专题1.2 勾股定理的应用【15大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.2 勾股定理的应用【15大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--测飞行距离 2 题组二 勾股定理的应用--多边形面积 3 题组三 勾股定理的应用--风筝、旗杆高度 5 题组四 勾股定理的应用--台风影响 7 题组五 勾股定理的应用--大树折断 9 题组六 勾股定理的应用--梯子滑动 9 题组七 勾股定理的应用--同一物体不同位置 11 题组八 勾股定理的应用--秋千 12 题组九 勾股定理的应用--杯中筷子 13 题组十 勾股定理的应用--测速 14 题组十一 勾股定理的应用--航行 15 题组十二 勾股定理的应用--探测 16 题组十三 勾股定理的应用--选址 17 题组十四 勾股定理的应用--建设 19 题组十五 勾股定理的应用--绳拉小船 20 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--测飞行距离 1．如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高6m，旗杆高26m，树与旗杆之间的水平距离为15m，则无人机飞行的最短距离为多少？ 2．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处，以小鸟的目光从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为10米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD．（结果保留根号） 3．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树AB高13米，另一棵树CD高8米． （1）一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？ （2）如果两树之间的地面（线段BC）上有一些食物，小鸟要从一棵树的顶端飞到地面找食吃，再飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 4．国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程． 题组二 勾股定理的应用--多边形面积 5．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草坪，经测量∠B＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米，求种植草坪的面积． 6．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划把空地改成小花园，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24，AD＝26． （1）求空地ABCD的面积； （2）若学校准备用A、B两个品种的鲜花美化空地，每种植1平方米A品种的鲜花需要150元，每种植1平方米B品种的鲜花需要200元，若投入总费用不超过25800时，求至少种植多少平方米A品种的鲜花． 7．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 8．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积． 9．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离． （2）该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本为多少？ 10．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 题组三 勾股定理的应用--风筝、旗杆高度 11．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 12．如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？ 13．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度． 14．为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高1.9m的成年人CD与感应灯A的水平距离为4m时，感应灯刚好亮；当身高0.9m的小朋友EF与感应灯A的水平距离为3m时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离AB的长． 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，DG⊥GB且DG＝10米，CG＝60米，CE⊥GB．（不考虑两人身高，点G、C、B在同一水平线上） （1）求小明与小亮之间的距离CD（结果保留根号）． （2）若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度AB为60米，AB⊥GB，求此时风筝A到小亮的距离AD． 16．为测量实验学校旗杆高度，数学兴趣小组进行了如下测验：某同学在与升旗台水平的地面移动，当旗杆顶部、观测者视力所在直线与水平线成60°时，停止移动．经测量，此时眼睛与旗杆BC距离为7.20米，升旗台台阶高AO为0.50米，眼睛到地面的距离CE为1.58米，请运用所学知识，计算学校旗杆AD的高度．（结果精确到0.1米，） 题组四 勾股定理的应用--台风影响 17．如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 18．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心正以20km/h的速度沿BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 19．吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A、B的距离分别为180m和240m，AB＝300m，若吊车周围150m以内会受噪声影响． （1）求∠ACB的度数； （2）街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： （1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 题组五 勾股定理的应用--大树折断 21．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，求旗杆原来的高度． 22．2022年第3号台风“暹芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 题组六 勾股定理的应用--梯子滑动 23．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救极任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AB＝CD＝25m），消防车车身高3.5m（即点A到地面EF的距离AH为3.5m），救人时云梯伸长至最长，在完成从18.5m（即BE＝18.5m）高的B处救人后，距要到点B的正上方5m（即BD＝5m）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离AC为多少米？（提示：延长AC交DE于点O，则AO⊥DE）． 24．如图，走廊上有一梯子以45°的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为60°，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 25．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯AB斜靠在墙AO上，已知AO＝24米，云梯的长度比云梯底端到墙角距离长18米． （1）求云梯AB的长度； （2）现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离BD为多少米． 题组七 勾股定理的应用--同一物体不同位置 26．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，求底部边缘A处与E之间的距离AE的长． 27．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3米，顶端E距墙顶D的距离DE为2米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF． 求：（1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 28．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端距离墙顶的距离AB为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端距离墙顶的距离DE为1米，则墙的高度为多少米？ 题组八 勾股定理的应用--秋千 29．荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 30．小颖与爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°，直线OA与地面交于一点F． （1）△OBD和△COE全等吗？请说明理由． （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小颖的？ （3）求秋千的起始位置A处与距地面的高度． 31．在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， （1）求高台A比矮台B高多少米？ （2）求旗杆的高度OM； （3）马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 题组九 勾股定理的应用--杯中筷子 32．如图，一根长18cm的牙刷放置于底面直径是5cm，高为12cm的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，求h的范围． 33．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 34．有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？ 题组十 勾股定理的应用--测速 35．根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．这辆小汽车超速了吗？ 36．如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m． （1）求B，C间的距离． （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 37．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪A间距离为100米． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 题组十一 勾股定理的应用--航行 38．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 39．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 40．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向上，若轮船不改变方向继续向前航行至何处时，距离小岛P最近？最近距离是多少海里？ 41．如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 题组十二 勾股定理的应用--探测 42．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度． 43．如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和AD，AB＝10千米，BD＝6千米，AD＝8千米． （1）公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； （2）通过无人机测得AC＝BC，求村庄A到县城C的直线距离AC的长． 44．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由． 45．有一条东西走向的隧道AB．小明在点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进300米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上（点A、B、C、D在同一平面内）． （1）求点D与点A的距离（结果保留准确值）； （2）小明的朋友从端点A以每分钟60米的速度步行到端点B，请问他能否在15分钟内通过隧道AB？（≈1.41，≈2.45） 题组十三 勾股定理的应用--选址 46．如图，笔直的公路上A、B两点相距30km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝20km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ 47．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． （1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 48．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等． 问：（1）在离A站多少km处？ （2）判定三角形DEC的形状． 49．如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB垂足分别为A、B，已知DA＝15km，CB＝10，现在要在铁路AB上修建一个物流中心E． （1）如果C、D两村庄到物流中心E的距离相等．那么物流中心E应修建在离A地多少千米处？在图中标出物流中心E的位置，并说明理由． （2）如果C、D两村庄到物流中心E的距离之和最短，那么物流中心E应修建在什么地方？在图中标出物流中心E的位置，并求出最短距离的平方． 题组十四 勾股定理的应用--建设 50．塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”，用来吊施工用的钢筋、木楞、混凝土、钢管等施工的原材料．如图1是塔吊实物图，图2是塔吊示意图，线段BC，BD表示钢丝绳，AD表示起重臂，AB⊥AD，综合与实践小组向工人了解到如下信息：AB＝8米，BC＝17米，CD＝20米．求钢丝绳BD的长度（参考数值：）． 51．如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝80m，CD＝80m，且∠ABC＝90°． （1）求∠DAB的度数； （2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m，求被监控到的道路长度为多少m？ 52．在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题： （1）求AE的长； （2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 53．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米． （1）求公路CD、AD的长度； （2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用． 题组十五 勾股定理的应用--绳拉小船 54．如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长BC＝20m，CA⊥AB，且CA＝12m，拉动绳子将船从点B沿BA的方向拉到点D后，绳长CD＝12m，求船体移动的距离BD的长度． 55．如图，张叔叔在距离河面高度为12m的C处，用长为20m的绳子拉点B处的船靠岸，若张叔叔收绳5m后，船到达D处，则船向岸边移动了多少米？ 56．为营造节日气氛，现从楼顶A处拉一条彩带AC到地面点C处，已知彩带AC的长为10m，点C到楼房底部B的距离为6m，AB⊥BC． （1）求楼房的高度AB； （2）为使美观，现计划从楼顶A处再拉一条彩带AD到地面点D处，点D在BC的延长线上，CD＝9m，请求出彩带AD的长度． 57．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）在（1）的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 勾股定理的应用【15大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--测飞行距离 2 题组二 勾股定理的应用--多边形面积 5 题组三 勾股定理的应用--风筝、旗杆高度 11 题组四 勾股定理的应用--台风影响 16 题组五 勾股定理的应用--大树折断 20 题组六 勾股定理的应用--梯子滑动 22 题组七 勾股定理的应用--同一物体不同位置 24 题组八 勾股定理的应用--秋千 24 题组九 勾股定理的应用--杯中筷子 26 题组十 勾股定理的应用--测速 29 题组十一 勾股定理的应用--航行 30 题组十二 勾股定理的应用--探测 32 题组十三 勾股定理的应用--选址 36 题组十四 勾股定理的应用--建设 40 题组十五 勾股定理的应用--绳拉小船 43 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--测飞行距离 1．如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高6m，旗杆高26m，树与旗杆之间的水平距离为15m，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【解答】解：如图，作AE⊥CD于E，连接AC， ， 由题意得：DE＝AB＝6m，AE＝BD＝15m，∠AEC＝90°， ∴CE＝CD﹣DE＝26﹣6＝20m， ∴AC＝＝＝25（m）． 2．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处，以小鸟的目光从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为10米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD．（结果保留根号） 【解答】解：作AE⊥CD于点E， 由题意可知：∠CAE＝30°，∠EAD＝45°，AE＝10米． 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，即tan30°＝， 则CE＝10tan30°＝（米），AC＝2CE＝2×＝（米）， 在Rt△AED中，∠ADE＝90°﹣∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝AE＝10（米）． ∴DC＝CE+DE＝+10（米）． 3．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树AB高13米，另一棵树CD高8米． （1）一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？ （2）如果两树之间的地面（线段BC）上有一些食物，小鸟要从一棵树的顶端飞到地面找食吃，再飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 【解答】解：（1）如图，作DE⊥AB于点E，根据题意得： AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝13﹣8＝5米，DE＝BC＝12米， 故由勾股定理得：AD＝＝13米， 故小鸟至少要飞13米； （2）延长DC至F点，作FG∥BC交AB的延长线于点G，连接AF， 在Rt△AGF中，AF＝＝＝米， 故小鸟至少要飞＝米． 4．国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程． 【解答】解：过E作MN⊥AB于M，交CD于N， 由题意得AB＝25米，CD＝30米，AC＝35米，AB∥CD，AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，BE＝DE， ∴MN⊥CD， ∴四边形AMEF，四边形EFCN，四边形ACNM是矩形， ∴MN＝AC＝35米，BM＝15米，DN＝20米，EN＝（35﹣EM）米， 在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2， 在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2， ∴BM2+EM2＝DN2+EN2， ∴152+EM2＝202+（35﹣EM）2， 解得EM＝20米， ∴BE＝＝25（米）， ∴BE+DE＝50米． 答：无人机从点D到点E再到点B一共飞行了50米． 题组二 勾股定理的应用--多边形面积 5．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草坪，经测量∠B＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米，求种植草坪的面积． 【解答】解：连接AC． 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米， ∴AC＝＝＝25（米）． 在△ADC中，因为CD＝7米，AD＝24米，AC＝25米， ∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2． ∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°． ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×15×20+×7×24＝234（平方米）． ∴种植草坪的面积为234平方米． 6．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划把空地改成小花园，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24，AD＝26． （1）求空地ABCD的面积； （2）若学校准备用A、B两个品种的鲜花美化空地，每种植1平方米A品种的鲜花需要150元，每种植1平方米B品种的鲜花需要200元，若投入总费用不超过25800时，求至少种植多少平方米A品种的鲜花． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m， ∴， ∵CD＝24m，AD＝26m， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD， ＝， ＝， ＝144（m2）； 答：空地ABCD的面积为144m2． （2）设种植m平方米A品种的鲜花，得150m+200（144﹣m）≤25800， 解这个不等式，得m≥60， 答：至少种植60平方米A品种的鲜花． 7．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 8．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积． 【解答】解：连接AC， 已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m， 根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m， 在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m， ∴存在AC2+CB2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， 要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可， S＝S△ABC﹣S△ACD＝AC•BC﹣CD•AD， ＝×15×36﹣×9×12， ＝270﹣54， ＝216m2， 答：这块地的面积为216m2． 9．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离． （2）该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本为多少？ 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A＝90°， ∴ ＝ ＝5（m）， 故B、D之间的距离为5m； （2）∵52+122＝132， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°， ∴ ＝ ＝432（元）， 故则该班种植向日葵的成本为432元． 10．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程； （2）∵CD＝17m，AD＝8m， ：AD2+AC2＝DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•BC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是 114m2． 题组三 勾股定理的应用--风筝、旗杆高度 11．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225， 所以，CD＝15（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米）， 答：风筝的高度CE为16.5米； （2）由题意得，CM＝9， ∴DM＝6， ∴BM＝＝＝10（米）， ∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 12．如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？ 【解答】解：设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA， 即BD+DA＝15，DA＝15﹣x， 在直角△ACD中，AD为斜边， 则CD2+AC2＝AD2， 即（5+x）2+102＝（15﹣x）2 解得x＝2.5， ∴AD＝15﹣x＝12.5米， CD＝BC+BD＝5米+2.5米＝7.5米， 答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米． 13．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于F， 由题意知，BF＝DE＝1米，EF＝BD＝5米，BC＝1米，AC＝AE， 设旗杆AB高度为x米，则AF＝（x﹣1）米， 在直角△ABC中，由勾股定理知：AC2＝AB2+BC2，即AC2＝x2+1， 在直角△AEF中，由勾股定理知：AE2＝AF2+EF2， 所以x2+1＝（x﹣1）2+52． 解得x＝12.5． 答：学校旗杆的高度为12.5米． 14．为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高1.9m的成年人CD与感应灯A的水平距离为4m时，感应灯刚好亮；当身高0.9m的小朋友EF与感应灯A的水平距离为3m时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离AB的长． 【解答】解：过点C作CM⊥AB，EN⊥AB交AB于点M、N， 则CD＝MB＝1.9m，EF＝BN＝0.9m， 设AM＝x m，则AN＝（x+1）m， 由题意得AC＝AE， 在Rt△AMC和Rt△ENA中：AC2＝CM2+AM2，AE2＝AN2+EN2， ∴CM2+AM2＝AN2+EN2， x2+42＝（x+1）2+32 解得x＝3， ∴AB＝AM+MN+BN＝4.9m． 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，DG⊥GB且DG＝10米，CG＝60米，CE⊥GB．（不考虑两人身高，点G、C、B在同一水平线上） （1）求小明与小亮之间的距离CD（结果保留根号）． （2）若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度AB为60米，AB⊥GB，求此时风筝A到小亮的距离AD． 【解答】解：（1）在Rt△CDG中，CD＝＝＝10（米）； （2）∵CE⊥GB，AB⊥GB， ∴∠BAC＝∠EAC＝45°， ∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°， ∴BC＝AB＝60米， ∴BG＝BC+CG＝120米， 过D作DH⊥AB于点H， ∵DG⊥GB，CE⊥GB， ∴四边形BHDG是矩形， ∴BH＝DG＝10米，DH＝BG＝120米， 在Rt△ADH中， AD＝＝＝130（米）． 16．为测量实验学校旗杆高度，数学兴趣小组进行了如下测验：某同学在与升旗台水平的地面移动，当旗杆顶部、观测者视力所在直线与水平线成60°时，停止移动．经测量，此时眼睛与旗杆BC距离为7.20米，升旗台台阶高AO为0.50米，眼睛到地面的距离CE为1.58米，请运用所学知识，计算学校旗杆AD的高度．（结果精确到0.1米，） 【解答】解：由题意得：∠BCD＝60°，CE＝OB＝1.58米，CB⊥AD， 在Rt△BCD中，BC＝7.20米， ∴BD＝BC•tan60°＝7.2≈12.47（米）， ∵AO＝0.50米， ∴AB＝BO﹣OA＝1.58﹣0.5＝1.08（米）， ∴AD＝AB+BD≈1.08+12.47≈13.6（米）， 答：学校旗杆高度约为13.6米． 题组四 勾股定理的应用--台风影响 17．如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意知：∠ACD＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝45°， ∴CD＝AD， 在Rt△ACD中， AC＝km， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， ∴2AD2＝（）2， 解得AD＝20km（负值已舍）， ∴CD＝20km， 在Rt△BCD中， BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km）， 由勾股定理，得BC＝＝＝52（km）， 答：B，C两岛的距离为52km； （2）会受影响， 以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F， 则EF＝2DE， 在Rt△CDE中， 由勾股定理，得DE＝＝＝15（km）， ∴EF＝30km， 30÷20＝1.5（h）， 答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h． 18．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心正以20km/h的速度沿BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 【解答】解：由题意得：AB＝100km，AD＝60km， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： BD＝＝＝80（km）． 80÷20＝4（小时）， 所以台风中心经过4小时从B点移到D点． 19．吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A、B的距离分别为180m和240m，AB＝300m，若吊车周围150m以内会受噪声影响． （1）求∠ACB的度数； （2）街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AC＝180m，BC＝240m，AB＝300m， ∴AC2+BC2＝1802+2402＝90000，AB2＝3002＝90000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）街道上的居民会受到噪声的影响， 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 由（1）得∠ACB＝90°， ∴， ∴， 解得：CD＝144m， ∵吊车周围150m以内会受到噪声的影响， ∴街道上的居民会受到噪声的影响． 当EC＝150m，FC＝150m时，此范围内的居民会受影响． ∴， ∴DF＝ED＝42m， 即会影响位于吊车垂直位置左右42m街道上的居民，即EF范围内的居民会受影响．（说法合理即可） 20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： （1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【解答】解：（1）A城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝320千米， ∴AD＝AB＝160千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：25×（13﹣5）＝200（千米）， ∵160千米＜200千米， ∴A城市会受到这次台风的影响； （2）如图2，以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F， 则AE＝AF＝200千米， ∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝2＝240（千米）， ∴台风影响该市的持续时间t＝240÷20＝12（小时）． 题组五 勾股定理的应用--大树折断 21．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，求旗杆原来的高度． 【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为＝13（m）， 所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18（m）． 故答案为：18m． 22．2022年第3号台风“暹芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【解答】解：如图，由题意得，BC+BA＝16米，AC＝8米，BC⊥AC， 由勾股定理得， BC2+AC2＝AB2， 即BC2+82＝（16﹣BC）2， 解得BC＝6， 即这棵树在离地面6米处被折断． 题组六 勾股定理的应用--梯子滑动 23．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救极任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AB＝CD＝25m），消防车车身高3.5m（即点A到地面EF的距离AH为3.5m），救人时云梯伸长至最长，在完成从18.5m（即BE＝18.5m）高的B处救人后，距要到点B的正上方5m（即BD＝5m）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离AC为多少米？（提示：延长AC交DE于点O，则AO⊥DE）． 【解答】解：如图，延长AC交DE于点O， 则AO⊥DE， ∵∠AOE＝∠E＝∠AHE＝90°， ∴四边形AOEH是矩形， ∴OE＝AH＝3.5m，AO＝EH， 在Rt△ABO中，AB＝25m，OB＝18.5﹣3.5＝15（m）， ∴， 在Rt△COD中，∠COD＝90°，CD＝25m，OD＝OB+BD＝15+5＝20（m）， ∴， ∴AC＝OA﹣OC＝5（m）， 答：AC为5m． 24．如图，走廊上有一梯子以45°的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为60°，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 【解答】解：在Rt△ABO中，∠ABO＝45°， 则OB＝OA， ∵AB＝4米， ∴OA2+OB2＝AB2＝16， ∴OB＝2（米）， 在Rt△CDO中，∠ADO＝60°， ∴∠DCO＝30°， ∴OD＝CD＝2（米）， ∴BD＝OB﹣OD＝（2﹣2）米， 答：行走的通道拓宽了（2﹣2）米． 25．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯AB斜靠在墙AO上，已知AO＝24米，云梯的长度比云梯底端到墙角距离长18米． （1）求云梯AB的长度； （2）现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离BD为多少米． 【解答】解：（1）设AB＝x米，则OB＝（x﹣18）米， 根据勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2， ∴242+（x﹣18）2＝x2， 解得：x＝25， ∴云梯AB的长度为25米． （2）根据题意可得：AC＝4米，AB＝CD＝25米，OB＝AB﹣18＝7（米）， ∴OC＝OA﹣AC＝20米， 根据勾股定理可得：（米）， ∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8（米）． 题组七 勾股定理的应用--同一物体不同位置 26．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，求底部边缘A处与E之间的距离AE的长． 【解答】解：在Rt△BCA中，AB2＝AC2+BC2＝242+72＝625（cm2）， ∴AB＝25cm， 在Rt△DEA中，AE2＝AD2﹣DE2＝252﹣202＝225（cm2）， ∴AE＝15cm， 答：底部边缘A处与E之间的距离AE的长为15cm． 27．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3米，顶端E距墙顶D的距离DE为2米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF． 求：（1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 【解答】解：（1）设墙高为x米，则BC＝（x﹣1）米，EF＝（x﹣2）米． 在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OB2＝BC2+OC2＝（x﹣1）2+22． 在Rt△OEF中，根据勾股定理，得OE2＝EF2+OF2＝（x﹣2）2+32． ∵OB＝OE， ∴OB2＝OE2，即（x﹣1）2+22＝（x﹣2）2+32． 解得：x＝4． 答：墙的高度为4米； （2）由（1）知，OB＝OE＝4，且OB2＝BC2+OC2， 所以OB2＝（x﹣1）2+22＝（4﹣1）2+22＝13． 所以OB＝13米． 答：竹竿的长度为13米． 28．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端距离墙顶的距离AB为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端距离墙顶的距离DE为1米，则墙的高度为多少米？ 【解答】解：设墙高为x米，则BC＝（x﹣0.6）米，EF＝（x﹣1）米． 在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OB2＝BC2+OC2＝（x﹣0.6）2+0.72． 在Rt△OEF中，根据勾股定理，得OE2＝EF2+OF2＝（x﹣1）2+1.52． ∵OB＝OE， ∴OB2＝OE2，即（x﹣0.6）2+0.72＝（x﹣1）2+1.5． 解得：x＝3． 答：墙的高度为3米． 题组八 勾股定理的应用--秋千 29．荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣1.1+0.5）m， ∴x2＝1.82+（x﹣0.6）2， 解得：x＝3， 答：绳索AD的长度是3m． 30．小颖与爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°，直线OA与地面交于一点F． （1）△OBD和△COE全等吗？请说明理由． （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小颖的？ （3）求秋千的起始位置A处与距地面的高度． 【解答】解：（1）△OBD≌△COE．理由如下： ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， ∵∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∴△COE≌△OBD（AAS）； （2）∵△COE≌△OBD， ∴CE＝OD，OE＝BD， ∵BD，CE分别为1.8m和2.4m， ∴OD＝2.4m，OE＝1.8m， ∴DE＝OD﹣OE＝2.4﹣1.8＝0.6（m）． ∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DF＝1.2m， ∴EF＝DF+DE＝1.8（m）． 答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小颖的； （3）∵OA＝OB＝＝＝3（m）， ∴AF＝OD+DF﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）． ∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m． 31．在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， （1）求高台A比矮台B高多少米？ （2）求旗杆的高度OM； （3）马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 【解答】解：（1）10﹣3＝7（米） （2）如图： 作AE⊥OM，BF⊥OM， ∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90° ∴∠AOE＝∠OBF 在△AOE和△OBF中，， ∴△AOE≌△OBF（AAS）， ∴OE＝BF，AE＝OF 即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m） ∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m）， ∴2EO+EF＝17， 则2×EO＝10， 所以OE＝5m，OF＝12m， 所以OM＝OF+FM＝15m （3））由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13， ∴MN＝15﹣13＝2（m）． 答：马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米． 题组九 勾股定理的应用--杯中筷子 32．如图，一根长18cm的牙刷放置于底面直径是5cm，高为12cm的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，求h的范围． 【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大， ∴h最大＝18﹣12＝6（cm）， 如图，当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 此时，AB＝＝＝13（cm）， 则h最小＝18﹣13＝5（cm）， ∴h的取值范围是5≤h≤6． 33．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 【解答】解：设水池里水的深度是x米，则芦苇长为（x+2）米， 由题意得，x2+82＝（x+2）2， 解得：x＝15， x+2＝17， 答：水池里水的深度是15米，芦苇长为17米． 34．有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？ 【解答】解：设水深AC为x尺，则芦苇AB长为（x+1）尺，AB'为（x+1）尺， 在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12． ∴x+1＝13， 答：水深12尺，芦苇长13尺． 题组十 勾股定理的应用--测速 35．根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．这辆小汽车超速了吗？ 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： BC＝＝40（m）， ∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 36．如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m． （1）求B，C间的距离． （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵AC＝60m，AB＝100m，且AB为斜边， ∴BC＝＝＝80（m）， 答：B，C间的距离为80m； （2）这辆小汽车没有超速．理由如下： ∵80÷5＝16（m/s）， 16m/s＝57.6km/h， ∵57.6＜70， ∴这辆小汽车没有超速． 37．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪A间距离为100米． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【解答】解：（1）根据题意可得：AC＝60m，AB＝100m，∠ACB＝90°， 根据勾股定理可得：； （2）80÷4＝20（m/s）， ∵20m/s＝72km/h＞70km/h， ∴辆小汽车超速了． 题组十一 勾股定理的应用--航行 38．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°， ∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°， ∵MN⊥AC， ∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE， ∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BE， ∴BE＝＝＝（海里）， ∴CE＝＝＝（海里）， ∴÷8＝（小时）＝96分， ∴9时30分+96分＝11时6分． 答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海． 39．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【解答】解：能， 理由：∵OA＝10×2＝20（海里），OB＝7.5×2＝15（海里）， ∵AB＝25（海里）， ∴202+152＝252，即OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°． ∵∠BOC＝45°， ∴∠AOC＝45°， 答：“中山”号沿西北方向航行． 40．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向上，若轮船不改变方向继续向前航行至何处时，距离小岛P最近？最近距离是多少海里？ 【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D， 依题意得：AB＝2×15＝30（海里），∠PAB＝15°，∠PBC＝30°， ∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°， ∴∠A＝∠APB＝15°， ∴PB＝AB＝30（海里）． 在Rt△PBD中，∠PBD＝30°， ∴PD＝PB＝15（海里）， ∴BD＝＝＝15（海里）， 答：若轮船不改变方向继续向前航行至距离B处15海里时，距离小岛P最近，最近距离是15海里． 41．如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 【解答】解：有触礁危险． 理由：过点P作PD⊥AC于D． 设PD为x，在Rt△PBD中， ∠PBD＝90°﹣45°＝45度． ∴BD＝PD＝x． 在Rt△PAD中， ∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝x， ∵AD＝AB+BD， ∴x＝6+x， ∴x＝， ∵3（+1）＜9， ∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险． 题组十二 勾股定理的应用--探测 42．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度． 【解答】解：∵AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，502+1202＝1302， ∴BD2+AD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°， ∴CD＝＝＝90（米）， ∴BC＝BD+CD＝50+90＝140（米）， 答：BC的长度为140米． 43．如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和AD，AB＝10千米，BD＝6千米，AD＝8千米． （1）公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； （2）通过无人机测得AC＝BC，求村庄A到县城C的直线距离AC的长． 【解答】解：（1）公路AD为村庄A到高速公路的最近路，理由如下： ∵82+62＝102， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∴公路AD为村庄A到高速公路的最近路； （2）设AC＝x千米，则CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD＝（x﹣6）千米， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2， 即x2＝82+（x﹣6）2， 解得：x＝， 即村庄A到县城C的直线距离AC的长为千米． 44．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由． 【解答】解： 作CF∥AB，交AD于F， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠DAB＝90°，∠CBA＝90°， ∵CF∥AB， ∴∠CFA＝∠CFD＝90°， ∴四边形ABCF为矩形， ∴FC＝AB＝50km，AF＝BC＝20km， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， 设AE＝x km，则BE＝（50﹣x）km， ∴＝， 解得：x＝20， ∴市场E应建在距A20千米处， ED＝EC＝＝10， ∵FC＝AB＝50km，∠CFD＝90°，DF＝AD﹣AF＝30﹣20＝10km， ∴CD＝＝10， ∵CD2＝2600， ED2＝1300， EC2＝1300， ∴CD2＝ED2+EC2， ∴△DEC是直角三角形， ∵ED＝EC， ∴△DEC是等腰直角三角形， 答：市场E应建在距A20千米处，△DEC是等腰直角三角形． 45．有一条东西走向的隧道AB．小明在点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进300米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上（点A、B、C、D在同一平面内）． （1）求点D与点A的距离（结果保留准确值）； （2）小明的朋友从端点A以每分钟60米的速度步行到端点B，请问他能否在15分钟内通过隧道AB？（≈1.41，≈2.45） 【解答】解：（1）∵∠ADC＝45°+45°＝90°，∠ACD＝45°+15°＝60°， ∴tan∠ACD＝＝， ∵CD＝300米， ∴AD＝300（米）， ∴点D与点A的距离是300米； （2）作DH⊥AB于H，小明的朋友在15分钟内不能通过隧道AB，理由如下： ∵△ADH是等腰直角三角形， ∴AD2＝AH2+DH2＝2AH2， ∴DH＝AH＝AD＝150（米）， ∵∠BHD＝90°，∠BDH＝60°， ∴BH＝DH＝450（米）， ∴AB＝BH+AH＝450+150≈450×1.41+150×2.45＝1002（米）， ∵小明的朋友从端点A以每分钟60米的速度步行，15分钟行走的路程是60×15＝900米，900＜1002． ∴小明的朋友在15分钟内不能通过隧道AB． 题组十三 勾股定理的应用--选址 46．如图，笔直的公路上A、B两点相距30km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝20km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ 【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等， ∴DE＝CE， ∵DA⊥AB，CB⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 设AE＝x km，则BE＝AB﹣AE＝（30﹣x）km， ∵DA＝20km，CB＝10km， ∴x2+202＝（30﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴AE＝10km， ∴收购站E应建在离A点10km处． 47．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． （1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 【解答】解：（1）村庄能听到宣传， 理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1700米， ∴村庄能听到宣传； （2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响， 则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米， ∴BP＝BQ＝＝600（米）， ∴PQ＝1200米， ∴影响村庄的时间为：1200÷200＝6（分钟）， ∴村庄总共能听到6分钟的宣传． 48．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等． 问：（1）在离A站多少km处？ （2）判定三角形DEC的形状． 【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴DE＝CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）， ∵DA＝15km，CB＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴AE＝10km； （2）△DEC是直角三角形，理由如下： ∵△DAE≌△EBC， ∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB， ∠DEA+∠D＝90°， ∴∠DEA+∠CEB＝90°， ∴∠DEC＝90°， 即△DEC是直角三角形． 49．如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB垂足分别为A、B，已知DA＝15km，CB＝10，现在要在铁路AB上修建一个物流中心E． （1）如果C、D两村庄到物流中心E的距离相等．那么物流中心E应修建在离A地多少千米处？在图中标出物流中心E的位置，并说明理由． （2）如果C、D两村庄到物流中心E的距离之和最短，那么物流中心E应修建在什么地方？在图中标出物流中心E的位置，并求出最短距离的平方． 【解答】解：（1）设CE＝xkm， ∵A、B两村到E站的距离相等，∴AE＝BE，即AE2＝BE2， 由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2， 解得：x＝10． 故E点应建在距C站10千米处； （2）作D点关于AB的对称点D′，连接D′C，再作D′F⊥BC于点F，此时DE+EC最短，即求出CD′的距离即可， ∵DA＝10km，CB＝15km，A、B两点相距25km， ∴FC＝25km，D′F＝25km， ∴D′C2＝FC2+D′F2＝625+625＝1250， ∴最短距离的平方是1250． 题组十四 勾股定理的应用--建设 50．塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”，用来吊施工用的钢筋、木楞、混凝土、钢管等施工的原材料．如图1是塔吊实物图，图2是塔吊示意图，线段BC，BD表示钢丝绳，AD表示起重臂，AB⊥AD，综合与实践小组向工人了解到如下信息：AB＝8米，BC＝17米，CD＝20米．求钢丝绳BD的长度（参考数值：）． 【解答】解：在Rt△ABC中，米， ∴AC+CD＝35米， 在Rt△ABD中，米， 答：钢丝绳BD的长度为36米． 51．如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝80m，CD＝80m，且∠ABC＝90°． （1）求∠DAB的度数； （2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m，求被监控到的道路长度为多少m？ 【解答】解：（1）连接AC， ∵AB＝BC＝AD＝80m，∠ABC＝90° ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝＝＝80（m），∠CAB＝45°， ∵CD＝80m， 在△ACD中，AD2+AC2＝802+（80）2＝（80）2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝90°+45°＝135°； （2）过点D作DE⊥AB于E，作点A关于DE的对称点F，连接DF， 由轴对称的性质，得：DF＝DA＝80m，AE＝EF， 由（1）知，∠BAD＝135°， ∴∠DAE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝DE＝AD＝40（m）， ∴AF＝2AE＝80（m）， ∴被监控到的道路长度为80m． 52．在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题： （1）求AE的长； （2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 【解答】解：（1）设AE＝x m，则BE＝AE＝x m，ED＝（1.6﹣x）m， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADE中，AD2+ED2＝AE2， 1.22+（1.6﹣x）2＝x2，解得． ∴AE的长为； （2）帐篷符合要求． 理由如下： 在Rt△ABD中，BD＝1.6m，AD＝1.2m， ∴， 在Rt△ADC中，AD＝1.2m，AC＝1.5m， ∴， ∴BC＝BD+CD＝2.5m， ∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°． ∴帐篷符合要求． 53．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米． （1）求公路CD、AD的长度； （2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米， ∴千米， ∵BD＝5千米， ∴CD＝7千米， ∴AD＝＝千米； （2）∵DH⊥AB， ∴S△ABD＝BD•AC＝AB•DH， 解得：DH＝3千米， ∴修建公路DH的费用为3×2＝6（万元）． 题组十五 勾股定理的应用--绳拉小船 54．如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长BC＝20m，CA⊥AB，且CA＝12m，拉动绳子将船从点B沿BA的方向拉到点D后，绳长CD＝12m，求船体移动的距离BD的长度． 【解答】解；在Rt△ABC中，BC＝20m，AC＝12m，∠BAC＝90°， ∴， 在Rt△ADC中，，∠DAC＝90°， ∴， ∴BD＝AB﹣AD＝4m， ∴船体移动的距离BD的长度为4m． 55．如图，张叔叔在距离河面高度为12m的C处，用长为20m的绳子拉点B处的船靠岸，若张叔叔收绳5m后，船到达D处，则船向岸边移动了多少米？ 【解答】解：∵开始时绳子BC的长为20m，张叔叔收绳5m后，船到达D处， ∴CD＝20﹣5＝15（m）， 由题意，得CA⊥AB， ∴∠CAB＝90°， 在Rt△CAD中，CD＝15m，AC＝12m， 在Rt△CAB中，BC＝20m，AC＝12m， ， ∴BD＝AB﹣AD＝16﹣9＝7（m）， ∴船向岸A移动了7m． 56．为营造节日气氛，现从楼顶A处拉一条彩带AC到地面点C处，已知彩带AC的长为10m，点C到楼房底部B的距离为6m，AB⊥BC． （1）求楼房的高度AB； （2）为使美观，现计划从楼顶A处再拉一条彩带AD到地面点D处，点D在BC的延长线上，CD＝9m，请求出彩带AD的长度． 【解答】解：（1）∵AB⊥BC，AC＝10m，BC＝6m， ∴（m）， ∴楼房的高度AB为8m； （2）由题可得BD＝BC+CD＝15（m）， ∴（m）， ∴彩带AD的长度为17m． 57．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）在（1）的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$