专题1.1 勾股定理的探索与判定【7大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.1 勾股定理的探索与判定【7大题型】（北师大版） 题组一 直角三角形的判定 1 题组二 运用勾股定理求线段长度 2 题组三 勾股树 3 题组四 弦图 5 题组五 垂美四边形 7 题组六 勾股定理的应用翻折问题 8 题组七 勾股数 10 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 直角三角形的判定 1．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝5，b＝12，c＝13 2．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　） A．a＝2，b＝4，c＝5 B． C． D．a＝5，b＝13，c＝14 3．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．b2﹣c2＝a2 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5 4．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是（　　） A．a2，b2，c2能组成三角形 B．3a，3b，3c能组成直角三角形 C．a+3，b+4，c+5能组成直角三角形 D．3a，4b，5c能组成直角三角形 5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，3，4 6．已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（　　） A．15 B．16 C．17 D．25 题组二 运用勾股定理求线段长度 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD是∠ABC的角平分线，则CD的长为（　　） A． B． C． D．2 8．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD上一点，且∠DEA＝36°，∠CEB＝54°，AE＝2，AB＝4，则BE＝（　　） A．3 B． C．4 D． 10．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，，则BC边上的高为（　　） A．6 B．8 C．10 D．7 11．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 题组三 勾股树 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，则S2的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 13．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 14．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，则正方形C的面积为（　　） A．12 B．18 C．10 D．20 15．如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 16．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（　　） A．2025 B．2024 C．22023 D．22021﹣1 题组四 弦图 17．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 18．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 19．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是（　　） A．7 B．2 C． D．7 20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝12，则S2的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为13，则AB的长为（　　） A．5 B． C． D． 题组五 垂美四边形 22．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，若BD＝BC，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 23．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC、BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．18 C．16 D．1 24．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 25．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝3，BD＝6，BC＝1，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D． 26．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　） A．40 B．38 C．36 D．32 题组六 勾股定理的应用翻折问题 27．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上．将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF．则AF的长为（　　） A．2 B． C． D． 28．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 29．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．6.5 D．10 30．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B′落在CD边上，点A的对应点为A′，过点E作EG⊥BC于点G，当矩形ABGE也是黄金矩形（AE＜AB）时，则＝（　　） A． B． C． D． 31．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使得点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若BP：PC＝1：3，则折痕EH的长为（　　） A． B． C．3 D． 32．如图，在Rt△OAB中，OA＝8，C为线段AB上一点，且AC＝1，BC＝4，将△OAC沿OC翻折，点A落在点D处，延长CD至点E，连接OE，且∠COE＝45°，则DE的值是（　　） A． B． C． D．5 33．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 34．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在CD边上，且DE＝2．将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FCG＝．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题组七 勾股数 35．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若a，b，c（a＜b＜c）是一组勾股数，n为正整数． （1）当b＝n+7，c＝n+8时，请用含n的代数式表示a2，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； （2）当b＝2n2+2n，c＝b+1时，用含n的代数式表示a2，再完成下列勾股数表． a b c 　 　 40 41 11 60 　 　 36．阅读材料： 勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 3×4 12﹣3＝9 5，12，13 30 5×6 30﹣5＝25 7，24，25 56 7×8 56﹣7＝49 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：　 　． … 回答问题： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：　 　； （2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，　 　，　 　）； （3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 37．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数． 如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数． （1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由； （2）当n是大于1的奇数时，若，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示） 38．材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3、4、5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5、12、13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8、15、17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 39．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： （ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；① 或 （ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： （x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③ 如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2． 于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是 　 　； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值； （3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为 　 　，　 　（分别用含p的代数式表示）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 勾股定理的探索与判定【7大题型】（北师大新版） 题组一 直角三角形的判定 1 题组二 运用勾股定理求线段长度 4 题组三 勾股树 8 题组四 弦图 12 题组五 垂美四边形 16 题组六 勾股定理的应用翻折问题 19 题组七 勾股数 27 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 直角三角形的判定 1．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝5，b＝12，c＝13 【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C， ∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵52+122＝132， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　） A．a＝2，b＝4，c＝5 B． C． D．a＝5，b＝13，c＝14 【解答】解：A、∵a2+b2＝22+42＝20，c2＝52＝25， ∴a2+b2≠c2， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴a2+b2≠c2， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，b2＝42＝16， ∴a2+c2＝b2， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故C符合题意； D、∵a2+b2＝52+132＝194，c2＝142＝196， ∴a2+b2≠c2， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 3．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．b2﹣c2＝a2 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5 【解答】解：A、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠B+∠C＝2∠B＝180°，∴∠B＝90°，故是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵b2﹣c2＝a2，∴a2+c2＝b2，故是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是（　　） A．a2，b2，c2能组成三角形 B．3a，3b，3c能组成直角三角形 C．a+3，b+4，c+5能组成直角三角形 D．3a，4b，5c能组成直角三角形 【解答】解：∵a，b，c是直角三角形的三条边， ∴3a，3b，3c能组成直角三角形，a2，b2，c2不一定能组成三角形，其他情况都不能得到直角三角形， 故选：B． 5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，3，4 【解答】解：A、1+1＝2，不能构成三角形，不符题意； B、1+2＝3，不能构成三角形，不符题意； C、32+42＝52，能组成直角三角形，符合题意； D、32+22≠42，不能构成直角三角形，不符题意； 故选：C． 6．已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（　　） A．15 B．16 C．17 D．25 【解答】解：∵直角三角形两直角边的长分别为9，12， ∴斜边长为， 故选：A． 题组二 运用勾股定理求线段长度 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD是∠ABC的角平分线，则CD的长为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD， ∵BD＝BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝3， 在Rt△ABC 中，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得： ， ∴AE＝AB﹣BE＝2， 设DE＝CD＝x，则AD＝4﹣x， 在Rt△ADE 中，DE2+AE2＝AD2， ∴（4﹣x）2＝22+x2， 解得：， 即． 故选：B． 8．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长BA至F，使AF＝BC，连接DF， ∵四边形ABCD中，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°， ∴∠BAD+∠C＝180°， ∵∠BAD+∠DAF＝180°， ∴∠DAF＝∠C， 又∵AD＝CD，AF＝BC， ∴△DAF≌△DCB，（SAS）， ∴DB＝DF，∠ADF＝∠CDB，AF＝BC， ∴△DBF为等腰三角形，∠FDB＝∠ADC， ∵∠ADC＝120°，BC＝2， ∴∠FDB＝120°，AF＝2， ∴∠DBF＝30°， 过D作DH⊥BF，垂足为H， ∵AB＝5， ∴BF＝AB+AF＝7， ∴BH＝， 在Rt△BDH中，∠DBF＝30°， ∴HD＝BD， ∴HD2+BH2＝BD2， ∴， ∴BD＝． 故选：A． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD上一点，且∠DEA＝36°，∠CEB＝54°，AE＝2，AB＝4，则BE＝（　　） A．3 B． C．4 D． 【解答】解：∵∠DEA＝36°，∠CEB＝54°， ∴∠AEB＝180°﹣36°﹣54°＝90°， ∵AE＝2，AB＝4， ∴BE＝＝2． 故选：B． 10．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，，则BC边上的高为（　　） A．6 B．8 C．10 D．7 【解答】解：如图，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D， 在Rt△ADB与Rt△ADC中，分别由勾股定理得， AD2+BD2＝AB2，AD2+CD2＝AC2， 设AD＝x，BD＝y， 则， 解得， ∴BC边上的高AD长为6， 故选：A． 11．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：延长AE交BC的延长线于点F， ∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BF， ∴∠DAE＝∠F， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， 在△DAE和△BFE中， ， ∴△DAE≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AD＝6，AE＝FE， ∵AD＝2BC＝6， ∴BC＝3， ∵AB：BC＝5：3， ∴AB＝5， ∵∠ACB＝90°， ∴，∠ACF＝90°， 在Rt△ACF中，由勾股定理得， ∴AE＝FE＝， 故选：B． 题组三 勾股树 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，则S2的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2＝AB2﹣AC2， ∵分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3， ∴AB2＝10，AC2＝3， ∴BC2＝10﹣3＝7， 即S2的值是7， 故选：C． 13．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2． 如图，连接BD， 在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即a+d＝b+c， ∵a＝2，b+c＝12， d＝12﹣2＝10． 故选：B． 14．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，则正方形C的面积为（　　） A．12 B．18 C．10 D．20 【解答】解：如图， 由题意可知，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， 根据勾股定理和正方形的性质得：SA+SB＝SE＝SD﹣SC， ∵正方形A、B、D的面积依次为5、13、30， ∴5+13＝30﹣SC， ∴SC＝12， 即正方形C的面积为12． 故选：A． 15．如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50， ......， ∴图6中所有正方形的面积为5×25+50＝175， 故选：B． 16．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（　　） A．2025 B．2024 C．22023 D．22021﹣1 【解答】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025． 故选：A． 题组四 弦图 17．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 由题意得，AB＝AD＝3，DE＝EF＝AC，BC＝AE， 设AC＝a， 在Rt△ACE中，∠CEA＝30°， ∴AE＝＝BC，即＝a+3， 解得：a＝， ∴AC＝， ∵S△CEF＝﹣＝＝＝＝＝， ∴阴影部分的面积为4S△CEF＝． 故选：D． 18．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 19．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是（　　） A．7 B．2 C． D．7 【解答】解：∵AE＝5，AB＝13， ∴BE＝＝12， ∴小正方形的面积为：132﹣4××5×12＝49， 由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍， ∴EF2的值是49×2＝98， ∴EF的值是7， 故选：D． 20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝12，则S2的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝12， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝12，故3x+12y＝12， x+4y＝4， 所以S2＝x+4y＝4， 故选：B． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为13，则AB的长为（　　） A．5 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABGF是正方形， ∴AB＝AF，∠BAN＝∠F＝90°， ∴∠MAF+∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABN+∠BAC＝90°， ∴∠ABN＝∠MAF， ∵AB＝AF，∠BAN＝∠F， ∴△BAN≌△AFM（ASA）， ∴△BAN的面积＝△AFM的面积， ∴四边形FNCM的面积＝△ABC的面积， ∴空白部分的面积＝正方形ABGF的面积﹣2×△ABC的面积， ∴AB2﹣2×AC•BC＝13①， ∵AC+BC＝7， ∴（AC+BC）2＝72， ∴AC2+BC2+2AC•BC＝49， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2+2AC•BC＝49②， 由①和②得AB2＝25， ∴AB＝5（舍去负值）． 故选：A． 题组五 垂美四边形 22．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，若BD＝BC，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°， ∴四边形ABCD四点共圆， 取AC的中点O，然后以OA长为半径画圆，作BE⊥CD交CD于点E，如图所示， ∵AD＝6，CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD＝BC， ∴AC＝＝10，BE垂直平分CD， ∴OB＝OC＝OA＝5，CE＝4， ∴OE＝＝3， ∴BE＝OB+OE＝8， ∴BC＝＝＝4， 故选：A． 23．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC、BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．18 C．16 D．1 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝（OA2+OD2）+（OB2+OC2）＝AD2+BC2＝22+42＝20， 故答案为：A． 24．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得， AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2 ＝AD2+BC2 ＝22+72 ＝53， 故选：D． 25．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝3，BD＝6，BC＝1，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D． 【解答】解：过C作CF∥BD交AD的延长线于点F． 又BC∥AD， ∴四边形BCED为平行四边形． ∴DE＝BC＝1，CE＝BD＝6． ∵AC⊥BD，BD∥CE， ∴AC⊥CE． ∴AE2＝AC2+CE2． ∴AE＝＝＝3． ∴AD＝AE﹣DE＝3﹣1． 故选：D． 26．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　） A．40 B．38 C．36 D．32 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°， ∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝36， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40， 故选：A． 题组六 勾股定理的应用翻折问题 27．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上．将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF．则AF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：根据折叠的性质可得，∠C＝∠E，CP＝PE，CD＝DE， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3， ∴∠C＝∠B＝90°， ∴∠E＝∠B＝90°， 在△OEF和△OBP中， ， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE＝OB，PB＝EF， ∴PE＝OP+OE＝OF+OB＝BF， 设AF＝x，则BF＝AB﹣AF＝4﹣x， ∴CP＝PE＝BF＝4﹣x， ∴PB＝EF＝BC﹣CP＝x﹣1， ∴DF＝DE﹣EF＝5﹣x， 在Rt△ADF中，由勾股定理得DF2＝AF2+AD2， 即（5﹣x）2＝x2+32， 解得：x＝， ∴AF＝． 故选：B． 28．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成， ∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， ∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′， ∴∠ABE＝∠C′DE， 在Rt△ABE与Rt△C′DE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA）， ∴BE＝DE＝x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴DE的长为5． 故选：C． 29．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．6.5 D．10 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝8， ∴AD＝BC＝8，∠B＝90°， 根据折叠的性质可得，AB＝AF，BE＝EF＝3，∠B＝∠AFE＝90°， ∴CE＝BC﹣BE＝5，∠CFE＝90°， 在Rt△CEF中，CF＝＝＝4， 设AB＝AF＝x，则AC＝AF+CF＝x+4， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴AB＝6． 故选：A． 30．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B′落在CD边上，点A的对应点为A′，过点E作EG⊥BC于点G，当矩形ABGE也是黄金矩形（AE＜AB）时，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，连接BE，B'E， 设BC＝1， ∵矩形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），矩形ABGE也是黄金矩形（AE＜AB）， ∴AB＝＝，AE＝×＝， ∴DE＝AD﹣AE＝1﹣＝， ∴DE＝AB， 由折叠可得，BE＝B'E， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D， ∴Rt△ABE≌Rt△DEB'（HL）， ∴B'D＝AE＝， ∴B'C＝CD﹣B'D＝﹣2， 设BF＝B'F＝x，则CF＝1﹣x， Rt△FCB'中，CF2+B'C2＝B'F2， 即（1﹣x）2+（﹣2）2＝x2， 解得x＝5﹣2， ∴＝5﹣2， 故选：D． 31．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使得点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若BP：PC＝1：3，则折痕EH的长为（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：如图，过点H作HQ⊥AB于点Q，则四边形BCHQ是矩形， ∵将纸片折叠，使点A落在边DC的延长线上的点F处， ∴AE＝EF，∠AEH＝∠FEH， ∵AB∥CD， ∴∠FHE＝∠AEH，△EBP∽△FCP， ∴∠FEH＝∠FHE， ∴FH＝EF， ∵BP：PC＝1：3， ∴BP＝BC＝，， 设BE＝x，则FH＝EF＝AE＝6﹣x， ∴PE＝＝， 在Rt△EBP中，由勾股定理得： ， 解得：x1＝1，（舍去）， ∴BE＝1，CF＝3BE＝3，HF＝6﹣x＝5， ∴QB＝CH＝HF﹣CF＝2， ∴QE＝QB﹣BE＝1， ∴HE＝＝， 故选：B． 32．如图，在Rt△OAB中，OA＝8，C为线段AB上一点，且AC＝1，BC＝4，将△OAC沿OC翻折，点A落在点D处，延长CD至点E，连接OE，且∠COE＝45°，则DE的值是（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：如图，过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，过点O作OT⊥QE交QE的延长线于点T， 则∠T＝∠Q＝∠A＝90°， ∴四边形AOTQ是矩形， ∴∠AOT＝90°， ∵∠COE＝45°， ∴∠AOC+∠EOT＝45°，∠DOC+∠EOD＝45°， 由折叠可知，∠AOC＝∠DOC，∠A＝∠ODC＝90°，OA＝OD，AC＝CD＝1， ∴∠EOD＝∠EOT，∠ODE＝90°＝∠OTE， 在△OTE和△ODE中， ， ∴△OTE≌△ODE（AAS）， ∴OA＝OT，TE＝DE， ∴OT＝OA， ∴四边形AOTQ是正方形， ∴AO＝TQ＝AQ＝8， 设TE＝DE＝x， ∴EQ＝TQ﹣TE＝8﹣x，CE＝DE+CD＝x+1，CQ＝AQ﹣AC＝8﹣1＝7， 在Rt△CEQ中，CQ2+EQ2＝CE2， ∴72+（8﹣x）2＝（x+1）2， 解得：x＝， ∴DE＝． 故选：B． 33．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2． 解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）． 故选：C． 34．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在CD边上，且DE＝2．将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FCG＝．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝6， ∴∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∵将△ADE沿AE折叠至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF＝2，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠AFG＝90°， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确； ∴BG＝FG， 设BG＝FG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x， ∵DE＝EF＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝6﹣2＝4， EG＝FG+EF＝x+2， 在Rt△CEG中，CG2+CE2＝EG2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得：x＝3， ∴BG＝FG＝CG＝3，故②正确； ∴∠GCF＝∠GFC， ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB＝∠AGF， ∴∠BGF＝2∠AGB， ∵∠BGF＝∠GCF+∠GFC，即∠BGF＝2∠GCF， ∴∠AGB＝∠GCF， ∴AG∥CF，故③正确； 如图，过点C作CH⊥EG于点H， ∵BG＝FG＝CG＝3，DE＝EF＝2， ∴EG＝5， ∵， ∴CG•CE＝EG•CH，即3×4＝5וCH， ∴CH＝， ∴S△CFG＝＝＝，故④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故选：D． 题组七 勾股数 35．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若a，b，c（a＜b＜c）是一组勾股数，n为正整数． （1）当b＝n+7，c＝n+8时，请用含n的代数式表示a2，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； （2）当b＝2n2+2n，c＝b+1时，用含n的代数式表示a2，再完成下列勾股数表． a b c 　9　 40 41 11 60 　61　 【解答】解：（1）a2＝c2﹣b2， 把b＝n+7，c＝n+8代入a2＝c2﹣b2中， 得a2＝（n+8）2﹣（n+7）2＝（n+8+n+7）（n+8﹣n﹣7）＝2n+15， ∵n为正整数， ∴当n＝5时，满足题意的最小整数； （2）a2＝c2﹣b2＝（b+1）2﹣b2＝2b+1＝4n2+4n+1＝（2n+1）2， b＝40，c＝41，， a＝11，b＝60，， 补全勾股数表如下： a b c 9 40 41 11 60 61 36．阅读材料： 勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 3×4 12﹣3＝9 5，12，13 30 5×6 30﹣5＝25 7，24，25 56 7×8 56﹣7＝49 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：　最小的勾股数是奇数，另外两个勾股数是两个连续的正整数　． … 回答问题： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：　勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积（答案不唯一）　； （2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，　　，　　）； （3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【解答】解：特点2：最小的勾股数是奇数，另外两个勾股数是两个连续的正整数； （1）上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； （2）∵n为最小的勾股数， ∴勾股数组的和为n（n+1）＝n2+n， ∴勾股数组的和与最小数的差为n2+n﹣n＝n2， ∴股为，弦为， ∴勾股数组可以表示为， 故答案为：，； （3）证明： ＝ ＝ ＝ ＝， 即是勾股数组． 37．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数． 如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数． （1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由； （2）当n是大于1的奇数时，若，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示） 【解答】解：（1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数， 理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2 ＝4n2+n4﹣2n2+1 ＝n4+2n2+1 ＝（n2+1）2， ∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数； （2）∵，x是勾股数，且x＞n，x＞， ∴x2＝n2+（）2 ＝n2+ ＝ ＝， ∴x＝． 38．材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3、4、5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5、12、13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8、15、17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【解答】解：（1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8、15、17是为勾股数． （2）∵72+242＝252 ∴该三角形是直角三角形 ∴其面积＝×7×24＝84． （3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24； 当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2． 故其周长为24或14+2． 39．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： （ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；① 或 （ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： （x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③ 如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2． 于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是 　3，4，5　； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值； （3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为 　2p+3　，　2p2+6p+4　（分别用含p的代数式表示）． 【解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4， ∴该组勾股数是3，4，5， 故答案为：3，4，5； （2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0， ∴m2+n2＞m2﹣n2， ∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0， ∴m2+n2＞2mn， ∴最大的数为m2+n2， ①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72， 解得m＝6或m＝﹣6（舍去）， 又∵m﹣n＝1， ∴n＝5； ②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72， 解得m+n＝（舍去）， 综上所述，m＝6，n＝5； （3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2， 令m＝p+2，n＝p+1，则 m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4， ∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4， 故答案为：2p+3，2p2+6p+4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$