江西省丰城中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学·答题 丰城中学 2024—2025学年上学期高三入学试卷 卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔 填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号， 在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（1-8每小题 5分，多选题 9-11全对 6分，部分对 3分共 58分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三、解答题（共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请不要在本框答题，本框答题无效 高三入学考试 第 1页 / 共 4页 丰城中学 2024-2025 学年上学期高三入学考试试卷 一、单选题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 数 学 ） 1．已知数集 A B、 满足：  1, 2,3A B  ，  1,2,3,4,5A B U ，若 4 A ，则一定有：（ ） A．5 A B．5 A C． 4 B D． 4 B 2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C   ，且O A B C   ∥ ， 2 2OA B C     ， 1A B   ，则该平面图形的高为（ ） A． 2 B．1 C． 2 2 D．2 3．设函数   1 1x af x b a     （ 0a  ， 1a  ），则函数  f x 的单调性（ ） A．与 a有关，且与b有关 B．与 a无关，且与b有关 C．与 a有关，且与b无关 D．与 a无关，且与b无关 4.在 ABCV 中，“cos sinA B ”是“ 90C  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知向量 (2,0)a   ， 3sin , 2 b           ，若向量 b  在向量 a  上的投影向量 1 ,0 2 c        ，则 | |a b   （ ） A． 3 B． 7 C．3 D．7 6.已知直线 y＝ax－a与曲线 ay x x   相切，则实数 a＝（ ） A．0 B． 1 2 C． 4 5 D． 3 2 7．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 2F 的直线与 E交于点 ,A B．直线 l为 E在 点A处的切线，点 B关于 l的对称点为M ．由椭圆的光学性质知， 1, ,F A M 三点共线．若 1 1 5, 6 BF AB a MF   ， 则 2 1 BF AF （ ） A． 1 9 B． 13 20 C． 9 13 D． 2 13 高三入学考试 第 2页 / 共 4页 8．设实数 x，y满足 3 2 x  ， 3y  ，不等式    3 3 2 22 3 3 8 12 3k x y x y x y    ≤ 恒成立，则实数 k的最大 值为（ ） A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3 二、多选题：（本大题共 3 小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分） 9．已知复数 1z ， 2z ，则下列结论正确的有（ ） A． 2 21 1z z B． 1 2 1 2z z z z   C． 1 2 1 2z z z z  D． 1 2 1 2z z z z   10．已知函数   3 2f x x ax   ，则（ ） A．存在实数 0x 使得    0 0f x f x  B．当 2a  时，  f x 有三个零点 C．点  0, 2 是曲线  y f x 的对称中心 D．若曲线  y f x 有两条过点  1,0 的切线，则   2f a  11．冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列 1 2, , , nx x x 从左往右，依次对相邻两个元素  1, 1,2, , 1k kx x k n    比较大小，若 1k kx x  ，则交换两个数的位置，使 值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是 按照从小到大排列为止.例如：对于序列 2,1,4,3 进行冒泡排序，首先比较 2,1 ，需要交换 1次位置，得到 新序列 1,2,4,3 ，然后比较 2,4 ，无需交换位置，最后比较 4,3 ，又需要交换 1次位置，得到新序列 1,2,3,4 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 1,4,2,3 需要依次交换   4,2 , 4,3 完成冒泡排序.因此， 2,1,4,3 和  1,4,2,3 均是交换 2次的序列.现在对任一个包含 n个不等实数的序列进行冒泡排序  3n  ，设在冒泡排序 中序列需要交换的最大次数为 na ，只需要交换 1次的序列个数为 nb ，只需要交换 2次的序列个数为 nc ，则 （ ） A．序列 2,7,1,8 是需要交换 3次的序列 B．  1 2n n n a   C． 1nb n  D． 5 9c  三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分） 12．若8 tan 3cos  ，则 cos2  ． 13．   2024(1 )a x x  展开式中 2024x 的系数为 2023 ，则 a的值为 ． 14．三棱锥 A BCD 的所有棱长均为 2，E，F分别为线段 BC与 AD的中点，M，N分别为线段 AE与 CF 上的动点，若 / /MN 平面 ABD，则线段 MN长度的最小值为 ． 高三入学考试 第 3页 / 共 4页 四、解答题（本大题共 5 小题，满分 77 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）如图，在 ABCV 中，已知 2, 5, 60 , ,AB AC BAC BC AC    边上的两条中线 AM，BN相交于 点 P． (1)求中线 AM的长； (2)求 MPN 的余弦值； 16.（15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， //CD AB， 90ABC  ， 2 2 4AB BC CD   ，三棱锥 B PAD 的体积为 4 2 3 . (1)求点 P到平面 ABCD的距离； (2)若 PA PD ，平面 PAD 平面 ABCD，点 N在线段 AP上， 2AN NP ，求平面 NCD与平面 ABCD夹角 的余弦值. 17.（15分）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节， 预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有 12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中 随机地抽取 100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图： (1)规定预赛成绩不低于 80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 60分的学生中随机地抽取 2人，求 至少有 1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数 X的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 Z服从正态分布  2,N   ，其中 可近似为 样本中的 100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 2 362  ，已知小明的 预赛成绩为 91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若  2~ ,Z N   ，则 ( ) 0.6827P Z        ， ( 2 2 ) 0.9545P Z        ， ( 3 3 ) 0.9973P Z        ； 362 19 ． 高三入学考试 第 4页 / 共 4页 18.（17分）已知 0a  且 1a  ，函数 ( ) ln(1 ) 1xf x a x    ． (1) ( ) ln( 1)na f n n n    ， *Nn ， nS 为数列 na 的前 n项和，当 89a  时，试比较 64 S 与 2024的大小，并 说明理由： (2)当 1 e a  时，证明： ( ) 0xf x  ； (3)当 1 e a 且 1a  时，试讨论 ( )f x 的零点个数． 19.（17分）对于求解方程 2 2: 2 1q x y  的正整数解  ,n n nQ x y （ nx ， ny ， *Nn ）的问题，循环构造是一 种常用且有效地构造方法．例如已知 1 1 3 2 x y    是方程 q的一组正整数解，则   2 21 3 2 2 3 2 2 3 2 2      ， 将   1 3 2 2 3 2 2   代入等式右边，得        1 3 2 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2         ， 变形得：       2 2 2 21 3 2 2 3 2 2 17 12 2 17 12 2 17 2 12         ，于是构造出方程 q的另一组解 2 2 17 12 x y    ，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足 1x 最小，则依次重复上述．．．．．． 过程．．可以得到方程 q的所有正整数解．．．．．．．已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yE a b   （ 0a  ， 0b  ）的离心率为 2 3 3 ，实轴长 为 2． (1)求双曲线 E的标准方程； (2)方程 2 2 2 2 1 x y a b   的所有正整数解为    *, Nn n nQ x y n ，且数列 nx 单调递增． ①求证： 2n nx x  始终是 4的整数倍； ②将    *, Nn n nQ x y n 看作点，试问 1n nOQ Q △ 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明 理由． 高三数学参考答案 1-8CCDBBCDB 9.BC 10.AC 11.BCD 13.1 14.21 15.(1)因为M为BC的中点,AM=4B+AC, 1(4+4C)(4c-B) 49 |AM||BC|= AMBM 16.(1)设点P到平面ABCD的距离为h, 42 所以h=: S.D 4 (2)取AD的中点M,连接PM,因为PA=PD.PM1AD 又平面PAD1平面ABCD且交线为AD,PMC平面PAD,PM1AD 所以PM1平面ABCD,由(1)知PM-2. 2 由题意可得BD-22.AD-(4-2)+2-22 所以AD}+BD}=4B,所以AD1BD. 以D点为坐标原点,DA为x轴,DB为y轴,过点D作PM的平行线 为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(22.0.0).P(2.0.2).C(-2.2.0) 依题意D-(#v)→-、)-#2}). .设平面NCD的法向量为=(x1.y.z). 第1页/共4页 [ DC--2x+2y=0 则 故可设n=(1.1.-2),平面ABCD的一个法向量为n。=(0.0.1) 3. 22=0 {## 17.(1)预赛成绩在[60,80)范围内的样本量为:0.0125x20x100=25. 预赛成绩在[80,100 范围内的样本量为:0.0075x20x100=15, .C.CCC8. 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,可能取值为0.1.2,则P(X>1)= C。 13: -7. 3 则X的分布列为: 。 1n1) { P 25 故E()0x5 7 3 -+1x +2x- 52 13 524 (2) =π=(10x0.005+300.01+50x0.015+700.0125+90x0.0075)x20=53 ?=362,则o~19,又乙~N(53.362) 故P(乙91)=P(z+2)=1-P(u-2o<<+2o)]~0.02275. 故全市参加预赛学生中,成绩不低于91分的有12000x0.02275=273人. 因为273<300,故小明有资格参加复赛 _20 则$+().(+(01+2+64-1) -2024-8x()“2024,所以当a +1x(1+x) (>-1). 第2页/共4页 令g(x)=e -(1+x).(x>-),求导得g(x)=e-1. 当xe(-1.0)时,g(x)<0,当xe(0.+oc)时,g(x)>0. 即函数g(x)在上(-1.0)单调递减,在(0.+00)上单调递增 于是g(x)g(0)=0,即/(x)>0,函数在(-1.+o0)上单调递增 又f(0)=0,因此xE(-1,0)时,f(x)<0,当xe(0,+oo)时,/(x)>0,所以xf(x)>0 (3)①若a>1,函数/(x)在(-1,+oo)上为单调递增函数,且f(0)=0 因此函数f(x)有且仅有一个零点; e e{ 综上所述:当a>-且a*1时,/(x)的零点个数为1个. [225 [a=1 19.(1)由题意知a {3解得{ 3 2a=2 3 [=2 =1 是方程的一组正整数解则1-2-3-1^=(2+3)(2-3), 在循环构造中,对任意正整数k,由x,是正整数,第k组解O.(x,共)中的x为二项式(2+V3)的展开 式中不含3的部分,3y。为二项式的展开式(2+3)f中含3的部分, 注意到二项式(2+3)^的展开式中不含5的部分与二项式(2-3){的展开式中不含的部分相同, 二项式(2+3)的展开式中含\的部分与二项式(2-3)的展开式中含的部分互为相反数,于是由二项 式定理有 3y-(2+),-y,-(2-)*,从而x-(2+3)*+(2-3)] 于是对任意的正整数n (+-(2+3)”2+(2-3)”]+(2+3)+(2-3) 第3页/共4页 )(23)”}+(23)”(23)“(23)” -[(23)”4][(23)”4]_4, 因为x,是正整数,所以xX+x.是4的整数倍. 方法二:在循环构造中,对任意正整数k,由x,共是正整数,第k组解O.(x,y)中的x为二项式(2+\3)^ 的展开式中不含3的部分, 3y.为二项式(2+3){的展开式中含3的部分; 第k+1组解.(x)中的x.为二项式(2+V3)的展开式中不含的部分,3y.为二项式 (2+3)”的展开式中含5的部分,故x+y(2+5),x+5y =(2+5)” 于是x+3=2+3)(2+3)x3)(23 +5-2+)2(+)-23)6- ),即-+3 y.=r+2y $x-2x+3y,得y-3({-2×), -(-2×), 代入y+y,得(-2^)x(x-2×),整得x=4×,即4x 因为x.是正整数,所以x。+x.是4的整数倍. ②.=(x,y),O=(x.),设o,OO的夹角为a 则△o0.0.面积So.0.0in00.sn:a -00l00 00 00. 2 5.o0.(1)-#()) S.oo0.- --,由_4x 1得 。 x $i$-=,-2,=2-3即x$-3 2 第4页/共4页