第五单元方程（讲义）-2024-2025学年五年级数学上册北京版

第五单元方程（单元讲义） 2024-2025学年五年级数学上册北京版 知识梳理+专项练习 知 识 梳 理 一、用字母表示数 1.用字母可以表示数,用含有字母的式子也可以表示数。 2.含有字母的式子的简便写法。 在含有字母的式子里,数和字母、字母和字母相乘时,乘号可以省略不写。省略乘号时,数字要写在字母的前面,数字是1时,可以省略不写。例如,1×x可以写成x;3×x可以写成3x;8×b可以写成8b;a×a可以写成a2,读作a的平方,表示两个a相乘。 3.用含有字母的式子表示数量关系并求值。 (1)用含有字母的式子可以表示数量关系,当字母的值确定时,含有字母的式子的值也随之确定。 (2)求含有字母的式子的值时,将字母的值代入原式,直接计算求出得数即可。 二、方程 1.等式和方程。 (1)认识等式。 把相等的量、式子或数用等号连接起来就成了等式。 例如,329-9=180+140　　　3a=9b　　 a-8=b+9 (2)等式的基本性质。 等式的基本性质:等式两边都加上(或减去)同一个数,左右两边仍然相等;等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),左右两边仍然相等。 (3)方程的意义。 含有未知数的等式叫作方程。 (4)方程与等式的关系。 所有的方程都是等式,但等式不一定是方程。         2.解方程。 (1)用等式的基本性质解一步方程 ①一步方程可以直接利用等式的基本性质求解。 ②形如ax=b(a≠0)的方程的解法。 　ax=b 解:ax÷a=b÷a→根据等式的基本性质 x=b÷a ③使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方程的解;求方程解的过程叫作解方程。 ④方程的检验:把求出的x的值代入原方程,看方程的左右两边是否相等,如果相等,则求出的x的值是方程的解;如果方程的左右两边不相等,则不是原方程的解。 (2)用等式的基本性质解稍复杂的方程。 解稍复杂的方程,可以先将方程化简,再利用等式的基本性质求解。 解形如ax±bx=c(a±b≠0)的方程的解法。 　　　ax±bx=c 解:(a±b)x=c (a±b)x÷(a±b)=c÷(a±b) x=c÷(a±b) 3.列方程解应用题。 列方程解应用题的步骤和方法: (1)弄清题意找出未知量,用x表示。 (2)找出题中的等量关系,列方程。 (3)解方程。 (4)检验并写出答语。 一、选择题专 项 练 习 1．解方程：1.2x÷0.6＝24,x＝（ ） A．0.08 B．8.5 C．3.4 D．12 2．当a=4时，3a+16的结果是（ ）． A．23 B．28 C．60 3．用x与y的差除它们的和，应写成（　　） A．x﹣y÷x+y B．（ x﹣y）÷（x+y） C．（x+y）÷（x﹣y） 4．下列各组式子中，结果一定相同的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 5．x=3、y=4、z=2、4x﹣2y+3z的值是（　　） A．21 B．10 C．14 D．5 6．x2=6x，则x=（　　） A．6 B．0 C．0或6 D．其他 二、填空题 7．省略乘号写出下面各式． a×16=( ) c×d=　 h×3=( ) b×b= ( ) x×x﹣4=( ) c×8+a=( )． 8．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排成一个最小的能被11整除的九位数，这个九位数是( )． 9．看图填空． ①买a件圆领衫要用( )元． ②用m元钱可以买( )盒饼干． ③买a盒饼干和b千克香蕉共需( )元． ④买a盒饼干比买b千克香蕉应多付( )元． 10．圆柱的体积用字母公式表示是( )；圆锥的体积用字母公式表示是　　 ． 11．用含有字母的式子表示数量关系：y除以3的商( )，a的平方加上a的2倍( )． 12．练习本每本a元，买8本要用( )元． 13．五（1）班有学生50人，其中男生有50﹣c人，c表示( )． 14．小明买3枝铅笔，每枝a元，付出5元，应该找回( )元． 15．一辆汽车从北京驶往天津，平均每小时行80千米，行b小时后还距天津40千米，用含有字母的式子表示北京到天津共有( )千米，汽车从北京到天津共需要( )小时． 16．请你任意写出一个方程．我写的方程是( )． 17．长方形宽是n厘米，长是宽的3.6倍，它的面积是( )． 三、判断题 18．x＝1.8是方程4x＋3.6＝10.8的解。( ) 19．一个等边三角形的边长是a米，则它的周长是4a平方米。( ) 20．5ab就是5（a＋b）。( ) 21．m×7.5可以简写成m7.5。( ) 22．一只青蛙4条腿，b只青蛙（b＋4）条腿。( ) 四、计算题 23．化简下面的式子。 9×c＝        4a×b＝      6h÷3＝        6×1.5m＝ 4a×6＝        7x＋8x＝    30a＋5a－21a＝    0.9b＋3.1b＋4.1a＋3a＝ 五、解答题 24．小军和小明的钱数相等，小军用去80元，小明用去280元，剩下的钱小军是小明的3倍．小军和小明各剩下多少元？ 25．某村今年养羊380只，今年养羊的只数比去年的2倍多100只．去年养羊多少只？ 26．甲、乙两列火车分别从相距456km的A、B两站同时相向开出，甲车的速度是85km/h，经过2.4h相遇．求乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 27．世界上最小的鸟是蜂鸟，一只麻雀的体重是106克，麻雀的体重比蜂鸟体重的50倍多1克．一只蜂鸟重多少克？（用方程解） 28．写出等量关系式 29．甲、乙两辆汽车同时从相距455千米的两地相对开出，经过3.5小时相遇，甲车每小时行68千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 30．有两筐同样的梨，第一筐重a千克，第二筐重b千克，第一筐比第二筐少卖m元． （1）用式子表示出梨的价钱． （2）当a=24，b=27，m=9时，每千克梨价钱是多少元？ 31．第七届世界军人运动会于2019年10月在湖北武汉举行。为了办好这次军运会——历史上规模最大、参赛人员最多的运动会，组委会招募的城市志愿者和赛会志愿者共计23.6万人，其中城市志愿者人数比赛会志愿者的8倍多0.2万人。参与服务的赛会志愿者和城市志愿者各有多少万人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C B C 1．D 【解析】略 2．B 【解析】计算含字母的式子用已知的数字替换对应的字母然后正常计算即可． 【详解】3a+16=3×4+16=12+16=28． 故答案为B． 3．C 【详解】试题分析：先分别求出x与y的差、和，用它们的和除以它们的差即可． 解：（x+y）÷（x﹣y）， 故选C． 点评：此题主要考查了“除”和“除以”的不同，注意算式中要适时添加括号． 4．C 【分析】和表示两个相乘，和表示两个相加，假设出的值代入计算即可。 【详解】A．当时，，，此时和结果不相同，错误； B．当时，，，此时和结果不相同，错误； C．表示两个相乘的积，可以写为，则和结果一定相同，正确； D．当时，，，此时和结果不相同，错误。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握两个相乘和两个相加的表示方法是解答题目的关键。 5．B 【详解】试题分析：将x=3、y=4、z=2代入含有字母的式子4x﹣2y+3z中，即可求的式子的数值． 解：当x=3、y=4、z=2时， 4x﹣2y+3z， =4×3﹣2×4+3×2， =12﹣8+6， =10； 故选B． 点评：解决本题只要把字母表示的数值代入算式计算即可得解． 6．C 【详解】试题分析：先移项把方程化为一般式，再把方程提出公因式x，从而得到ab=0的形式，进而得问题的解． 解：由题意得： x2=6x， x2﹣6x=0， x（x﹣6）=0． x1=0，或x2=6． 故选C． 点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程．通过因式分解把方程化为ab=0的形式，得a=0，或b=0．还可以这么做：由于是选择题，可以将选项代入算式计算，成为等式的最佳答案即可． 7．16a，cd，3h，b2，x2﹣4，8c+a 【详解】试题分析：当字母和字母相乘时，中间的乘号可以省略，当字母和数相乘时，省略乘号，数要写在字母的前面． 解：a×16=16a    c×d=cd    h×3=3h b×b=b2 x×x﹣4=x2﹣4 c×8+a=8c+a 故答案为16a，cd，3h，b2，x2﹣4，8c+a． 点评：本题主要考查了字母与字母相乘及字母和数相乘时的简便写法． 8．124365879 【详解】试题分析：能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．所以此题，1﹣9加起来等于45，要想被11整除，设偶数位和或奇数位和为x，则x+x+11=45，x=17，因为这个数最小的排列方式（先不考虑被11整除）为123456789，其中奇数位和=25大于17，所以奇数位和=28，偶数位和=17，因为123456789中奇数位和比28小三，要求最小的九位数，就把越大的数越靠后，所以把后六位数每两位调换，变成124365879． 解：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， 设偶数位和或奇数位和为x， 则x+x+11=45， 2x+11﹣11=45﹣11， 2x÷2=34÷2， x=17， 因为这个数最小的排列方式（先不考虑被11整除）为123456789， 其中奇数位和1+3+5+7+9=25大于17， 所以奇数位和是28，偶数位和是17， 因为123456789中奇数位和比28小3， 要求最小的九位数，就把越大的数越靠后， 所以把后六位数每两位调换，变成124365879． 故答案为124365879． 点评：能被11整除数的特点是：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除． 9．76a，m÷13.5，13.5a+5.6b，13.5a﹣5.6b 【详解】试题分析：①一件圆领衫76元，买a件需要a个76，即76a元； ②一盒饼干13.5元，m元里面有几个13.5元，就可以买几盒，即m÷13.5盒； ③买a盒饼干需要a个13.5，即13.5a元，b千克香蕉需要5.6×b=5.6b元，再把它们加起来，即13.5a+5.6b元； ④a盒饼干需要13.5a元，千克香蕉需要5.6b元，然后用饼干的钱数减去香蕉的钱数，即13.5a﹣53.6b元． 解： ①买a件圆领衫要用76a元． ②用m元钱可以买m÷13.5盒饼干． ③买a盒饼干和b千克香蕉共需13.5a+5.6b元． ④买a盒饼干比买b千克香蕉应多付13.5a﹣5.6b元 故答案为76a，m÷13.5，13.5a+5.6b，13.5a﹣5.6b． 点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解． 10．v=sh，v=sh 【详解】试题分析：圆柱的体积=底面积×高，如果用v表示体积，用s表示底面积，用h表示高，那么圆柱的体积公式用字母表示为：v=sh； 圆锥的体积=×底面积×高，如果用v表示体积，用s表示底面积，用h表示高，那么圆柱的体积公式用字母表示为：v=sh． 解：圆柱的体积公式用字母表示为：v=sh； 圆锥的体积公式用字母表示：v=sh． 故答案为v=sh，v=sh． 点评：此题考查的目的是使学生牢固掌握圆柱和圆锥的体积公式，并且能够用字母表示圆柱和圆锥的体积公式． 11．y÷3，a2+2a 【详解】试题分析：根据除法的意义表示出y除以3的商； 根据平方和乘法的意义先表示出a的平方和a的2倍，再相加即可． 解：y除以3的商可以表示为：y÷3， a的平方加上a的2倍可以表示为：a2+2a． 故答案为y÷3，a2+2a． 点评：考查了用字母表示数，正确理解题意是解决这类题的关键． 12．8a 【详解】试题分析：此题用字母表示数，可根据单价×数量=总价，即可写出用字母表示的数． 解：练习本每本a元，买8本要用8a元． 故答案为8a． 点评：此题是已知单价和数量，求总价，根据关系式即可表示出总价． 13．女生人数 【详解】试题分析：因为五（1）班学生包括男生和女生，男生人数=全班人数﹣女生人数，所以c是女生人数，据此解答即可． 解：男生人数=全班人数﹣女生人数， =50﹣c， 所以c是女生人数． 故答案为女生人数． 点评：解决本题的关键是根据题意找出等量关系式，再一一对应找出字母表示的数的意义． 14．5﹣3a 【详解】试题分析：求应该找回的钱数，就用付出的钱数减去花了的钱数即可得解． 解：5﹣a×3=5﹣3a（元）； 故答案为5﹣3a． 点评：解决此题关键是先求出买铅笔花了的钱数，进而用付出的钱数减去花了的钱数． 15．80b+40，b+0.5 【详解】试题分析：（1）根据速度，路程，时间的关系，可以求出b小时行驶的路程，即可表示晋江到福州共有的路程，（2）用路程除以速度就是时间． 解：（1）80b+40； （2）b+40÷80=b+0.5； 故答案为80b+40，b+0.5． 点评：解答此题的关键是，根据速度，路程，时间的关系，找准对应量，列式解答即可． 16．2x+1=7 【详解】试题分析：根据方程的定义只要符合两个条件一、含有未知数，二、等式．由此可以解决问题． 解：含有未知数的等式叫方程，2x+1=7，符合方程的定义． 故答案为2x+1=7． 点评：紧扣方程的定义，由此即可解决． 17．3.6n2平方厘米 【详解】试题分析：该长方形宽是n厘米，因为“长是宽的3.6倍”，所以长是3.6n厘米，再依据长方形的面积公式求解即可． 解：因为长方形宽是n厘米，长是宽的3.6倍， 则长方形的长是3.6n厘米， 该长方形的面积是：3.6n×n=3.6n2（平方厘米）． 故答案为；3.6n2平方厘米． 点评：本题考查了用字母表示数，关键是根据题目所给的长方形的长与宽的关系表示出长方形的长，用到的知识点是长方形面积公式，要求学生熟练掌握，同时也要注意单位． 18．√ 【分析】依据等式的性质，方程两边同时减3.6，再同时除以4，求出方程的解，再与x＝1.8比较即可解答。 【详解】4x＋3.6＝10.8。 解：4x＋3.6﹣3.6＝10.8﹣3.6 4x＝7.2 4x÷4＝7.2÷4 x＝1.8， 故答案为：√ 19．× 【分析】等边三角形三条边都相等，所以等边三角形的周长＝边长×3。据此解答。 【详解】a×3＝3a（米），即一个等边三角形的边长是a米，则它的周长是3a米。 故答案为：× 20．× 【分析】根据乘法分配律：c（a＋b）＝ca＋cb，即可得出5（a＋b）＝5a＋5b，而5ab表示的是其三个数的乘积，其意义不同，由此即可得出答案。 【详解】5（a＋b）＝5a＋5b，与5ab的意义不同，由此可知题干所述错误。 故答案为：× 【点睛】关键是理解乘法分配律的用法。 21．× 【分析】数字和字母相乘的简写方法：数字在前，字母在后，乘号省略不写，据此解答。 【详解】m×7.5可以简写成7.5m，故原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】解答本题的关键是掌握数字和字母相乘的简写方法。 22．× 【分析】一只青蛙4条腿，求b只青蛙应该用乘法，据此即可解答。 【详解】4×b＝4b； 故答案为：× 【点睛】本题考查了用字母表示数的掌握和运用。 23．9c　4ab　2h　9m　24a　15x　14a　4b＋7.1a 【详解】略 24．小军300元；小明100元 【分析】根据题意可知，设小明原来有x元，则小军原来也是x元，用小军原来的钱数-小军用去的钱数=（小明原来的钱数-小明用去的钱数）×3，据此列方程计算，然后用原来的钱数-用去的钱数=剩下的钱数，分别求出两人剩下的钱数，据此列式解答． 【详解】解：设小明原来有x元． x-80=3（x-280） x=380 小军剩下：380-80=300（元） 小明剩下：380-280=100（元） 答：小军300元，小明100元． 25．140只 【详解】根据题意，去年养羊数量×2+100=今年养羊数量． 解：设去年养羊x只，         把x=140代入方程， 2x+100=380               方程左边=2x+100 2x+100-100=380-100            =2×140+100 2x=280                =280+100 2x÷2=280÷2             =380 x=140                =方程右边 所以，x=140是方程的解． 答：去年养羊140只． 26．105千米 【详解】考点：列方程解三步应用题(相遇问题)． 分析：设乙车每小时行x千米，根据路程=速度×时间，分别求出两车相遇时行驶的路程，再根据甲车2.4小时行驶路程+乙车2.4小时行驶路程=456千米列方程，再依据等式的性质解方程即可解答． 解答：设乙车每小时行x千米， 85×2.4+2.4x=456 204+2.4x=456 2.4x=252 x=105 27．2.1 【详解】解：设一只蜂鸟重x克， 50x+1=106 50x=105 x=2.1 答：一只蜂鸟重2.1克． 【点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：蜂鸟的体重×50+1克=麻雀的体重是106克，列方程． 28．3x=78 【详解】试题分析：由题意衣服的价钱是围巾的3倍，可得出围巾的价钱×3=衣服的价钱，由此关系列出方程即可． 解：由题意可得：围巾的价钱×3=衣服的价钱， 3x=78， 故答案为3x=78． 点评：考查学生分析题目中的等量关系，并根据等量关系式列出方程的能力． 29．42千米 【详解】此题属于相遇问题，甲车所行的路程与乙车所行的路程和就是两地之间的距离，设出乙车的速度，列出方程解答即可． 30．（1）元，（2）3元 【详解】试题分析：（1）先求出第一筐比第二筐少的千克数，再用第一筐比第二筐少卖的钱数除以第一筐比第二筐少的千克数，就是要求的答案； （2）把a=24，b=27，m=9时代入（1）中求出的式子，即可得出答案． 解：（1）m÷（b﹣a）， =（元）， （2）把a=24，b=27，m=9，代入， 即9÷（27﹣24）， =9÷3， =3（元）， 答：梨的价钱是元，当a=24，b=27，m=9时，每千克梨价钱是3元． 点评：解答此题的关键是，把所给的字母当成已知数，再根据题中的数量关系，即可得到用字母表示的式子；再把字母表示的数代入式子，即可求出答案． 31．赛会志愿者：2.6万人；城市志愿者：21万人 【分析】假设参与服务的赛会志愿者有x万人，则城市志愿者有（）万人，根据数量关系：城市志愿者＋赛会志愿者＝23.6，列出方程，解答方程即可。 【详解】解：设参与服务的赛会志愿者有x万人，则城市志愿者有万人。      （万人） 答：参与服务的赛会志愿者有2.6万人，城市志愿者有21万人。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$