精品解析：辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校双语校区 2024-2025学年 上学期九年级 数学学科 周末练习

2024-2025学年度 上学期 初三年级 数学学科 周末练习 使用时间：2024.11.24 一、选择题（共10小题，30分） 1. 图中抛物线的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，图象形状、开口方向都相同的是（ ） ①； ②； ③； ④； A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 4. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若点、在二次函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，有下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 若抛物线经过，，则它的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 10. 抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是() A 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知二次函数，其中部分和的对应取值如下表： … 0 1 … … 0 3 4 3 … 则的值为________． 12. 如果抛物线（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为_____． 13. 已知抛物线与轴只有一个交点，则______． 14. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 _____． 15. 已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是______． 三．解答题（共7小题，75分） 16. 已知二次函数的图像经过点，． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）时，求的取值范围． 17. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 18. 如图，已知二次函数的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，直接写出x的取值范围 19. 已知二次函数过点，，． （1）该函数的对称轴为 ，方程的解为 （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，y取值范围为 ②当时，x的取值范围为 20. 某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为．求当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？并写出最大值为多少． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度 上学期 初三年级 数学学科 周末练习 使用时间：2024.11.24 一、选择题（共10小题，30分） 1. 图中抛物线的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴，从而可得，，，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴图中抛物线的表达式可能是， 故选：A． 2. 下列函数中，图象形状、开口方向都相同的是（ ） ①； ②； ③； ④； A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次项系数相等时，两个二次函数的图象形状、开口方向都相同，判断即可． 【详解】解：∵只有二次项系数相等时，两个二次函数的图象形状、开口方向都相同， ②与 ③二次项系数都是， ∴②③图象形状、开口方向都相同， 故选：B． 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为， 故选项C不正确，符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 4. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 5. 如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的顶点式为，再由顶点坐标是，确定解析式即可． 【详解】解：一条抛物线的形状和开口方向与相同， ， 顶点坐标是， ∴它的解析式为， 故C满足条件， 故选：C． 6. 若点、在二次函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，根据二次函数的增减性，，随的增大而减小解答． 【详解】解：二次函数， 图象开口向下，对称轴为轴，顶点为，有最大值5，当时，随的增大而减小， ∵点、在二次函数的图象上，且， ． 故选：C． 7. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，有下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴有两个交点即可判断A；根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴即可判断B；由二次函数图象的对称轴是直线即可判断C；求出二次函数与轴的另一个交点为即可判断D． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故A正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴，故B正确，不符合题意； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，故C错误，符合题意； ∵二次函数过点，二次函数图象的对称轴是直线， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 9. 若抛物线经过，，则它的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 10. 抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是() A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝－3x2＋1向右平移2个单位可得到抛物线y=-（x-2）2+1， 由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-（x-2）2+1向下平移4个单位可得到抛物线y=（x+3）2-3， 故选C． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知二次函数，其中部分和的对应取值如下表： … 0 1 … … 0 3 4 3 … 则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 由表格可得二次函数的对称轴为直线，则点与关于二次函数的对称轴对称，进而问题可求解． 【详解】解：由表格得：当或时，二次函数的函数值都为3，根据二次函数的对称性可知二次函数的对称轴为直线， ∴点与关于二次函数的对称轴对称， ∴. 故答案为0． 12. 如果抛物线（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．抛物线（k是常数）的顶点在y轴上，而抛物线的图形与y轴只有一个交点，故抛物线与y轴的交点也是顶点，当时，，从而得到结果． 【详解】解：抛物线（k是常数）的顶点在y轴上， 抛物线的图形与y轴只有一个交点， 当时，， 即抛物线与y轴的交点坐标为， 顶点坐标为． 故答案为：． 13. 已知抛物线与轴只有一个交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．熟记相关结论是解题关键．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 详解】解：当时，， 则由题意得，， 解得：， 故答案为：． 14. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、点坐标的轴对称，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”得到平移后的解析式，再找到顶点的对称点解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为，即为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即， 故答案为：． 15. 已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先将解析式配方成顶点式，根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【详解】解：，抛物线顶点坐标，开口向上，对称轴为直线， ∵时，函数y的最大值是6，最小值是2， 当函数值为2时，， 解得， 当函数值为6时，， 解得：或． ∴． 故答案：． 三．解答题（共7小题，75分） 16. 已知二次函数的图像经过点，． （1）试确定此二次函数解析式； （2）时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围： （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，从而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，再求出当时，，当时，，则当时，． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，． 17. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点坐标． 【答案】（1）， （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是： （1）把点、代入求解即可； （2）分；；三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 18. 如图，已知二次函数的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，直接写出x的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，得，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：将，，代入，得 解得： ∴ 【小问2详解】 解：当时， 解得：， 根据函数图象可得当时， 19. 已知二次函数过点，，． （1）该函数的对称轴为 ，方程的解为 （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x的取值范围为 【答案】（1）直线；，； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）先根据待定系数法求出二次函数解析式，然后根据对称轴公式求出对称轴，令，即可求出方程的解； （2）①先，，对应的函数值，然后函数图象即可得到结论； ②先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得 ∴， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴方程的解为为，， 故答案：直线；，； 【小问2详解】 解：①当时，；当时，， 当时， ∴由图象知：当时，y的取值范围为， 故答案为：； ②当时，， 解得，， ∴由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 20. 某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为． 由图象，把代入得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵，开口向下，对称轴为直线， ∴当随的增大而增大， ∴当时， 答：当每件商品的售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元． 21. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为．求当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？并写出最大值为多少． 【答案】当时，矩形养殖场的总面积最大，且为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13，可得，根据题意得出函数解析式，由二次函数性质求最值． 【详解】解：如图，设矩形养殖场的面积为 ∵，矩形的面积是矩形面积的2倍， ∴， ∴，， 依题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $