1.1探索勾股定理 课时作业2024-2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理 课时作业 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．10，15，18 C． D．0.3，0.4，0.5 2．对于下列说法： （1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等； （2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线； （3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点； （4）直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列是勾股数的一组数是  （     ） A．7  12  13 B．2  15  17 C．9  12  15 D．3  4  7 4．一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为3和5，则另一条直角边的长为（    ） A． B． C．4 D．4或 5．下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．10，8，6 B．，， C．，， D．10，15， 6．下面四组数中是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，11，12 D．10，20，26 7．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（　　） A．8 B．10 C．15 D．17 8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在BC边上，将△ADC沿着AD折叠，点C恰好落到AB边上，则折痕AD的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=（　　） A．2013 B．2012 C． D． 10．如图，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，CD=2，点E在边AB，且AD=AE，BE=BC，则AE•BE的值为（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 11．已知直角三角形的两边长为，，则第三边长为 ． 12．若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 ． 13．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为点N，连接，则的长为 ． 14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上. （1）的大小为 （度）； （2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 15．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）． （1）在图1中，画出一个非特殊的平行四边形，使其周长为整数． （2）在图2中，画出一个特殊平行四边形，使其面积为6且对角线交点在格点上． 注：图1，图2在答题纸上． 17．在中，，，，． （1）已知，，求； （2）若，，求． 18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10.求CE的长度． 19．如图，已知中，，点D在线上，将沿着折叠，点C恰好落在边的点E. (1)求的长. (2)P为平面内，外部的一点，且满足与全等，求点P到直线的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年1月17日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B D B C B 1．A 【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据“满足勾股定理且为正整数的数，叫做勾股数”，即可求解． 【详解】解：A、是勾股数，故本选项符合题意； B、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； D、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】根据轴对称与对称轴的性质，以及勾股定理的概念依次分析各小题即可作出判断． 【详解】（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，故（1）是正确的； （2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，故（2）是不正确的； （3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点且垂直该线段的直线的对称点，故（3）是不正确的； （4）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故（4）是不正确的； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与对称轴，勾股定理的概念，解题的关键是熟练掌握平面图形的基本概念． 3．C 【分析】依次求出每个选项中两个小数的平方和，再求出大数的平方，看看是否相等． 【详解】解：，故A选项不正确； ，故B选项不正确； ，故C选项正确； ，故D选项不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的应用．如果三个正整数a，b，c满足，则这组数称为勾股数．掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 4．C 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意，利用勾股定理列式即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为3和5， 由勾股定理可得另一条直角边的长为， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是掌握两数平方和等于第三个数平方的三个正整数是勾股数． 根据勾股数的定义“满足 的三个正整数，a、b、c称为勾股数”逐项判断即可． 【详解】A．，所以本组是一组勾股数，本选项符合题意； B．，因此，，不是一组勾股数，本选项不符合题意； C．，，都不是正整数，不是一组勾股数，本选项不符合题意； D．不是正整数，因此10，15，不是一组勾股数，本选项不符合题意； 故选：A． 6．B 【详解】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答可得： A、42+52≠62，不能构成勾股数，故错误； B、62+82=102能构成勾股数，故正确误； C、52+112≠122不能构成勾股数，故错误； D、102+202≠262不能构成勾股数，故错误； 故选B． 7．D 【分析】设直角三角形的斜边长为x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案． 【详解】设直角三角形的斜边长为x， 由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2， 解得，x＝17， 故选D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 8．B 【分析】由折叠得CD=MD，△DMB是Rt△BDM，AC=AM．那么，根据勾股定理，求得CD=DM=6．在△ACD中，根据勾股定理，求得AD=． 【详解】解：如图，将经折叠落在AB上的C点记作M． 由题意得：AM=AC=6，∠ACB=∠AMD=90°，CD=MD． ∴∠DMB=90°，BD=CB-CD=CB-DM=8-DM． 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴AB=＝10． ∴MB=AB-AM=10-6=4． 在Rt△BDM中，∠DMB=90°， ∴BD2=DM2+MB2． ∴（8-DM）2=DM2+42． ∴DM=3． ∴CD=DM=3． 在△ACD中，∠ACD=90°， ∴AD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理、图形翻折的性质以及实数的运算，熟练掌握勾股定理、图形翻折的性质以及实数运算是解题关键． 9．C 【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长． 【详解】由勾股定理得：OP4=， ∵OP1=；得OP2；OP3=2； 依此类推可得OPn=， ∴OP2012， 故选C 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律． 10．B 【分析】过A作AF⊥BC于F，推出四边形AFCD是矩形，得到AF=CD=2，CF=AD，设AD=AE=x，BE=BC=y，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过A作AF⊥BC于F， ∵∠D=∠C=90°， ∴四边形AFCD是矩形， ∴AF=CD=2，CF=AD， 设AD=AE=x，BE=BC=y， ∴AB=x+y，BF=y-x， ∵AB2=AF2+BF2， ∴（x+y）2=（y-x）2+22， ∴xy=1， ∴AE•BE=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．或 【分析】 由勾股定理求出直角三角形的斜边长，即第三边长即可．不过需要对斜边是否是进行分类讨论． 【详解】 解：设第三边长度为， 当是斜边时，由勾股定理得：． 当为直角边时，由勾股定理得：． 综上所述，第三边长为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 12．或． 【分析】利用非负数的性质求出，再分情况求解即可． 【详解】， ∴， ， ①当是直角边时， 则该直角三角形的斜边， ②当是斜边时，则斜边为， 故答案为或． 【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．13 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特点可得的坐标，再根据勾股定理计算即可．本题考查了关于轴对称的点的坐标以及勾股定理，掌握勾股定理是解答本题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点为点，则点的坐标为， ． 故答案为：13． 14． ； 见解析 【详解】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求. 详解：（1）∵每个小正方形的边长为1， ∴AC=，BC=，AB=, ∵ ∴ ∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90° 故答案为90； （2）如图，即为所求. 点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题. 15． 【分析】根据动点最值问题-将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点，结合两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：由题可知①分析端点：中是动点，是定点， ②动点轨迹：在直线， ③确定模型：将军饮马模型，作关于动点轨迹直线的对称点，连接，则，如图所示： ， ④确定线段：由③可知，利用两点之间线段最短，当三点共线时，的最小值为， ⑤求定线长：，， ， 在中，，，利用勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题解法步骤，尤其是模型的识别及确定最值方法是解决问题的关键． 16．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）利用勾股定理得出符合题意的四边形； （2）利用平行四边形的面积求法得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图1，平行四边形ABCD即为所求            图1 （2）如图2，菱形ABCD即为所求            图2 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理确定线段长度，正确借助网格得出是解题关键． 17．（1）25；（2）5 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1） （2） ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 18．CE的长为4或6. 【分析】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度． 【详解】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足， 延长DM到G，使MG=CE，连接BG， 易知四边形BCDM是正方形， 则△BEC与△BGM中， ， ∴△BEC≌△BMG（SAS）， ∴∠MBG=∠CBE，BE=BG， ∵∠ABE=45°， ∴∠CBE+∠ABM=∠MBG+∠ABM=45°， 即∠ABE=∠ABG=45°， 在△ABE与△ABG中， ， ∴△ABE≌△ABG（SAS）， ∴AG=AE=10， 设CE=x，则AM=10-x， AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x， 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2， ∴100=（x+2）2+（12-x）2， 即x2-10x+24=0； 解得：x1=4，x2=6． 故CE的长为4或6． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求△ABE≌△ABG即AG=AE=10是解题的关键． 19．(1)3； (2)点P到直线的距离为6或. 【分析】（1）由折叠可得：，根据勾股定理可求的长； （2）分和两种情况讨论，根据全等三角形的性质可求点P到直线的距离. 【详解】(1)如图，在中， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ， ∴， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即的长为3； (2)若， 如图：过点P作于点F，连接交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 若， 如图：过点P作于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 综上所述：点P到直线的距离为6或. 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握“折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等”是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$