专题1.4 勾股定理的应用-翻折问题【7大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.4 勾股定理的应用--翻折问题【7大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--基础翻折 1 题组二 勾股定理的应用--特殊角翻折 3 题组三 勾股定理的应用--全等翻折 4 题组四 勾股定理的应用--角平分线+平行线翻折 6 题组五 勾股定理的应用--相似翻折 7 题组六 勾股定理的应用--斜中半翻折 9 题组七 勾股定理的应用--半角模型翻折 10 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--基础翻折 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．3 2．如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，若点F恰好落在AB上，AB＝10，BC＝6，则AE＝（　　） A． B． C．4 D．5 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．2 4．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　） A．1 B． C． D．3 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝8、AD＝10，点E为DC边上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在矩形ABCD中，△ADE沿AE折叠交BC于F，AD＝10，∠DAE＝15°，则CD长为（　　） A．5 B．4 C． D．6 题组二 勾股定理的应用--特殊角翻折 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝10，点D在边AC上，AB＝BD，将△BCD沿BD折叠，BC的对应边为BE，连接AE．则AE的长为（　　） A．5 B．2 C． D． 8．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若∠EDF＝30°，则长方形纸片的长宽比为（　　） A．2：1 B．：1 C．：1 D．2： 9．如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，将该纸片翻折使点A落在CD边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（　　） A．2 B．2﹣1 C．2.8 D．2.2 10．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB：BC＝2：1，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE．若AB的长为4，则EF的长为（　　） A．8﹣4 B． C． D． 题组三 勾股定理的应用--全等翻折 11．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接FG，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D． 12．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且点B，F，E三点共线，若DE＝3，CD＝7，则BF＝（　　） A． B．5 C． D． 13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝16，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则四边形CDEF的周长为（　　） A．40 B．43 C．48 D．53 14．如图，矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为（　　） A． B．2 C． D．2 15．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则CP的长为（　　） A． B． C． D． 题组四 勾股定理的应用--角平分线+平行线翻折 16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16，FH＝2HD，则折痕EF的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　） A． B． C． D． 18．如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（　　） A． B． C． D．1 19．如图，在▱ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题组五 勾股定理的应用--相似翻折 20．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使得点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若BP：PC＝1：3，则折痕EH的长为（　　） A． B． C．3 D． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E是AB上一个动点，F是AD上一点（点F不与点D重合），连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A的对应点A′落在边CD上，连接EC，若A′E＝CE，则△A′DF的面积为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点D′处．过AC的中点O作OE∥BC交AD′于点E．若AB＝8cm，BC＝6cm，则OE的长为（　　） A． B．4 C． D．5 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝7，M、N分别为边CD，AB上的点，将四边形ADMN沿MN翻折至四边形EFMN，点E落在BC边上，且BE＝3，则DM的长为（　　） A． B． C． D． 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝16，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝6，CF＝3，将矩形沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，延长ED'交BC于点G．当A、D'、C'三点共线时，D'G的长为（　　） A．2 B．1 C． D． 25．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．16 题组六 勾股定理的应用--斜中半翻折 26．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A．8 B． C． D． 27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（　　） A． B． C． D． 28．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝7，AE＝3，∠AEM＝35°，∠DEN＝10°，现将纸片分别沿着EM、EN折叠，点A落在点F，点D落在点G，连接FG，点O为线段FG的中点，则EO的长是（　　） A．2.5 B．2.4 C． D．5 29．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E是AD的中点，连接CE，将△DCE沿直线CE折叠，使点D落在点F处，则线段AF的长度是（　　） A． B． C．1 D． 30．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝10，E是为BC中点，连接AE，BD，把△ABE沿着AE翻折，得到△AB′E，则点B′到BD的距离为（　　） A．2 B．4 C．3 D． 题组七 勾股定理的应用--半角模型翻折 31．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 32．如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 33．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 34．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△GCE＝6．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 35．如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点．将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交CD边于点G，连接AG，CF．下列结论：①AE∥FC；②△ADG≌△AFG；③CG＝2DG；④S△CEF＝S正方形ABCD．其中正确的有（　　） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 勾股定理的应用--翻折问题【7大题型】（北师大新版） 题组一 勾股定理的应用--基础翻折 1 题组二 勾股定理的应用--特殊角翻折 5 题组三 勾股定理的应用--全等翻折 9 题组四 勾股定理的应用--角平分线+平行线翻折 14 题组五 勾股定理的应用--相似翻折 18 题组六 勾股定理的应用--斜中半翻折 25 题组七 勾股定理的应用--半角模型翻折 30 ( 知识导航 ) 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系: 若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 题组一 勾股定理的应用--基础翻折 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，BC＝6， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝6，∠D＝90°， ∵沿AE翻折△ABE， ∴AF＝AB＝10，EF＝BE， 在Rt△ADF中，由勾股定理可得： DF＝＝＝8， ∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则 EF＝BE＝6﹣x， 在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2， 即22+x2＝（6﹣x）2， 解得：x＝， ∴CE的长为， 故选：B． 2．如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，若点F恰好落在AB上，AB＝10，BC＝6，则AE＝（　　） A． B． C．4 D．5 【解答】解：∵在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE， ∴AD＝BC＝6，CD＝CF＝AB＝10，DE＝EF，∠A＝∠B＝90°， ∴， ∴AF＝AB﹣BF＝2， 设AE＝x，则EF＝DE＝6﹣x， 由勾股定理，得：EF2＝AE2+AF2，即：（6﹣x）2＝x2+22， 解得：； ∴； 故选：A． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝5，AD＝3， ∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠A＝∠B＝90°， 根据折叠的性质可知，CD＝DF＝5，CE＝EF， 在Rt△ADF中，AF＝＝＝4， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1， 设CE＝EF＝x，则BE＝BC﹣BE＝3﹣x， 在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2， ∴12+（3﹣x）2＝x2， 解得：x＝， ∴CE＝． 故选：A． 4．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　） A．1 B． C． D．3 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴DC＝3， ∴AC＝＝＝5， 根据折叠可得：D'C＝DC＝3，DE＝D'E， 设ED＝x，则D'E＝x，AD'＝AC﹣CD'＝2，AE＝4﹣x， 在Rt△AED'中：（AD'）2+（ED'）2＝AE2， 22+x2＝（4﹣x）2， 解得：x＝， 故选：C． 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝8、AD＝10，点E为DC边上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵AB＝8，BC＝10， ∴DC＝8，AD＝10， 又∵将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， ∴AF＝AD＝10，DE＝EF， 在Rt△ABF中，AB＝8，AF＝10， ∴BF＝＝6， ∴FC＝10﹣6＝4， 设DE＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x， 在Rt△CEF中，EF2＝FC2+EC2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5， 即DE的长为5． 故选：C． 6．如图，在矩形ABCD中，△ADE沿AE折叠交BC于F，AD＝10，∠DAE＝15°，则CD长为（　　） A．5 B．4 C． D．6 【解答】解：∵将△ADE沿AE折叠交BC于F， ∴∠DAE＝∠EAF＝15°，AD＝AF＝10， ∴∠DAF＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB，AB＝CD，∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠AFB＝30°， ∴AB＝AF＝5， 故选：A． A．5 B．4 C． D．6 题组二 勾股定理的应用--特殊角翻折 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝10，点D在边AC上，AB＝BD，将△BCD沿BD折叠，BC的对应边为BE，连接AE．则AE的长为（　　） A．5 B．2 C． D． 【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，如图， ∵∠BAC＝60°，AB＝BD， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD＝AD＝6，∠ADB＝60°， ∴∠BDC＝120°，CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4， 根据折叠的性质可得，∠BDC＝∠BDE＝120°，CD＝DE＝4， ∴∠EDF＝∠BDE﹣∠BDF＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DEF＝30°， 在Rt△EDF中，DF＝DE＝2， ∴EF＝＝＝， ∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2＝4， ∴在Rt△AEF中，AE＝＝＝． 故选：B． 8．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若∠EDF＝30°，则长方形纸片的长宽比为（　　） A．2：1 B．：1 C．：1 D．2： 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， 由翻折的性质得，∠E＝∠C＝90°，DE＝CD，∠CBD＝∠DBE， ∵∠EDF＝30°， ∴∠DFE＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠EFD＝60°， ∴∠DBC＝∠DBF＝30°， ∴BD＝2CD， ∴BC＝＝CD， ∴长方形纸片的长宽比为＝：1． 故选：C． 9．如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，将该纸片翻折使点A落在CD边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（　　） A．2 B．2﹣1 C．2.8 D．2.2 【解答】解：过点E作EH⊥AD于H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD＝AB＝CD＝AB＝4， ∴∠A＝∠HDE＝60°， ∵E是CD中点， ∴DE＝CD＝2， 在Rt△DHE中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°， ∴DH＝DE＝1，HE＝DH＝， 由折叠的性质得：AG＝GE， 在Rt△HGE中，GH＝AD﹣AG+DH＝4﹣GE+1＝5﹣GE， 由勾股定理得：GE2＝GH2+HE 2 ∴GE2＝（5﹣GE）2+3， 解得：GE＝2.8； 故选：C． 10．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB：BC＝2：1，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE．若AB的长为4，则EF的长为（　　） A．8﹣4 B． C． D． 【解答】解：∵AB＝4，AB：BC＝2：1， ∴BC＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°， 由翻折的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，设AE＝EF＝x， ∴CF＝＝2， 在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2， ∴（2﹣x）2+（4﹣2）2＝x2， ∴x＝8﹣4， 故选：A． 题组三 勾股定理的应用--全等翻折 11．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接FG，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝∠ADC＝90°， ∵将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕， ∴AB＝AB′，∠AB′E＝90°， ∴四边形ABEB′为正方形，四边B′ECD为矩形， ∴∠BAE＝45°，BE＝AB＝CD，CE＝B′D＝2， ∵将BE边折起，使点B落在AE上的点G处， ∴BF＝FG，∠B＝∠FGE＝90°， ∴∠AGF＝90°， ∴△AGF为等腰直角三角形，AF＝FG， 在Rt△BEF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△CDE（HL）， ∴BF＝CE＝2， ∴FG＝BF＝2， ∴AF＝FG＝， ∴AB′＝AB＝AF+BF＝， ∴AD＝AB′+B′D＝＝． 故选：A． 12．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且点B，F，E三点共线，若DE＝3，CD＝7，则BF＝（　　） A． B．5 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝7，∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD， ∵△CDE沿CE折叠得到△CFE， ∴△CDE≌△CFE， ∴∠DEC＝∠FEC，EF＝DE＝3 ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠FEC， ∴BC＝BE， 在Rt△ABE中，设BC＝BE＝x，则AE＝x﹣3， 由勾股定理得，BE2＝AB2+AE2， ∴x2＝72+（x﹣3）2， 解得x＝， ∴BF＝BE﹣EF＝x﹣3＝． 故选：D． 13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝16，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则四边形CDEF的周长为（　　） A．40 B．43 C．48 D．53 【解答】解：连接BE，BD，设EF与BD相交于点O，如图， ∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合， ∴EF垂直平分BD，∠BFE＝∠DFE， ∴ED＝EB，FD＝FB，EF⊥BD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE， ∴DE＝EB＝BF＝FD， ∴四边形DEBF为菱形， 在Rt△ABD中，， 设BE＝x，则DE＝x，AE＝16﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝DE2， ∴122+（16﹣x）2＝x2， 解得， ∴， ∵， ∴×EF•DB＝DE•AB， ∴， ∴EF＝15． ∴四边形CDEF的周长为CD+DE+EF+CF＝CD+EF+BC＝12+15+16＝43． 故选：B． 14．如图，矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为（　　） A． B．2 C． D．2 【解答】解：如图所示，过E作EH⊥AF于H，则EH＝AB＝4， 设BE＝x，则CE＝8﹣x＝AE， Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴AH＝BE＝3，AE＝5， 由折叠可得，∠CEF＝∠AEF， ∵AF∥CE， ∴∠CEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AF＝AE＝5， ∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2， Rt△EFH中，EF＝＝＝， 故选：D． 15．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则CP的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设CP＝x，则PB＝3﹣x， 由题意得：DE＝DC＝AB＝4， ∵∠E＝∠B＝90°，∠FOE＝∠POB，OP＝OF， ∴△OPB≌△OFE（AAS）， ∴PE＝BF＝CP＝x，EF＝BP＝3﹣x， 在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2， 即：9+（4﹣x）2＝[4﹣（3﹣x）]2， 解得；x＝2.4， 故选：C． 题组四 勾股定理的应用--角平分线+平行线翻折 16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16，FH＝2HD，则折痕EF的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【解答】解：∵把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处， ∴AF＝FG，∠EHG＝∠B＝∠A＝∠G＝90°，HG＝AB，∠BEF＝∠FEH， ∵∠BEF+∠FEH+∠HEC＝180°，∠HEC＝60°， ∴∠BEF＝∠FEH＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠FHE＝∠HEC＝60°， ∴△EFH是等边三角形， ∴∠FHE＝60°， ∴∠GHF＝30°， ∴FG＝FH， ∵FH＝2HD， ∴DH＝FG＝AF， 设DH＝FG＝AF＝x， ∴AB＝HG＝x，AD＝4x， ∵矩形ABCD的面积为16， ∴x•4x＝16， ∴x＝2（负值舍去）， ∴AB＝2， 过F作FM⊥BC于M， 则FM＝AB＝2， ∴EF＝FM＝4， 故选：D． 17．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x， ∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE， ∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E， ∵DE∥AC， ∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD＝3x， ∴AB＝AD+DB＝8x＝16， ∴x＝2， ∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4， ∴BC＝＝8， 设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E， ∵CE2+B'C2＝B'E2， ∴a2+32＝（8﹣a）2， 解得a＝3， ∴CE＝3， 故选：C． 18．如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G， ∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB， ∴∠BEC＝∠FCE， ∴∠GEC＝∠FCE， ∴CF＝EF， 设FG＝x，则CF＝EF＝x+2， 在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2， ∴x2+32＝（x+2）2， 解得x＝， ∴FG＝， 故选：A． 19．如图，在▱ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：如图，过G点作GM⊥AF于点M， 由折叠知AG＝AD＝3， ∵∠GAF＝45°， ∴∠AGM＝45°， ∴AM＝GM＝AG＝3， ∵DE＝BF， 设DE＝BF＝x， 则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x， ∵GH＝3， ∴EF＝2x+3，FG＝GH+FH＝x+3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠AED＝∠BAE， ∵∠AED＝∠AEG， ∴∠FAE＝∠FEA， ∴AF＝EF＝2x+3， ∴MF＝AF﹣AM＝2x+3﹣3＝2x， 在Rt△FGM中，根据勾股定理得： FG2﹣FM2＝MG2， ∴（x+3）2﹣（2x）2＝32， 解得，x＝2或x＝0（舍）， ∴AF＝2x+3＝7， 故选：D． 题组五 勾股定理的应用--相似翻折 20．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使得点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若BP：PC＝1：3，则折痕EH的长为（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：如图，过点H作HQ⊥AB于点Q，则四边形BCHQ是矩形， ∵将纸片折叠，使点A落在边DC的延长线上的点F处， ∴AE＝EF，∠AEH＝∠FEH， ∵AB∥CD， ∴∠FHE＝∠AEH，△EBP∽△FCP， ∴∠FEH＝∠FHE， ∴FH＝EF， ∵BP：PC＝1：3， ∴BP＝BC＝，， 设BE＝x，则FH＝EF＝AE＝6﹣x， ∴PE＝＝， 在Rt△EBP中，由勾股定理得： ， 解得：x1＝1，（舍去）， ∴BE＝1，CF＝3BE＝3，HF＝6﹣x＝5， ∴QB＝CH＝HF﹣CF＝2， ∴QE＝QB﹣BE＝1， ∴HE＝＝， 故选：B． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E是AB上一个动点，F是AD上一点（点F不与点D重合），连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A的对应点A′落在边CD上，连接EC，若A′E＝CE，则△A′DF的面积为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解答】解：如图，过点E作EG⊥CD于点G， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝4， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝8，∠B＝∠D＝90°， 由折叠可知，AE＝A′E，AF＝A′F， ∵A′E＝CE， ∴AE＝A′E＝CE， 设AE＝A′E＝CE＝x，则BE＝AB﹣AE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，BE2+BC2＝CE2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴AE＝A′E＝CE＝5，BE＝3， ∵∠B＝∠BCG＝∠CGE＝90°， ∴四边形BCGE为矩形， ∴CG＝BE＝3， ∵A′E＝CE，EG⊥CD， ∴A′C＝2CG＝6， ∴A′D＝CD﹣A′C＝8﹣6＝2， 设AF＝A′F＝a，则DF＝AD﹣AF＝4﹣a， 在Rt△A′DF中，DF2+A′D2＝A′F， ∴（4﹣a）2+22＝a2， 解得：a＝， ∴DF＝， ∴S△A′DF＝＝＝1.5． 故选：B． 22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点D′处．过AC的中点O作OE∥BC交AD′于点E．若AB＝8cm，BC＝6cm，则OE的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【解答】解：如图，设CD′交AB于点F，OE交AB于点G， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝6cm，AB∥CD，∠D＝90°， ∵O为AC的中点，OG∥BC， ∴OG为△ABC的中位线，∠AGO＝90°， ∴AG＝BG＝＝4（cm），OG＝BC＝3（cm），∠AGE＝90°， 根据折叠的性质可得，∠ACD＝∠ACD′，AD＝AD′＝6cm，CD＝CD′＝8cm，∠D＝∠D′＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ACD′， ∴AF＝CF， 设AF＝CF＝x cm，则D′F＝CD′﹣CF＝（8﹣x）cm， 在△AD′F中，AD′2+D′F2＝AF2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝， ∴AF＝cm，D′F＝cm， 在Rt△AD′F中，tan∠FAD′＝＝＝， 在Rt△AGE中，GE＝AG•tan∠GAE＝＝（cm）， ∴OE＝OG+GE＝＝（cm）． 故选：C． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝7，M、N分别为边CD，AB上的点，将四边形ADMN沿MN翻折至四边形EFMN，点E落在BC边上，且BE＝3，则DM的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设EF与CD交于点G， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝9，BC＝7， ∴AD＝BC＝7，AB＝CD＝9，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵将四边形ADMN沿MN翻折至四边形EFMN， ∴DM＝FM，AD＝EF＝7，AN＝EN，∠A＝∠NEF＝90°，∠D＝∠F＝90°， ∴∠BNE+∠BEN＝∠BEN+∠CEG，∠CEG+∠CGE＝90°，∠FMG+∠FGM＝90°， ∴∠BNE＝∠CEG， ∵∠CGE＝∠FGM， ∴∠CEG＝∠FMG＝∠BNE， ∵BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝7﹣3＝4， 设AN＝EN＝x，则BN＝AB﹣AN＝9﹣x， 在Rt△BEN中，BN2+BE2＝EN2， ∴（9﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝5， ∴NE＝5， 在Rt△BEN中，sin∠BNE＝＝，cos∠BNE＝＝， ∴sin∠CEG＝sin∠FMG＝sin∠BNE＝，cos∠CEG＝cos∠FMG＝cos∠BNE＝， 在Rt△CEG中，GE＝＝＝5， ∴FG＝EF﹣GE＝7﹣5＝2， 在Rt△MFG中，MG＝＝＝，FM＝MG•cos∠FMG＝×＝， ∴DM＝FM＝． 故选：B． 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝16，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝6，CF＝3，将矩形沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，延长ED'交BC于点G．当A、D'、C'三点共线时，D'G的长为（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：设C'D'交BC于K，如图： ∵AD＝16，DE＝6， ∴AE＝AD﹣DE＝10， ∵矩形沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，A、D'、C'三点共线， ∴∠D＝∠ED'C'＝90°，∠C＝∠C'＝90°，D'E＝DE＝6，C'F＝CF＝3， ∴∠AD'E＝90°， ∴AD'＝＝＝8， ∴tan∠EAD'＝＝＝， ∴tan∠FKC'＝tan∠EAD'＝，即＝， ∴C'K＝4， ∴KF＝＝＝5， 设D'G＝x，则GE＝D'G+D'E＝x+6， ∵sin∠D'KG＝sin∠EAD'， ∴＝，即＝， ∴GK＝x， ∴GF＝GK+KF＝x+5， ∵∠GEF＝∠DEF＝∠EFG， ∴GE＝GF，即x+6＝x+5， 解得x＝， ∴D'G＝， 故选：D． 25．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．16 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°， ∵将矩形ABCD沿直线DE折叠， ∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°， ∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°， ∴∠BEF＝∠CFD， ∴△BEF∽△CFD， ∴， ∵CD＝3BF， ∴CF＝3BE＝12， 设BF＝x， 则CD＝3x，DF＝BC＝x+12， ∵∠C＝90°， 在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2， ∴（3x）2+122＝（x+12）2， 解得：x＝3，x＝0（舍）， ∴AD＝DF＝3+12＝15， 故选：C． 题组六 勾股定理的应用--斜中半翻折 26．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A．8 B． C． D． 【解答】解：如图，过点D作EG⊥CF于点G， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°， ∵AB＝2，BC＝，E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝， ∴AE＝＝＝5， 根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠AEF＝，BE＝EF， ∴CE＝EF， ∵EG⊥CF， ∴∠CEG＝∠FEG＝，CG＝FG， ∴∠AEB+∠CEG＝+＝（∠BEF+∠CEF）＝90°， ∵∠ECG+∠CEG＝90°， ∴∠AEB＝∠ECG， ∵∠B＝∠CGE＝90°， ∴△ABE∽△EGC， ∴，即， ∴CG＝， ∴CF＝2CG＝． 故选：B． 27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过E作EH⊥CF于H， 由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴EF＝CE， ∴∠FEH＝∠CEH， ∴∠AEB+∠CEH＝90°， 在矩形ABCD中， ∵∠B＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC， ∴△ABE∽△EHC， ∴， ∵AE＝＝5， ∴EH＝， ∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝＝， （方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝） 故选：D． 28．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝7，AE＝3，∠AEM＝35°，∠DEN＝10°，现将纸片分别沿着EM、EN折叠，点A落在点F，点D落在点G，连接FG，点O为线段FG的中点，则EO的长是（　　） A．2.5 B．2.4 C． D．5 【解答】解：∵AD＝7，AE＝3， ∴DE＝4， ∵将纸片分别沿着EM、EN折叠，点A落在点F，点D落在点G， ∴EF＝AE＝3，EG＝DE＝4，∠MEF＝∠AEM＝35°，∠GEN＝DEN＝10°， ∴∠FEG＝180°﹣2×35°﹣2×10°＝90°， ∴FG＝＝＝5， ∵点O为线段FG的中点， ∴EO＝FG＝2.5， 故选：A． 29．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E是AD的中点，连接CE，将△DCE沿直线CE折叠，使点D落在点F处，则线段AF的长度是（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：作EH⊥AF于点H，如图： 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E是AD的中点． ∴ED＝EA＝1，EC＝，∠D＝90°． ∵△DCE沿直线CE折叠为△FCE． ∴EF＝EA＝1，CF＝CD＝AB＝．∠DEC＝∠CEF，∠D＝∠EFC＝90°． ∴△EAF是等腰三角形，∠FEC+∠ECF＝90°． ∵∠DEF+∠FEA＝180°． ∴∠CEF+∠FEH＝90°． ∴∠HEF＝∠ECF． ∴△EFH∽△CEF． ∴．即：． ∴． ∴． 故选：A． 30．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝10，E是为BC中点，连接AE，BD，把△ABE沿着AE翻折，得到△AB′E，则点B′到BD的距离为（　　） A．2 B．4 C．3 D． 【解答】解：如图，连接BB′交AE于J，设AE交BD于点O，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，过点B′作B′H⊥BD于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝90°，AB＝BC＝10， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC＝5， ∴AE＝＝＝5， 由翻折的性质可知，AE垂直平分线段BB′， ∴BJ＝＝2， ∴BB′＝2BJ＝4 ∵∠ABO＝∠OBE＝45°，OM⊥AB，ON⊥BC， ∴OM＝ON， ∵•AB•OM+•BE•ON＝•AB•BE， ∴OM＝ON＝， ∵四边形OMBN是正方形， ∴OB＝， ∴OJ＝＝＝， ∵∠OBJ＝∠HBB′，∠BJO＝∠BHB′＝90°， ∴△BJO∽△BHB′， ∴＝， ∴＝， ∴B′H＝2， 故选：A． 题组七 勾股定理的应用--半角模型翻折 31．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD﹣CG＝6﹣x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF+FG＝3+x， 在Rt△DEG中，DE2+DG2＝EG2， 即32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 32．如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解答】解：如图，连接AE， ∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°， 在Rt△AFE和Rt△ADE中， ∵， ∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL）， ∴EF＝DE， 设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x． ∵G为BC中点，BC＝6， ∴CG＝3， 在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9＝（x+3）2， 解得x＝2． 则DE＝2． 故选：C． 33．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝48；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， 在Rt△ADG和Rt△FDG中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， 故①正确； ②∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x， 由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG， 故②正确； ③∵Rt△ADG≌Rt△FDG， ∴S△DGF＝S△ADG＝×AG•AD＝×4×12＝24， 故③错误； ④∵S△GBE＝BE•BG＝×6×8＝24， ∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6， ∴＝＝， ∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝， 故④正确． 综上可知正确的结论的是3个， 故选：B． 34．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△GCE＝6．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°． ∵CD＝3DE， ∴DE＝2． ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°， ∴AF＝AB． ∵在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴①正确； ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF， 设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2． 在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2． ∵CG＝6﹣x，CE＝4，EG＝x+2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得：x＝3， ∴BG＝GF＝CG＝3， ∴②正确； ∵CG＝GF， ∴∠CFG＝∠FCG， ∵∠BGF＝∠CFG+∠FCG， 又∵∠BGF＝∠AGB+∠AGF， ∴∠CFG+∠FCG＝∠AGB+∠AGF， ∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG， ∴∠AGB＝∠FCG， ∴AG∥CF， ∴③正确； ∵BG＝GF＝CG＝3，CE＝4， ∴S△GCE＝6， ∴④正确； 故选：A． 35．如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点．将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交CD边于点G，连接AG，CF．下列结论：①AE∥FC；②△ADG≌△AFG；③CG＝2DG；④S△CEF＝S正方形ABCD．其中正确的有（　　） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：①∵E是BC边的中点， ∴BE＝CE， 由折叠知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF，AB＝AF， ∴CE＝EF， ∴∠ECF＝∠EFC， ∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC， ∴∠AEB＝∠ECF， ∴AE∥CF， 故①正确； ②在Rt△ADG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL）， 故②正确； ③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x， 在△CEG中，由勾股定理得，EG2＝GC2+EC2， ∴（a+a﹣x）2＝（a）2+x2， 解得，x＝a， ∴CG＝a， ∴DG＝a， ∴CG＝2DG， 故③正确； ④∵S△CEG＝EC•CG＝×a×a＝a2， 又∵EF：FG＝a：a＝3：2， ∴S△CEF＝×a2＝a2， ∴S△CEF＝S正方形ABCD， 故④正确， 故选：D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$