专题1.3 勾股定理的应用-最短路径【8大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.3 勾股定理的应用--最短路径【8大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--立方体最短路径 1 题组二 勾股定理的应用--圆柱体最短路径 4 题组三 勾股定理的应用--圆锥最短路径 5 题组四 勾股定理的应用--多圈最短路径 7 题组五 勾股定理的应用--不规则最短路径 9 题组六 勾股定理的应用--台阶最短路径 12 题组七 勾股定理的应用--将军饮马最短路径 14 题组八 勾股定理的应用--数形结合最小值 15 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--立方体最短路径 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．10 B． C． D．9 2．如图，一长方体状包装盒的长为12cm，宽为8cm，高为16cm，点B离点C4cm，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．20cm B． C．28cm D． 3．如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．13 B．12 C．7 D． 4．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 5．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．15cm 6．如图所示，在正三棱柱ABC一A1B1C1中，已知AB＝BC＝CA＝2，AA1＝4，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点A1，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　） A． B．2+2 C．4 D．4 7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．10cm B．cm C．（6+）cm D．9cm 8．如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（　　）dm． A．15 B．9 C． D． 题组二 勾股定理的应用--圆柱体最短路径 9．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（　　） A．5cm B．4cm C． D．15cm 10．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（　　）cm． A． B． C． D． 11．如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12m，高5m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到达A的正上方的B点，则梯子最短需要（　　） A．12m B．13m C．17m D．20m 12．如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（　　） A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm 题组三 勾股定理的应用--圆锥最短路径 13．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（　　） A． B． C． D． 14．已知：如图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P在OM上，一只蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 15．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 16．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（　　）m． A．3 B．3 C．3 D．4 17．如图，有一个圆锥，高为8cm，直径为12cm．在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是（　　） A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm 题组四 勾股定理的应用--多圈最短路径 18．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　） A． B．3m C．4m D．5m 19．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（　　） A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm 20．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自A点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（　　）尺． A．25 B．20 C．4 D．2 21．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A．12cm B．cm C．15cm D．cm 22．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A．8 B．5 C．20 D．10 23．如图，圆柱底面半径为，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B．26cm C．30cm D． 题组五 勾股定理的应用--不规则最短路径 25．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（　　）m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） A．18 B．20 C．22 D．24 26．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C．3 D．4 27．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6m，AB＝4m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 28．如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是（　　）m． A． B． C． D． 29．棱长分别为3cm和2cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（　　） A．cm B．（+）cm C．2cm D．（+1）cm 30．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 31．如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A．20 B． C．24 D． 32．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只小虫子要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是（　　） A．10分米 B．13分米 C．14分米 D．分米 33．运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离的平方为（　　） A．25600 B．32400 C．36000 D．57600 题组六 勾股定理的应用--台阶最短路径 24．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（　　） A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm 34．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm 35．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是（　　） A．71寸 B．73寸 C．100寸 D．103寸 36．如图（示意图）是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短距离是（　　） A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm 37．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为20dm，3dm，2dm．A和B是这个台阶上两个相对的点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A．18dm B．20dm C．25dm D．35dm 38．如图，台阶阶梯每一层长90cm，宽30cm，高10cm，若一只蚂蚁想从点A到点B去搬运食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　） A．180cm B．150cm C．120cm D．80cm 39．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为200cm、30cm、20cm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是（　　）cm． A．150cm B．200cm C．300cm D．250cm 40．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 41．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少（　　） A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm 题组七 勾股定理的应用--将军饮马最短路径 42．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 43．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　） A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米 44．如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　） A．2 B．6 C．10 D．以上答案都不对 45．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．13cm B．2cm C．cm D．2cm 题组八 勾股定理的应用--数形结合最小值 46．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图1，作线段BC，分别构造直角边为1，x和4﹣x，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE2＝AF2+EF2，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： （1）的最小值． （2）求，c为正数，0＜x＜c）的最小值． （3）如图2，在矩形ABCD花园中，AB＝30米，BC＝80米，计划要铺设BE，EC两条小路，点E在AD上．要使BE+EC最小，设AE＝x米．求最小值是多少？ 47．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知0＜x＜1，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1﹣x． 则＝线段 　 　+线段 　 　； （2）在（1）的条件下，已知0＜x＜1，求的最小值． 48．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 回答下面问题： （1）代数式的最小值为 　 　； （2）变式训练：求代数式的最小值； （3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答）． 49．数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系． （1）勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理； （2）若线段AB上有一点C，AB＝40，AC＝x，BC＝y，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 勾股定理的应用--最短路径【8大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--立方体最短路径 1 题组二 勾股定理的应用--圆柱体最短路径 8 题组三 勾股定理的应用--圆锥最短路径 11 题组四 勾股定理的应用--多圈最短路径 14 题组五 勾股定理的应用--不规则最短路径 19 题组六 勾股定理的应用--台阶最短路径 25 题组七 勾股定理的应用--将军饮马最短路径 31 题组八 勾股定理的应用--数形结合最小值 31 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--立方体最短路径 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．10 B． C． D．9 【解答】解：如图1， ∵AB＝9，BC＝6，BF＝5， ∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8， ∴； 如图2， ∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5， ∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5， ∴， ∵， ∴它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 2．如图，一长方体状包装盒的长为12cm，宽为8cm，高为16cm，点B离点C4cm，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．20cm B． C．28cm D． 【解答】解：如图1：把前面和右面展成一个平面，AB＝＝20（cm）， 如图2：把上面和右面展成一个平面，AB＝＝4（cm）， 由题意可知：第3种情况：AB＝＝＝4， ∵＜4， 故选：A． 3．如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．13 B．12 C．7 D． 【解答】解：①如图，这只蚂蚁爬行的最短路程为， ②如图所示， ∵一个无盖的长方体盒子， 路径为AF+FG＝＝+5≈13.4， 或AB+BG＝7+＝7+5≈14， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是13． 故选：A． 4．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【解答】解：如图所示： 连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长， AA′＝4+2+4+2＝12，A′B′＝AB＝9， 由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝122+92＝225， 则AB′＝15， 故选：B． 5．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．15cm 【解答】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm． ∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm， ∴PQ＝＝13（cm）． 故选：C． 6．如图所示，在正三棱柱ABC一A1B1C1中，已知AB＝BC＝CA＝2，AA1＝4，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点A1，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　） A． B．2+2 C．4 D．4 【解答】解：如图，把侧面展开两周，矩形对角线即为蚂蚁爬行的最短距离， 蚂蚁爬行的最短距离＝＝4， 故选：D． 7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．10cm B．cm C．（6+）cm D．9cm 【解答】解：如图1， ∵AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm， ∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8， ∴MN＝＝10； 如图2， ∵AB＝9cm，BC＝GF＝6cm，BF＝5cm， ∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5， ∴MN＝＝， ∵10＜， ∴它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 8．如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（　　）dm． A．15 B．9 C． D． 【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短路线． 展开后由勾股定理得：AD2＝92+62， 故AD＝3dm． 故选：C． 题组二 勾股定理的应用--圆柱体最短路径 9．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（　　） A．5cm B．4cm C． D．15cm 【解答】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点M作MA⊥AN于点A，作出点N关于底面直径所在直线的对称点N′，连接MN′， 根据题意可知：AM＝18＝9（cm），AN′＝15﹣2+5＝18（cm）， 在Rt△AMN′中，根据勾股定理得：MN′＝＝＝9（cm）， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点N作NB⊥BM于点B，作出点M关于底面直径所在直线的对称点M′，连接M′N， 根据题意可知：BN＝18＝9（cm），BM′＝15﹣5+2＝12（cm）， 在Rt△AMN′中，根据勾股定理得：M′N＝＝＝15（cm）， ∵9cm＞15cm， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是M′N的长为15cm， 故选：D． 10．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（　　）cm． A． B． C． D． 【解答】解：底面周长为20cm，半圆弧长为0cm， 画展开图形如下： 由题意得：BC＝10cm，AB＝6cm， 根据勾股定理得：（cm）． 故选：D． 11．如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12m，高5m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到达A的正上方的B点，则梯子最短需要（　　） A．12m B．13m C．17m D．20m 【解答】解：如图所示： ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝＝＝13m． 答：梯子最短需要13米， 故选：B． 12．如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（　　） A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm 【解答】解：根据题意得，BC＝10cm，∠BAC＝30°， ∴AB＝BC÷Sin30°＝10÷＝20cm． 故选：B． 题组三 勾股定理的应用--圆锥最短路径 13．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹， 故选：D． 14．已知：如图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P在OM上，一只蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：蚂蚁绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蚂蚁从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选：D． 15．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则＝6π， 解得：n＝180， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：BP＝， 故选：C． 16．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（　　）m． A．3 B．3 C．3 D．4 【解答】解：圆锥的底面周长是6π，则6π＝， ∴n＝180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中AP＝3，AB＝6，∠BAP＝90度． ∴在圆锥侧面展开图中BP＝m． 故小猫经过的最短距离是3m． 故选：C． 17．如图，有一个圆锥，高为8cm，直径为12cm．在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是（　　） A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm 【解答】解：∵一个高为8cm，底面直径为12cm的圆锥， ∴AO＝8cm，BO＝6cm， ∴在Rt△ABO中， AB＝＝10（cm）． 故选：C． 题组四 勾股定理的应用--多圈最短路径 18．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　） A． B．3m C．4m D．5m 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高3米，底面周长1米， x2＝（1×4）2+32＝16+9＝25， 所以，彩带长至少是5m． 故选：D． 19．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（　　） A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm 【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm， ∴x2＝（12×4）2+202， 所以彩带最短是52cm． 故选：D． 20．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自A点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（　　）尺． A．25 B．20 C．4 D．2 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×4＝20（尺）， 因此葛藤长为＝20（尺）． 故选：B． 21．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A．12cm B．cm C．15cm D．cm 【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×＝4cm； 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm； 根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5cm； ∴AC+CD+DB＝15cm； 故选：C． 22．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A．8 B．5 C．20 D．10 【解答】解：如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得， ， 故选：C． 23．如图，圆柱底面半径为，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B．26cm C．30cm D． 【解答】解：如图所示，圆柱的展开图中，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短， 最短路线为AD+DE+EB， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为24cm， ∴，， ∴在Rt△ACD中，， ∴， 故选：D． 题组五 勾股定理的应用--不规则最短路径 25．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（　　）m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） A．18 B．20 C．22 D．24 【解答】解：将半圆面展开可得： 弧AD＝4π米，DE＝DC﹣CE＝AB﹣CE＝18米， 在Rt△ADE中， AE＝（米）． 即滑行的最短距离为22米． 故选：C． 26．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C．3 D．4 【解答】解：如图1， ∴AB＝＝， 如图2， ， AB＝＝， ∵＞， ∴最短路径的长是， 故选：A． 27．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6m，AB＝4m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 【解答】解：如图，将木块展开，AC即为所求， 则AB＝2+2+4＝8（米）， ∴最短路径为：AC＝＝10（米）． 故选：B． 28．如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是（　　）m． A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得，如图所示， ， ∴AB＝20+2×2＝24（m）， ∴最短路程是：（m）， 故选：A． 29．棱长分别为3cm和2cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（　　） A．cm B．（+）cm C．2cm D．（+1）cm 【解答】解：如图，有两种展开方法： 方法一：PA＝＝cm， 方法二：PA＝＝cm， 故需要爬行的最短距离是cm． 故选：A． 30．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，正方体上表面的对角线为CD，将图②展开，连接AB交CD于点E，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：△ACD为等边三角形，△CBD为等腰直角三角形， ∵AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB， ∴△ACB≌△ADB（SSS）， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴AB⊥CD， ∵正方体的棱长为4， ∴BC＝BD＝4，， 在Rt△CEB中，， 在Rt△CEA中，， ∴AB＝AE+CE＝2+2． 故选：A． 31．如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A．20 B． C．24 D． 【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB， ∵AG＝8（米），AP＝AB＝10（米）， ∴PG＝＝6（米）， ∴BG＝8+10＝18（米）， ∴PB＝＝＝6（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是6米， 故选：D． 32．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只小虫子要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是（　　） A．10分米 B．13分米 C．14分米 D．分米 【解答】解：情形1：平面展开图所示， AB＝＝13（分米）． 情形2：平面展开图如图所示： AB＝＝（分米）； 情形3， ＝（分米）； ∵＜＜13， 答：它需要爬行的最短路径的长是分米， 故选：D． 33．运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离的平方为（　　） A．25600 B．32400 C．36000 D．57600 【解答】解：展开图如下： ∴AB＝＝60（cm）． 蚂蚁爬行的最短距离的平方为36000cm2， 故选：C． 题组六 勾股定理的应用--台阶最短路径 24．如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（　　） A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm 【解答】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为24dm，3dm，3dm， ∴MN＝＝30（dm）， 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm， 故选：C． 34．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm 【解答】解：如图：展开图中AB的距离即为蚂蚁爬行的最短路程，且∠AOB＝90°． ∵每级台阶长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm， ∴OA＝30+10+30+10＝80（cm），OB＝60cm． ∵∠AOB＝90°，OA＝80cm，OB＝60cm， ∴AB＝＝100（cm）． 故最短爬行路程是100cm． 故选：C． 35．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是（　　） A．71寸 B．73寸 C．100寸 D．103寸 【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48（寸）， BC＝55寸， 由勾股定理得：AB＝＝＝73（寸）， 故选：B． 36．如图（示意图）是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短距离是（　　） A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（3+2）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm， 由勾股定理得：x2＝202+[（3+2）×3]2＝625， 解得x＝25． 故选：A． 37．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为20dm，3dm，2dm．A和B是这个台阶上两个相对的点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A．18dm B．20dm C．25dm D．35dm 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252， 解得：x＝25（dm）． 故选：C． 38．如图，台阶阶梯每一层长90cm，宽30cm，高10cm，若一只蚂蚁想从点A到点B去搬运食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　） A．180cm B．150cm C．120cm D．80cm 【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC＝30×3+10×3＝120cm，BC＝90cm， 所以AB2＝AC2+BC2＝22500， 所以AB＝150cm， 所以蚂蚁爬行的最短线路为150cm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为150cm． 故选：B． 39．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为200cm、30cm、20cm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是（　　）cm． A．150cm B．200cm C．300cm D．250cm 【解答】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为200cm，宽为（20+30）×3cm， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcmm， 由勾股定理得：x2＝2002+[（20+30）×3]2＝2502， 解得：x＝250cm． 故选：D． 40．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5， 所以AB2＝AC2+BC2＝169， 所以AB＝13（cm）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 故选：B． 41．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少（　　） A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm 【解答】解：将台阶展开，如图， 因为BC＝30×3+10×3＝120，AC＝50， 所以AB2＝AC2+BC2＝16900， 所以AB＝130（cm）， 所以壁虎爬行的最短线路为130cm． 故选：C． 题组七 勾股定理的应用--将军饮马最短路径 42．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开， 作A关于EF的对称点A′， 则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度， ∵A′B＝＝＝＝17（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm， 故选：B． 43．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　） A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米 【解答】解：如图： ∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处， ∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝ ＝ ＝1.3（m）． 故选：A． 44．如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　） A．2 B．6 C．10 D．以上答案都不对 【解答】解：如图，在纸杯的上底面作直径ED，E、D分别在A、C的正上方： 将杯子侧面展开，作A关于ED的对称点A′， 连接A′C，则A′C即为最短距离， 由题意可得出：A′B＝6cm，CB＝8cm， A′C＝＝10（cm）， 故选：C． 45．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．13cm B．2cm C．cm D．2cm 【解答】解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝ ＝ ＝13（Cm）． 故选：A． 题组八 勾股定理的应用--数形结合最小值 46．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图1，作线段BC，分别构造直角边为1，x和4﹣x，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE2＝AF2+EF2，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： （1）的最小值． （2）求，c为正数，0＜x＜c）的最小值． （3）如图2，在矩形ABCD花园中，AB＝30米，BC＝80米，计划要铺设BE，EC两条小路，点E在AD上．要使BE+EC最小，设AE＝x米．求最小值是多少？ 【解答】解：（1）∵AF＝3+2＝5，BC＝EF＝12， ∴AE＝＝＝13， ∴的最小值是13； （2）方法同（1）可求出，c为正数，0＜x＜c）的最小值为； （3）方法同（1）BE+EC＝+＝+＝＝100（米）， 如图2，延长BA至点B'，使B'A＝AB，连接CB'交AD于点E， 此时BE+EC的值最小，则BE+EC＝CB'＝＝100（米）． 47．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知0＜x＜1，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1﹣x． 则＝线段 　AP　+线段 　PD　； （2）在（1）的条件下，已知0＜x＜1，求的最小值． 【解答】解：（1）由题意得，+PD， 故答案为：AP、PD； （2）如图，作点A关于BC的对称点H，连接 HD交BC于点P， 此时，AP+PD 最小，即 和 最小， 由题意得：AH＝2AB＝2，AD＝1， 则＝， 即 的最小值为：； （3）如图，在矩形BEDF的基础上，构建△ABC，连接AD、CD，设 BE＝6，BF＝1，AB＝x，BC＝3， 则， ＝， 当A、C、D共线时，AC﹣AD＝CD最大，即的最大， 且的最大值＝＝， 即的最大值为：． 48．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 回答下面问题： （1）代数式的最小值为 　13　； （2）变式训练：求代数式的最小值； （3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答）． 【解答】解：（1）如图2所示：在Rt△ABC和Rt△BDF中，∠ACB＝∠DFB＝90°，点C，B，F在同一条直线上，CF＝12，AC＝3，DF＝3，连接AD，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于H， 设BC＝x，则BF＝12﹣x， 由勾股定理得：AB＝，BD＝， ∴要求代数式的最小值，只需求出AB+BD的最小值即可， 根据“两点之间线段最短”得：AB+BD≤AD， ∴当点A，B，D在同一条直线上时，AB+BD的值为最小，最小值为线段AD的长， ∵∠ACB＝∠DFB＝90°，DH⊥AC， ∴∠FCH＝∠DFB＝∠H＝90°， ∴四边形CFDH为矩形， ∴DH＝CF＝12，CH＝DF＝2， ∴AH＝AC+CH＝3+2＝5， 在Rt△AHD中，由勾股定理得：AD＝＝＝13， ∴AB+BD的最小值为13， 即代数式的最小值为13， 故答案为：13． （2）如图3所示，在Rt△ABC和Rt△BDF中，∠ACB＝∠DFB＝90°，点C，B，F在同一条直线上，CF＝10，AC＝4，DF＝2，连接AD，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于H， 设BC＝x，则BF＝10﹣x， 由勾股定理得：AB＝，BD＝， ∴要求求代数式的最小值，只需求出AB+BD的最小值即可， 根据“两点之间线段最短”得：AB+BD≤AD， 当点A，B，D在同一条直线上时，AB+BD的值为最小，最小值为线段AD的长， ∵∠ACB＝∠DFB＝90°，DH⊥AC， ∴∠FCH＝∠DFB＝∠H＝90°， ∴四边形CFDH为矩形， ∴DH＝CF＝10，CH＝DF＝2， ∴AH＝AC+CH＝4+2＝6， 在Rt△AHD中，由勾股定理得：AD＝＝＝， ∴AB+BD的最小值为， 即求代数式的最小值； （3）如图4所示：构造Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AC＝3，BC＝4， 设CD＝x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝5， ∴AD+BD＝AB＝5， 即， ∴线段CD的长为方程的一个实数解， ∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝＝＝2.4， 另外，x＝﹣2.4也是方程的实数解， ∴方程的解为：x＝±2.4． 49．数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系． （1）勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理； （2）若线段AB上有一点C，AB＝40，AC＝x，BC＝y，求的最小值． 【解答】解：（1）根据题意有， 梯形的面积①：×2+； 梯形的面积②：（a+b）（a+b）×； ∴×2+＝（a+b）（a+b）×， ∴a2+b2＝c2； （2）如图，在直线AB上，作AM⊥AB，BN⊥AB，且x+y＝40，AM＝4，BN＝5．AC＝x，BC＝y， 根据勾股定理可得：MC＝，NC＝， ＝MC+NC； 作点M关于AB的对称点H，BK＝AH，且BK＝AH， ＝MC+NC＝HC+NC， 当且仅当点C、H、N三点共线，即点C运动到点G时，此时，＝MC+NC＝HG+GH＝HN， HN＝＝＝， ∴的最小值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$