点，F是射线BA上一动点，将△BEF沿直线EF折叠，得到△PEF，连接PC，当△PCE为等边三角形时，BF的长为_____． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元． （1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ （2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 18. 跳绳是普及性很好的体育运动项目，在我国有着非常悠久的历史，这种运动唐朝称“透索”，宋称“跳索”，明称“跳百索”、“跳白索”、“跳马索”，清称“绳飞”，清末以后称作“跳绳”．某中学把跳绳作为学校特色体育运动项目之一，2023年4月份，为了了解八年级学生每分钟跳绳次数，该校随机抽取了八年级50名学生，进行一分钟跳绳测试，并将测试成绩（满分为10分）进行整理，绘制了统计表． 调查结果统计表①： 组别 每分钟跳绳数x（次） 成绩（分） 频数（人） A 5 2 B 6 5 C 7 8 D 8 9 E 9 15 F 10 11 规定：得10分为优秀，达到8分为良好，达到6分为合格． 调查结果统计表②： D组跳绳次数统计： 140，145，145，147，155，155，155，156，158． 根据以上信息解答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的众数是 分； （2）参与测试的学生中获得良好及以上等级的学生占测试人数的百分比是 ； （3）王莉参加了这次跳绳测试，跳绳次数是155次，本次测试学生中比她的跳绳次数少的是 人； 19. 一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象． （1）求所在直线的表达式． （2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ （3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 20. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 22. 在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，图是跳台比赛场地的示意图，在图中取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，解答下列问题： （1）求山坡坡顶的高度为______ ，抛物线的函数解析式为______ ； （2）当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ （4）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，直接写出的取值范围． 23. 【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$