2.5.1 直线与圆的位置关系（10大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点 1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点 2 直线与圆相交弦长 1、几何法求弦长：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． 2、代数法求弦长：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 知识点 3 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、切线长公式 过圆外一点引圆的两条切线，圆心坐标为，则切线长为 1、直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 3、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 4、圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0． 5、圆上的点到直线的距离求参数问题 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为定值． 当或时，点的个数为0； 当或时，点的个数为1； 当或时，点的个数为2； 当时，点的个数为3； 当时，点的个数为4． 题型一 直线与圆的位置关系判断 【例1】（23-24高二上·广东深圳·月考）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·月考）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【变式1-2】（23-24高二下·广东梅州·月考）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）直线与圆的公共点的个数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 根据直线与圆的位置关系求参数 【例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·月考）“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【变式2-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）（多选）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-4】（23-24高二上·天津滨海新·月考）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为 . 题型三 求圆的切线方程 【例3】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 与切线长有关的问题 【例4】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式4-1】（22-23高二上·福建宁德·期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 题型五 切点弦及其应用 【例5】（23-24高三下·海南·月考）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【变式5-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·月考）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.则点到直线的距离的最大值为 . 【变式5-3】（22-23高三上·河南郑州·月考）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 题型六 直线与圆相交弦长问题 【例6】（23-24高二上·湖南张家界·月考）直线：与圆相交、两点，则 ． 【变式6-1】（23-24高二下·上海宝山·月考）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式6-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）若直线与圆交于A，B两点，且，则的值为（   ） A．5或-15 B．-5 C．-5或15 D．15 【变式6-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）直线：与圆：相交于，两点，则的面积为 . 题型七 过定点直线最短弦长 【例7】（23-24高二下·湖南益阳·月考）直线截圆所得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·月考）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）已知实数满足，直线，该直线被圆所截得弦长的取值范围为 . 【变式7-3】（23-24高二上·河南·月考）已知直线与圆相交，则当圆截直线所得的弦长最短时，直线的方程为 . 题型八 圆上的点到直线的距离最值 【例8】（23-24高二上·四川眉山·月考）圆上的点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·福建泉州·月考）已知圆，则当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·浙江杭州·月考）点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D．12 题型九 直线与半圆相交求参问题 【例9】（23-24高二上·广东佛山·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）若方程有实数解，则实数的取值范围 . 【变式9-3】（23-24高二上·河北·月考）（多选）已知直线与曲线，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与曲线有且仅有一个交点 B．当时，直线与曲线有且仅有一个交点 C．当时，直线与曲线有两个交点 D．当或时，直线与曲线没有交点 【变式9-4】（23-24高二下·上海·月考）曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 题型十 圆上的点到直线的距离求参问题 【例10】（23-24高二上·贵州贵阳·月考）已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则 ． 【变式10-1】（23-24高二上·广东·月考）已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式10-2】（23-24高二上·浙江金华·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为 ． 【变式10-4】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点 1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点 2 直线与圆相交弦长 1、几何法求弦长：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． 2、代数法求弦长：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 知识点 3 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、切线长公式 过圆外一点引圆的两条切线，圆心坐标为，则切线长为 1、直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 3、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 4、圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0． 5、圆上的点到直线的距离求参数问题 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为定值． 当或时，点的个数为0； 当或时，点的个数为1； 当或时，点的个数为2； 当时，点的个数为3； 当时，点的个数为4． 题型一 直线与圆的位置关系判断 【例1】（23-24高二上·广东深圳·月考）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为， 故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心.故选：C 【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·月考）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为， 故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心.故选：C 【变式1-2】（23-24高二下·广东梅州·月考）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【解析】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交.故选：A. 【变式1-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）直线与圆的公共点的个数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【解析】圆的圆心，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为1或2.故选：BC 题型二 根据直线与圆的位置关系求参数 【例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，圆心到直线的距离， 即，解得故选：D 【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·月考）“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将配方，即， 表示圆需满足， 所以或，其圆心为，半径为， 因为直线与圆相离， 故圆心到直线的距离，解得， 结合或可得或， （） 则成立推不出直线与圆相离； 反之成立，故“”是 “直线与圆相离”的必要不充分条件，故选：B 【变式2-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【解析】由圆心为，半径为， ，即， 则，解得或.故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）（多选）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABCD 【解析】直线恒过定点，显然点在圆内， 因此，直线与圆相交， 所以实数的取值可能是0，1，2，3.故选：ABCD 【变式2-4】（23-24高二上·天津滨海新·月考）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为 . 【答案】 【解析】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得， 又，得到， 代入①式得到，解得，所以方程为, 故答案为：. 题型三 求圆的切线方程 【例3】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上， 所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得.故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由条件知点在圆上，所以直线的斜率为切线的斜率为， 即直线方程为，整理得：直线与 直线平行，直线方程为，则直线与的距离为，故选：A． 【变式3-2】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或.故选：D. 【变式3-3】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或．故选：AB． 题型四 与切线长有关的问题 【例4】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆:,即圆心半径 切线长为故选:B. 【变式4-1】（22-23高二上·福建宁德·期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为，切点为 由题意得当最小时，CP连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为，故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】⊙M：的圆心，半径， 由，得， 由题意可得圆心到直线的距离， 即，解得.故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】    将化为标准方程为：， 所以圆的圆心为，半径为2， 由题意，四边形面积为， 又因为， 所以当最短时，四边形面积最小，此时.故选：C 题型五 切点弦及其应用 【例5】（23-24高三下·海南·月考）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到，故选：C. 【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】 由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,，则， 所以直线的方程为． 【变式5-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·月考）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【解析】设，，， 由题得， 又，所以，同理. 即直线的方程是， 因为，则，代入得， 则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 【变式5-3】（22-23高三上·河南郑州·月考）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】圆，即， 由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则， ，，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以最短时，最短， 点C到直线的距离即为的最小值， 所以，所以的最小值为 题型六 直线与圆相交弦长问题 【例6】（23-24高二上·湖南张家界·月考）直线：与圆相交、两点，则 ． 【答案】 【解析】由解得或， 不妨令，所以. 【变式6-1】（23-24高二下·上海宝山·月考）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解析】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为.故选：B. 【变式6-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）若直线与圆交于A，B两点，且，则的值为（   ） A．5或-15 B．-5 C．-5或15 D．15 【答案】C 【解析】由题意， 在中，， ∴圆心坐标 ，半径为. 由得，圆心到直线的距离为 ， ∴圆心到直线的距离，解得：或，故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）直线：与圆：相交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】由，可得圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则弦长， 故. 题型七 过定点直线最短弦长 【例7】（23-24高二下·湖南益阳·月考）直线截圆所得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线化简为， 联立，得， 所以直线恒过定点， 点满足，所以点在圆内， 所以当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆心和定点的距离为1，所以最短弦长为.故选：B 【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·月考）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离， 所以， 要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为， 所以面积的最大值是.故选：A 【变式7-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）已知实数满足，直线，该直线被圆所截得弦长的取值范围为 . 【答案】 【解析】将代入直线可得， 则,即直线过定点; 因，故最短弦长是过点且垂直的弦长， 即弦长，最长弦是该圆的直径，即最长弦长为6， 故该直线被圆所截得弦长的取值范围为. 【变式7-3】（23-24高二上·河南·月考）已知直线与圆相交，则当圆截直线所得的弦长最短时，直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意得恒过点. 圆的标准方程为， 所以圆心， 且，可知点在圆内. 方法一：由直线与圆的几何性质知，当时，所截得弦长最短， 此时.即， 所以直线的方程为. 方法二：易得直线的方向向量为， 当圆截直线所得的弦长最短时，. 所以，解得， 所以直线的方程为. 题型八 圆上的点到直线的距离最值 【例8】（23-24高二上·四川眉山·月考）圆上的点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，故选：A. 【变式8-1】（23-24高二上·福建泉州·月考）已知圆，则当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，故圆的圆心坐标为，半径为， 由0，得，故直线过定点． 易知点在圆外，连接，则当与直线垂直时， 圆的圆心到直线的距离最大，为， 此时，所以，得．故选：B. 【变式8-2】（23-24高二上·浙江杭州·月考）点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，可得该直线方程为： 或， 设到直线和的距离为和，得 或，解得或， 又因为，所以，.故选B 【变式8-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【解析】设，，， 故，在圆上，且， 表示到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，于， ，， 故在圆上，. 故的最大值为.故选：C. 题型九 直线与半圆相交求参问题 【例9】（23-24高二上·广东佛山·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由曲线，可得， 又由直线，可化为，直线恒过定点， 作出半圆与直线的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A. 【变式9-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆， 直线的斜率为1，连接和， 要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移， 直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值. 当直线与重合时，， 当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即， 解得或（舍去）. 所以的取值范围是）.故选：D 【变式9-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）若方程有实数解，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】由可得， 则直线与曲线有公共点， 由可得， 所以，曲线表示圆的上半圆，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，，且，解得， 当直线过点时，，可得， 由图可知，当时，直线与曲线有公共点， 因此，实数的取值范围是. 【变式9-3】（23-24高二上·河北·月考）（多选）已知直线与曲线，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与曲线有且仅有一个交点 B．当时，直线与曲线有且仅有一个交点 C．当时，直线与曲线有两个交点 D．当或时，直线与曲线没有交点 【答案】BCD 【解析】把化成为， 因为，，所以曲线表示圆的下半部分，如图，，，． 当过时，，直线与曲线有且仅有一个交点， 当过时，，这时直线与曲线有两个交点， 当与曲线相切时，，解得（舍去）． ∴当或时，直线与曲线无交点； 当或时，直线与曲线有且仅有一个交点； 当时，直线与曲线有两个交点，故选BCD．] 【变式9-4】（23-24高二下·上海·月考）曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，，，即或， 当时，曲线方程表示在直线及左侧半圆，圆心为，半径为1， 当时，曲线方程表示在直线及右侧半圆，圆心为，半径为1， 曲线与直线有两个不同的交点， 等价于上述两个半圆组成的图形与直线有两个不同的交点， 在同一坐标系内作出曲线与直线，如图， 当直线与半圆相切时，，解得， 当直线过点时，， 由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点， 当直线过点时，，这条直线也过点，符合题意， 当直线与半圆相切时，，解得， 当直线过点时，， 由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型十 圆上的点到直线的距离求参问题 【例10】（23-24高二上·贵州贵阳·月考）已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则 ． 【答案】1 【解析】圆的圆心为，， 由题可知圆心到直线距离，则. 【变式10-1】（23-24高二上·广东·月考）已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】圆，化简为标准方程为， 则圆的圆心为，半径， 若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离，, 即，得或故选：D 【变式10-2】（23-24高二上·浙江金华·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1， 则圆心为到直线的距离等于1， ∴，解得.故选：B. 【变式10-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由圆可得圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离为1，则满足， 则，即，解得， 即的取值范围为． 【变式10-4】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 . 【答案】 【解析】由， 若，则需与矛盾，所以， 由，得点到直线的距离为， 由，得点在圆上， 根据题意恰有三组实数对满足关系式， 等价于圆上恰有三个点满足到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 则需圆的半径， 过作直线于，交圆于， 则， 则要使圆上恰有三个点满足到直线的距离为， 有. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$