第三单元平行四边形、梯形和三角形（单元讲义）-2024-2025学年五年级数学上册北京版

第三单元平行四边形、梯形和三角形（单元讲义） 2024-2025学年五年级数学上册北京版 知识梳理+专项练习 知 识 梳 理 一、平行四边形 1.平行四边形的定义。 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2.平行四边形的基本特征。 平行四边形的两组对边分别平行且相等。 3.长方形、正方形和平行四边形之间的关系。 长方形和正方形同平行四边形一样,都是两组对边分别平行且相等,长方形和正方形具有平行四边形的一切特征,所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形。正方形不仅具备长方形的所有特征,并且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。 4.平行四边形的特性。 平行四边形具有不稳定性,容易变形。 5.平行四边形的面积。 (1)认识平行四边形的底和高。 从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线,这点到垂足间的线段叫作平行四边形的高,垂足所在的边叫作平行四边形的底。平行四边形有无数条高,一般能画出两种长度的高。 (2)平行四边形的面积。 通过剪拼发现:长方形的面积与平行四边形的面积相等,平行四边形的底等于长方形的长;平行四边形的高等于长方形的宽。         长方形的面积=长×宽 平行四边形的面积=底×高 如果用S表示平行四边形的面积,a和h分别表示平行四边形的底和高,那么平行四边形的面积的字母公式为S=ah。 二、梯形 1.梯形的定义。 只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 2.平行四边形和梯形的异同点。 相同点:都是四边形;都有平行的对边。 不同点:平行四边形的两组对边分别平行且相等;梯形只有一组对边平行,且平行的这组对边不相等。 3.认识梯形各部分的名称。 在梯形中,互相平行的一组对边分别叫作梯形的上底和下底;不平行的一组对边叫作梯形的腰。从上底的任意一点向下底引垂线,这点到垂足间的线段叫作梯形的高。 4.认识直角梯形和等腰梯形。 (1)直角梯形。 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。 (2)等腰梯形。 两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴;直角梯形不是轴对称图形。 5.梯形的面积。                            两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形的上、下底之和,高等于梯形的高。每个梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。 平行四边形的面积=(上底+下底)×高,所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。 如果用a、b、h、S分别表示上底、下底、高和面积,则S=(a+b)×h÷2。 6.梯形面积计算公式的应用。 (1)已知梯形的上底、下底和高,可以直接运用梯形的面积公式来计算,即梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。 (2)高=面积×2÷(上底+下底) 上底+下底=面积×2÷高 三、三角形 1.三角形的含义和各部分的名称。 (1)三角形的含义。 由三条线段顺次首尾相接组成的图形叫作三角形。 (2)三角形各部分的名称。 三角形有三条边、三个顶点和三个角。 (3)三角形的特性。 三角形具有稳定性,不易变形。 (4)三角形三条边之间的关系。 三角形任意两边的和大于第三边。 2.三角形的分类。 (1)三角形按角分类: 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 直角三角形:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 (2)三角形按边分类。 不等边三角形:三条边都不相等的三角形叫作不等边三角形。         等腰三角形:有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 等边三角形:三条边都相等的三角形叫作等边三角形。 (3)等边三角形的三个角都是60°。等边三角形和等腰三角形都是轴对称图形。 (4)拓展提高。 在一个三角形中,相等的边所对的角一定相等;反之,如果两个角相等,那么它们所对的边一定也相等。 3.三角形的内角和。 (1)三角形的内角和定理。 通过观察发现:锐角三角形和钝角三角形各自拼成了一个平角。直角三角形的两个锐角拼起来和它的直角相等,三个角的度数相加的和是180°。 (2)三角形的内角和定理的应用。 已知三角形两个内角的度数,根据三角形的内角和等于180°,用内角和180°连续减去已知的两个角的度数,即可求出第三个角的度数。 在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以直接用90°减去已知锐角的度数,即可求出另一个锐角的度数。 4.三角形的面积。 (1)三角形的底和高。 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高,垂足所在的边叫作三角形的底。 任意一个三角形都有三条高。 (2)三角形面积公式的推导。         两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 平行四边形的底=三角形的底 平行四边形的高=三角形的高 平行四边形的面积=底×高 三角形的面积=底×高÷2 用S表示三角形的面积,a表示底,h表示高,则S=ah÷2。 (3)三角形面积公式的应用。 三角形的高h=2S÷a　 三角形的底a=2S÷h 四、组合图形 1.认识组合图形。 组合图形是由简单图形组合而成的。 2.组合图形的面积。 计算组合图形的面积时,要根据已知条件对图形进行分解,先转化成已学过的简单图形,分别计算出它们的面积,再求和或求差。 五、千米2和公顷 1.认识千米2和公顷。 (1)千米2和公顷是常用的测量较大土地面积的计量单位。 (2)边长是100米的正方形的面积是1公顷;边长是1千米(1000米)的正方形的面积是1千米2。 2.公顷和千米2之间的进率。 1公顷=10000米2　1千米2=100公顷=1000000米2 3. 千米2、公顷、米2之间的换算方法。 千米2换算成公顷,把小数点向右移动两位,反之,向左移动两位;公顷换算成米2,把小数点向右移动四位,反之,向左移动四位;千米2换算成米2,把小数点向右移动六位,反之,向左移动六位 一、选择题专 项 练 习 1．三条线段的长分别是：10厘米，5厘米，5厘米，那么这三条线段（　　） A．能围成等腰三角形 B．能围成钝角三角形 C．不能围成三角形 D．无选项 2．已知三角形两条边长分别为2、9，又知周长是偶数，那么第三边是（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 3．把一个长方形拉成一个平行四边形后（　　） A．面积和周长都不变 B．周长不变，面积变小 C．面积不变，周长变小 D．周长和面积都变小 4．一个三角形的最小内角是50°，这个三角形（    ）。 A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰三角形 5．下图中梯形ABCD的面积是40平方分米，三角形ABC的面积是25平方分米，则三角形BCD的面积是（　　） A．25平方分米 B．15平方分米 C．40平方分米 6．一个平行四边形底是12米，高是8米，把它的底和高都扩大3倍，它的面积会（　　） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 7．下面右侧的四个图形中，可以与下面左侧梯形拼成平行四边形的只有（    ）。 A．③ B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题 8．不等式3（x﹣2）＜x﹣1的非负整数解是( )． 9．平行四边形的底扩大到原来的2倍，高不变，面积( )。 10．有一片三角形草地，面积是平方米，高是米，底是( )米． 11．一个圆锥体的底面半径是3厘米，高是5厘米，从它的顶点向下沿着高将它切成两半，表面积会增加( )平方厘米． 12．填一填． （1）一个三角形的底和高都是4cm，它的面积是( )，如果底和高都扩大到原来的2倍，那么这时它的面积是( )． （2）三角形的面积是60平方厘米，底是15厘米，它的高是( )厘米． 13．一个梯形上底12米，比下底短6米，高6.5米，它的面积是( )． 14．一个平行四边形的面积是18平方米，与它同底等高的三角形的面积是( )． 15．一个梯形的下底是a厘米，比上底的2倍少b厘米，是高的3倍，这个梯形的面积是( )平方厘米． 16．摆一摆。    17．一个三角形的面积是16.2平方分米，高是8分米，它的底是( )分米。 三、判断题 18．平行四边形四条边的长度总和是它的周长。( ) 19．4米9厘米写成小数是4.9米。( ) 20．平行四边形具有容易变形的特点，这在实践中有广泛应用。( ) 21．当梯形的上底和下底相等时，就变成了平行四边形，当梯形的上底为0时，就变成了三角形。( ) 22．因为平行四边形的四条边定了，它的形状也定了，所以平行四边形具有稳定性。( ) 23．两个完全相同的三角形一定能拼成一个长方形。( ) 四、作图题 24．如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在图中画一个45°角，使A或B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边，要求：①使用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹。 五、解答题 25．公园里有一块面积是180平方米的三角形绿地（如图），底长24米．绿地扩展，把底延长8米，高不变． ①请在图上画出扩展后的三角形绿地．（只需画出示意图） ②列式计算出扩展后三角形绿地的总面积． 26．已知一个三角形中钝角是两个锐角和的2倍，那么这个钝角三角形中的钝角为多少度？ 27．如图是一堵砖墙，如果每平方米用砖170块，那么砌这堵墙一共需砖多少块？ 28．一块三角形地，底长是150米，高是50米，共收油菜籽1762.5千克，平均每公顷产油菜籽多少千克？ 29．（1）画出BC边上的高． （2）量出三角形BC边的长度和∠A的度数．BC=( )，∠A=( )． （3）这个三角形的周长是指( )；求出这个三角形的面积是多少． 30．一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长是多少厘米？它的每个角是多少度？ 31．过直线外一点P，作该直线的平行线，然后过P点，作一条垂线表角示这两条平行线间的距离． 32．用红纸做三角形小旗，一张红纸长3米，宽12分米，能做直角边分别为3分米和2分米的三角形小旗多少面？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B A B C B 1．C 【详解】试题分析：根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 解：因为5+5=10，不能满足：三角形任意两边之和大于第三边，所以这三条线段不能围成三角形； 故选C． 点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可． 2．C 【详解】试题分析：本题可先求出第三边的取值范围．再根据9+2为奇数，周长为偶数，可知第三边为奇数，从而找出取值范围中的奇数，即为第三边的长． 解：设第三边长为x， 则9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11． 又因为x为奇数， 所以x=9， 故选C． 点评：本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解，注意：偶数加偶数为偶数，奇数加奇数为偶数，难度适中． 3．B 【详解】因为一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的四条边的长度不变，进而根据周长的含义：围成平面图形一周的长，叫做平面图形的周长；可知周长不变；长方形被拉成平行四边形后，底的大小没变，而高变小了，根据平行四边形的面积等于底乘高，所以它的面积就变小了． 故选B． 4．A 【分析】三角形内角和180°，内角和减去最小内角＝另外两个角的和，确定最大内角，再判断三角形的类型即可。 【详解】180°－50°＝130° 130°－50°＝80° 最大内角不超过80°，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 【点睛】关键是知道三角形内角和，理解三角形分类标准。 5．B 【详解】试题分析：根据图知道用梯形ABCD的面积减去三角形ABC的面积即可求出三角形BCD的面积． 解：40﹣25=15（平方分米）， 答：三角形BCD的面积15平方分米； 故选B． 点评：关键是根据图得出梯形ABCD的面积减去三角形ABC的面积就是三角形BCD的面积． 6．C 【分析】依据平行四边形的面积=底×高，底和高都扩大3倍，则其面积扩大3×3=9倍，据此解答即可． 此题主要考查平行四边形的面积的计算方法的灵活应用． 【详解】3×3=9倍； 答：平行四边形的面积扩大9倍． 故选C． 7．B 【分析】平行四边形的对边平行且相等。两个完全相同的梯形一定能拼成平行四边形，据此解答。 【详解】①与左侧梯形可以拼成平行四边形； ②④与梯形不能拼成平行四边形； ③与左侧梯形完全相同，可以拼成平行四边形； 因此，右侧的四个图形中，可以与下面左侧梯形拼成平行四边形的只有①③； 故答案为：B 8．不等式的非负整数解是1，2，3 【详解】试题分析：先求出不等式3（x﹣2）＜x﹣1的解集，再据此求出其非负整数解． 解：去括号，得3x﹣6＜x﹣1， 移项，得3x﹣x＜﹣1+6， 合并同类项，得2x＜5， 系数化为1，得x＜． ∴不等式的非负整数解是1，2，3． 点评：本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键． 9．扩大2倍 【分析】平行四边形的面积＝底×高， 是乘积的形式，在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就扩大几倍，由此解题即可。 【详解】平行四边形的底扩大到原来的2倍，高不变，面积扩大2倍。 【点睛】解决本题的关键是能够利用积的变化规律来思考，进而解决问题。 10．4.2 【详解】试题分析：由三角形的面积S=ah可得：a=2S÷h，代入数据即可求解． 解：×2÷， =÷， =×， =4.2（米）； 答：底是4.2米． 故答案为4.2． 点评：此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用． 11．30 【详解】试题分析：沿着高竖直把它切成两半，增加了2个底是圆锥底面直径，高是圆锥高的三角形的面积；根据“三角形的面积=底×高÷2”进行解答即可． 解：（3×2）×5÷2×2， =30÷2×2， =30（平方厘米）； 故答案为30． 点评：解答此题的关键是应明确：沿着高竖直把圆锥切成两半，增加了2个底是圆锥底面直径，高是圆锥高的三角形的面积；进而解答即可． 12．8cm2，32cm2；8 【详解】试题分析：（1）根据三角形的面积公式S=ah÷2，知道三角形的底扩大2倍，高扩大2倍，面积是a×2×h×2÷2=2ah，即面积是原来的4倍． （2）根据三角形的面积公式：面积=底×高÷2，得出高=2×面积÷底，代入数据列式解答即可． 解：（1）4×4÷2=8（cm2）， （4×2）×（4×2）÷2， =8×8÷2， =32（cm2）． 答：它的面积是8cm2，如果底和高都扩大到原来的2倍，那么这时它的面积是32cm2． （2）60×2÷15， =120÷15， =8（厘米）． 答：它的高是8厘米． 故答案为8cm2，32cm2；8． 点评：本题主要是灵活利用三角形的面积公式S=ah÷2解决问题． 13．58.5平方米 【详解】上底是12米，下底比上底短6米，则下底等于12-6=6（米），根据梯形面积公式：S=（a+b）×h÷2，代入相应的数值计算即可． 14．9平方米 【详解】试题分析：三角形的面积=底×高，平行四边形的面积=底×高，因为三角形和平行四边形等底等高，则三角形的面积是平行四边形的面积的一半，据此即可求解． 解：根据题干分析可得：18÷2=9（平方米）， 答：与它同底等高的三角形的面积是9平方米． 故答案为9平方米． 点评：解答此题的关键是明白：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半． 15．+ab 【详解】试题分析：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2．要求这个梯形的面积需要先算出这个梯形的上底和高的长度，进一步求出面积． 解；这个梯形的上底：（a+b）（厘米）， 这个梯形的高：a（厘米）， 这个梯形的面积：[a+（a+b）]×a=+ab（平方厘米）． 答：这个梯形的面积是+ab平方厘米． 故答案为+ab． 点评：此题考查梯形面积的计算方法，解决此题关键是先用字母表示出梯形的上底和高的长度，进而求得面积． 16．三角；长方；圆 【分析】根据正方形、长方形，三角形、圆形的特点对所给拼图进行分类。 【详解】由分析可得：    【点睛】主要考查了平面图形的认识以及特征，要熟练掌握。 17．4.05 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，可以得到底边＝三角形的面积×2÷高，然后代入数据计算即可解答本题。 【详解】因为三角形的面积＝底×高÷2，所以底边＝三角形的面积×2÷高。 16.2×2÷8 ＝32.4÷8 ＝4.05（分米） 【点睛】此题主要三角形的周长和面积，明确三角形的面积＝底×高÷2是解答本题的关键。 18．√ 【分析】依据平面图形的周长的意义，即围成平面图形的一周线段长度的和，就是这个图形的周长，据此判断即可。 【详解】因为围成平面图形的一周线段长度的和，就是这个图形的周长，所以四边形的周长就是四条边长度的总和；所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查平面图形的周长的意义。 19．× 【分析】用小数表示米时，小数点左边的数字表示几米，小数点右边第一位上的数字表示几分米，小数点右边第二位上的数字表示几厘米，据此解答。 【详解】4米9厘米写成小数是4.09米，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了小数的初步认识，明确小数每个数位表示的意义是解答此题的关键。 20．√ 【详解】根据平行四边形的特性：易变性；可知：平行四边形具有易变性的特性，这个特性在实践中有广泛的应用。 平行四边形具有容易变形的特点，这在实践中有广泛应用；是正确的。 故答案为：√ 21．√ 【分析】梯形的上底和下底相等时，梯形的两条腰平行也相等，就是平行四边形；梯形上底为0时，就只剩下了3条边，就是三角形。 【详解】当梯形的上底和下底相等时，就变成了平行四边形，当梯形的上底为0时，就变成了三角形，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是熟悉三角形、平行四边形和梯形的特征。 22．× 【分析】平行四边形的特征：平行四边形内角和是360°；平行四边形具有不稳定性；对边平行且相等；据此解答。 【详解】根据分析：平行四边形具有不稳定性。 故答案为：× 【点睛】掌握平行四边形的特征是解答本题的关键。 23．× 【分析】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，但是不一定能拼成一个长方形，因为长方形是特殊的平行四边形，四个角都是直角，故要拼成长方形的三角形中，其中的一个角一定是直角，根据直角三角形的定义，这样的三角形一定是直角三角形。据此解答即可。 【详解】 如图：，这两个完全相同的三角形没有拼成一个长方形。即两个完全相同的三角形有可能拼成一个长方形。原题表述错误。 故答案为：× 24．见详解 【解析】依据等腰直角三角形两个底角是45°的特点来做图即可。 【详解】如图所示，AB，AC分别是小长方体的对角线，则三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。 【点睛】本题考查利用等腰直角三角形的性质作图，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的知识解决问题。 25．；240平方米 【详解】试题分析：①直接把原来的三角形绿地的底延长8米，高不变，就得到了扩展后的三角形的绿地； ②要求扩展后三角形绿地的总面积，先求得三角形绿地的高，再求得扩展部分的面积，进而求得扩展后三角形绿地的总面积；也可以先求得扩展后三角形绿地的底的长度，进而求得总面积． 解：①如图，把原来的三角形绿地的底延长8米，高不变，就得到了扩展后的三角形绿地； ②三角形绿地的高：180×2÷24=360÷24=15（米）， 扩展部分的面积：8×15÷2=60（平方米）， 扩展后三角形绿地的面积：180+60=240（平方米）； 答：扩展后三角形绿地的总面积240平方米． 点评：此题考查三角形面积的计算方法，解决此题关键是先求得三角形绿地的高，再求得扩展部分的面积或扩展后三角形绿地的底，进而问题得解． 26．120度 【分析】根据三角形的内角和是180度，又三角形中钝角是两个锐角和的2倍，即在三角形内角和中两个锐角占1份，钝角占2份，依此可求出两个锐角的度数，再乘2求出钝角，即可解答。 【详解】180÷（1＋1×2） ＝180÷（1＋2） ＝180÷3 ＝60（度） 60×2＝120（度） 答：这个钝角三角形中的钝角为120度。 27．1190块 【详解】试题分析：梯形的面积公式：S=（a+b）×h÷2，代入数求出这堵墙的面积，再乘170，就是用砖的块数．据此解答． 解：（3+4）×2÷2×170， =7×2÷2×170， =1190（块）． 答：砌这堵墙一共需砖1190块． 点评：本题的重点是先求出梯形的面积，再根据乘法的意义列式求出需要砖的块数． 28．4700千克 【详解】1502=3750（平方米） 1762.50.375=4700（千克/公顷） 29．；7cm，150°，三边长度之和；6.3cm2 【详解】试题分析：（1）经过三角形的顶点A（与底相对的点）向对边BC（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段AD就是三角形的一条高；（2）用刻度尺有刻度的一边靠紧BC，的0刻度与点B重合，与点C重合的刻度就是线段BC的长度；用量角器的0刻度线与AB（或AC）重合，点A与量角器的圆心重合，与BC（或AC）重合的刻度线所表示的角度就是∠A的度数； （3）这个三角形的周长是指三边长度之和；量出底BC和高AD，根据三角形的面积公式S=ah即可求出这个三角形的面积． 解：（1）画出BC边上的高如下图： （2）经度量，BC=7cm，∠A=150°； （3）经度量，AD=1.8cm， 这个三角形的面积是：×7×1.8=6.3（cm2）； 故答案为7cm，150°，三边长度之和． 点评：本题考查的知识点有：作三角形的高、线段的量度、角的度量，三角面积的计算等．注意作高用虚线，标出垂足． 30．12厘米；60度 【分析】已知该三角形是一个等边三角形，即三条边的长度都相等，三个内角都相等，在已知周长的情况下计算边长可用周长除以3计算边长，利用内角和除以3计算每个内角的度数。 【详解】36÷3＝12（厘米）；180°÷3＝60° 答：它的一条边长是12厘米，每个角是60度。 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解决本题的关键。 31． 【详解】试题分析：先让直角三角板的斜边跟已知直线重合，并让直尺靠紧三角板的一条直角边，然后将三角板靠紧直尺向P点平移，与P点重合后，沿三角板的斜边作直线即可；用直角三角板的一条直角边与这条直线重合，另一条直角边与直线外的已知点重合，再过这个已知点沿直角边做垂线即可． 解：所作已知直线的平行线如图所示， 点评：此题主要考查过直线外一点作直线的平行线和垂线． 32．120面 【详解】试题分析：这张长方形红纸长3米，也就是30分米，宽12分米，把它剪成长3分米宽2分米的小长方形，长可以剪小长方形的长10份，宽剪小长方形的宽6份，或这张纸的长可以剪小长方形的宽15份，宽可以剪小长方形的长4份，即可求出剪成多少个小长方形，每个小长方形再沿对角角剪开，就是2面角边分别为3分米和2分米的三角形小旗，据此即可解答． 解：3米=30分米， （30÷3）×（12÷2）×2， =10×6×2， =120（面）； 或（30÷2）×（12÷3）×2， =15×4×2， =120（面）； 答：能做直角边分别为3分米和2分米的三角形小旗120面． 故答案为120． 点评：解答此题的关键是看这张红纸能剪成长3分米、宽2分米的小长方形多少个．不论小长方形横着剪还是纵着剪都正好，因此两种剪法一样． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$