专题01 有理数（考点串讲，6个常考点+5种重难题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（人教版2024）

七年级新人教版（2024）数学上册期中考点大串讲 专题01 有理数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理+针对训练 五大题型典例剖析+举一反三 四大易错易混经典例题 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：正数和负数 【例1】 [2024枣庄市月考]世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位 于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“＋4 410米”，表示高出海平面4 410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设 计制造的，其最大钻井深度记为“－15 250米”.“－15 250米”表示 的意义为(　B　) B A. 高于海平面1 5250米 B. 低于海平面1 5250米 C. 比“拉索”高1 5250米 D. 比“拉索”低1 5250米 考点透视 【变式1-1】【真实情境题·航空航天】2024年5月3日17时27分，嫦娥六 号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温 度为零上126 ℃，记作＋126 ℃，夜间平均温度为零下150 ℃，应记作 (　B　) A. ＋150 ℃ B. －150 ℃ C. ＋276 ℃ D. －276 ℃ B 【变式1-2】某种零件质量标准是(20±0.2)g，下列零件质量不符合标准 的是(　A　) A. 19.7 g B. 19.9 g C. 20 g D. 20.1 g A 【变式1-3】下列说法正确的个数是(　C　) ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数； ③0是最小的正数； ④大于0的数是正数. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 考点二：有理数 【例2】 下列说法中，正确的有(　D　) ①－3.14既是负数，又是小数，也是有理数； ②－25既是负数，又是整数，但不是自然数； ③0既不是正数也不是负数，但是整数； ④0是非负数. D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式2-1】 [2024北京丰台区模拟]如图所示的圈表示负数集合、整数 集合和正数集合，则关于甲、乙、丙三部分的数的个数，下列说法正确的是(　A　) A A. 甲、丙两部分有无数个，乙部分只有一个，是0 B. 甲、乙、丙三部分都有无数个 C. 甲、乙、丙三部分都只有一个 D. 甲部分只有一个，乙、丙两部分有无数个 【变式2-2】将下列各数填在相应的横线上. ，－3.01，0，－2 025，－1 ，＋15％，101，3.14， 0.618. (1)整数： ⁠； (2)负数： ⁠； 0，－2 025，101　 －3.01，－2 025，－1 　 (3)正有理数： ⁠； (4)非正整数： ⁠； (5)非负数： ⁠. ，＋15％，101，3.14，0.618　 0，－2 025　 ，0，＋15％，101，3.14，0.618　 考点三：数轴 【例3】下列说法正确的是(　C　) A. 同一数轴中的单位长度不需要统一 B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 D. 有些有理数不能在数轴上表示出来 C 【变式3-1】 在数轴上，原点及原点左边所表示的数是(　D　) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 D 【变式3-2】如图所示，分别用数轴上的点 A ， B ， C ， D 表示数， 其中正确的是(　C　) A. 点 D 表示－2.5 B. 点 C 表示－1.5 C. 点 B 表示1.5 D. 点 A 表示1.5 C 【变式3-3】【新考法·分类讨论法】已知数轴上有 A ， B 两点，点 A 与点 B 之间的距离为1，点 A 与原点之间的距离为3，那么点 B 对应的数是 ⁠. －4或－2或2或4　 考点四：相反数 【例4】相反数是－8的数是(　B　) A. －8 B. 8 C. － D. B 【变式4-1】 下列说法： ①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数； ③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数； ④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等. 其中正确的有 .(只填序号) ①　 【变式4-2】 [2024天水武山月考]数轴上2 与它的相反数之间的整数有 个. 5　 【变式4-3】 若点 A ， B ， C ， D 分别表示－(　－ )，－(　＋ )，＋(－4)， ＋(＋7 )，点 E ， F 分别表示＋(－4)与＋(　＋7 )的相反数，请画出数轴并在数轴 上标出点 A ， B ， C ， D ， E ， F . 解： 因为－ ＝ ，－ ＝－ ，＋(－4)＝－4，＋ ＝7 ， ＋(－4)的相反数是4，＋ 的相反数是－7 ， 所以画出的数轴及各点在数轴上的位置如图. 考点五：绝对值 【例5】 [2024西安长安区一模]－23的绝对值是(　D　) A. B. ±23 C. －23 D. 23 D 【变式5-1】【情境题·生活应用】从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查， 结果如下(超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，单位：g)，其中最 接近标准质量的是(　B　) 编号 1 2 3 4 检查结果 ＋0.4 －0.1 －0.5 ＋0.3 B A. 1号汤圆 B. 2号汤圆 C. 3号汤圆 D. 4号汤圆 【变式5-2】如果｜ a ｜＝ a ，则 a 的取值范围是(　B　) A. a ＞0 B. a ≥0 C. a ≤0 D. a ＜0 B 考点六：有理数的大小比较 【例6】【新趋势·跨学科2024揭阳普宁—模】凝固点是晶体物质凝固时的温度，标 准大气压下，下列物质中凝固点最低的是(　B　) 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3 410 ℃ －38.87 ℃ －30 ℃ 0 ℃ A. 钨 B. 水银 C. 煤油 D. 水 B 【变式】 比较下列各组数的大小： (1)－3.5与－4.2； 解： －3.5＞－4.2. (2)－ 与－ ； 解： － ＞－ . (3)－ 与－ . 解： － ＞－ . 题型一：有理数与数轴 【例7】表示有理数 a ， b ， c 的点在数轴上的位置如图所示，则 下列说法中正确的是(　D　) A. a ， b ， c 是负数 B. a ， b 是负数， c 是正数 C. a ， b ， c 是正数 D. a 是负数， b ， c 是正数 D 题型剖析 【变式7-1】如图，数轴的单位长度为1，如果点 A 表示的数是－1，那么点 B 表示的数是 (　D　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 【变式7-2】有理数 a ， b ， c ， d 在数轴上对应点的位置如图，这四个数中，绝对值最大的是(　A　) A. a B. b C. c D. d A 【变式7-3】【新考法逆向思维法】一只电子蚂蚁沿数轴从点 A 向右爬行2个单位长 度到达点 B ，若点 B 表示的数为－4，则点 A 表示的数为 ⁠. －6　 【变式7-4】【新视角结论开放题】已知数轴上点 A 表示的数是－1，点 B 在点 A 的 左侧，则点 B 表示的数可能是 ⁠. －4(答案不唯一)　 【变式7-5】画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再将这些数用“＜”连接起来. －4，1 ，3，－(－0.5)，－｜－2｜. 解： 如图所示. 由数轴得，－4＜－｜－2｜＜－(－0.5)＜1 ＜3. 【变式7-6】【2024宁波新视角操作探究题】数轴是一个非常重要的数学工具，它使 数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合” 的基础.小锦在草稿纸上画了一条数轴(如图) 进行操作探究. 操作一： (1)折叠纸面，若使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与 表示的点重合； 3　 操作二：(2)折叠纸面，若使2表示的点与－6表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； －7　 ②若数轴上 A ， B 两点之间的距离为16( A 在 B 的左侧)，且 A ， B 两点经折叠后重合，求 A ， B 两点表示的数. 解： (2)②因为数轴上 A ， B两点之间的距离为16，所以易得数轴上 A ， B 两点到折点－2的距离都为8.因为 A 在 B 的左侧，所以 A ， B 两点表示的数分别是－2－8＝－10和－2＋8＝6. 题型二：相反数与数轴 【例8】 如图，表示互为相反数的两个点是(　B　) A. 点 A 与点 B B. 点 A 与点 D C. 点 C 与点 B D. 点 C 与点 D B 【变式8-1】如图，点 A ， B 在数轴上，若 AB ＝8，且 A ， B 两点 表示的数互为相反数，则点 A 表示的数为 ⁠. －4　 【变式8-2】如图，数轴上点 A 与点 B 表示的数互为相反数，若点 A 表示的数是－1.5，用圆规以 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交数轴 于点 C ，则点 C 对应的数是 ⁠. 4.5　 【变式8-3】【新考法·分类讨论法】在数轴上点 A 表示－2，点 B ， C 表示的数 互为相反数，且点 C 与点 A 之间的距离是2，求点 B ， C 所表示的数. 解： 如图①，若点 C 在点 A 的左边，则点 C 表示的数是－4，所以点 B 表示的数是4； 如图②，若点 C 在点 A 的右边，则点 C 表示的数是0，所以点 B 表示的数也是0. 综上，若点 C 表示的数是－4，则点 B 表示的数是4；若点 C 表示的数是0，则点 B 表示的数也是0. 题型三：绝对值与数轴 【例9】如图，点 A 所表示的数的绝对值是(　A　) A. 3 B. －3 C. D. － A 【变式9-1】 若｜ a ｜＝－ a ，则数 a 在数轴上的对应点在(　B　) B A. 原点左侧 B. 原点或原点左侧 C. 原点右侧 D. 原点或原点右侧 【变式9-2】有理数 a ， b ， c 在数轴上所对应点的位置如图所示. (1)填空：｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝ ，｜ c ｜ ＝ ⁠； － a 　 b 　 － c 　 (2)在图中的数轴上标出表示－ a ，－ b ，－ c 的点； 解：(2)如图所示. (3)将 a ， b ， c ，－ a ，－ b ，－ c 用“＜”连接起来. 解：(3) c ＜－ b ＜ a ＜－ a ＜ b ＜－ c . 【变式9-3】【垃圾分类2024泉州鲤城区期末】为响应垃圾分类，改善小区环境， 物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编 号为1号至6号，并且6栋楼按编号从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼的间 隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题.小明结合数轴与绝对值的知识进行 数学建模，并说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上连续的6个整数点(记为 1，2，3，4，5，6)，回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为 x . (1)根据问题的实际意义，则｜ x －1｜表示 ⁠ ⁠； 回收站到1号楼的距离　 (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离 之和最小，记 S ＝｜ x －1｜＋｜ x －2｜＋｜ x －3｜＋｜ x －4｜＋｜ x －5｜ ＋｜ x －6｜，直接写出 S 的最小值和回收站的位置. 解： S 的最小值是9，回收站的位置应在3号楼和4号楼之间. 点拨：①当1≤ x ≤2时， S ＝ x －1－ x ＋2－ x ＋3－ x ＋4－ x ＋5－ x ＋6＝－4 x ＋19，当 x ＝2时， S最小＝－4×2＋19＝11； ②当2＜ x ≤3时， S ＝ x －1＋ x －2－ x ＋3－ x ＋4－ x ＋5－ x ＋6 ＝－2 x ＋15，当 x ＝3时， S最小＝－2×3＋15＝9； ③当3＜ x ≤4时， S ＝ x －1＋ x －2＋ x －3－ x ＋4－ x ＋5－ x ＋6＝9， 即 S最小＝9； ④当4＜ x ≤5时， S ＝ x －1＋ x －2＋ x －3＋ x －4－ x ＋5－ x ＋6＝2 x ＋1，此时无最小值； ⑤当5＜ x ≤6时， S ＝ x －1＋ x －2＋ x －3＋ x －4＋ x －5－ x ＋6＝4 x －9，此时无最小值；综上所述， S 的最小值是9，回收站的位置应在3号楼和4号楼之间. 题型四：分类讨论思想 【例10】 已知点 A 是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点 A 向左平移7个单 位长度后，再向右平移5个单位长度得到点 B ，则点 B 到原点的距离为(　D　) A. 3或7 B. 3或5 C. 1或3 D. 1或5 D 【变式】【新考向·知识情境化】如图， A ， B 分别为数轴上的两个点，点 A 表示 的数为－10，点 B 表示的数为90. (1)请写出到 A ， B 两点距离相等的点 M 对应的数. 解： (1)点 M 对应的数为40. (2)一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时 另一只电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过 多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 解： (2)相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(100－35)÷(2＋3)＝13(秒)； 相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时， (35＋100)÷(2＋3)＝27(秒)， 即经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度. 题型五：数形结合思想 【例11】 已知 m ， n 在数轴上的位置如图所示.试比较－ m ，－ n ， m ， n ， m － n ， n － m 的大小，并用“＞”连接. 解： n － m ＞－ m ＞ n ＞－ n ＞ m ＞ m － n . 【变式】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如｜ x ｜的几何意义是数轴上数 x 的对应点与原点之间的距离，即｜ x ｜＝｜ x －0｜，也可以说，｜ x ｜表示数轴上数 x 与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为｜ x1－ x2｜表示数轴上数 x1与数 x2对应点之间的距离. 例1：已知｜ x ｜＝2，求 x 的值. 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2和2， 所以 x 的值为－2或2. 例2：已知｜ x －1｜＝2，求 x 的值. 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和－1， 所以 x 的值为3或－1. 仿照材料中的解法，求下列各式中 x 的值. (1)｜ x ｜＝3；(2)｜ x －2｜＝4. 解： (1)在数轴上与原点距离为3的点表示的数为－3和3， 所以 x 的值为－3或3. (2)在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为－2和6， 所以 x 的值为－2或6. 易错点一 对有理数的相关概念理解有误而出错 【例12】下列说法正确的是（ ） A.正数和负数统称为有理数 B.符号不同的两个数互为相反数 C.绝对值等于本身的数只有正数 D.互为倒数的两个数的乘积等于1 错解剖析： 对有理数的相关概念的辨析： 1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误； 2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误. D 易混易错 易错点二 数的正负性不确定而漏解 【例13】已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 易错点三 数轴上点的位置不确定而漏解 【例14】在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 正解： 当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时， -3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时， -3-10=-13. 故答案为7 或-13. 错解剖析： 在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 易错点四 数轴上点的位置不确定而漏解 【例15】某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？ 正解： （2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 = 66（km）， 66×0.06 =3.96（L） 即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L. 错解剖析: 出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向 1.（2023秋•城关区校级期中）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：300±5ml”；．随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是( ____ ) 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量/ml 295 300 310 305 A.原味 B.草莓味 C.香草味 D.巧克力味 【解析】解：由题意可得净含量合格的范围为295ml～305ml,则295，300，305均在该范围内，310不在该范围内，那么净含量不合格的是香草味，故选：C． C 押题预测 39 2.（2023秋•南关区校级期中）在-15，5 ，-0.23，0，7.6，2，- ，314%．这八个有理数中非负数有( ____ ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【解析】解：在-15，5 ，-0.23，0，7.6，2，- ，314%．这八个数中，非负数为5 ，0，7.6，2，314%，有5个． 故选：B． B 40 3.（2023秋•东莞市校级期中）若数轴上的点A表示的数是-2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是( ____ ) A.±7 B.±3 C.3或-7 D.-3或7 【解析】解：在数轴上与-2的距离等于5的点表示的数是 -2+5=3或-2-5=-7． 故选：C． C 41 4.（2023秋•铁西区期中）下列各组数中互为相反数的是( ____ ) A. 与-2 B.-1与-(+1) C.-(-3)与-3 D.2与|-2| 【解析】解：- 与-2不是相反数，则A不符合题意； -(+1)=-1，则B不符合题意； -(-3)=3，它与-3互为相反数，则C符合题意； |-2|=2，则D不符合题意； 故选：C． C 42 5.（2023秋•连云港期中）当x= ____ 时，式子|x-2|+2023有最小值． 【解析】解：∵|x-2|≥0， ∴当|x-2|=0时，|x-2|+2023的值最小， ∴x-2=0， 即x=2， 故答案为：2． 2 43 6.（2023秋•贵阳期中）比较大小： ____ (填“＜”、“=”或“＞”=)． 【解析】解：因为 ， 所以 ， 故答案为：＞ ＞ 44 $$