精品解析：湖北省黄石市黄石港区黄石市第十五中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024年九年级起点考试数学试奍 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使有意义，则x的取值范围为( ) A. x≤0 B. x≥－1 C. x≥0 D. x≤－1 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某次文艺演中若干名评委对八（1）班节目给出评分.在计算中去掉一个最高分和最低分.这种操作，对数据的下列统计一定不会影响的是( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，， B. 1，5，2 C. ，5， D. 0，， 5. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分，，，则的周长是（　　） A. 16 B. 14 C. 26 D. 24 7. 要得到抛物线，可以将（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 8. 关于 的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为万元，若设5月、6月每月的增长率为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 12. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选 _____．（填甲、乙、丙或丁） 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 13. 如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________; 14. 如图，已知菱形 的对角线，，于，则的长是________． 15. 如图，在正方形 中，是对角线上一点，且满足，连接 并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点，在下列结论中： ①；②；③． 其中不正确的结论有_________ 三、解答题（本大题共9小题，共75分.） 16. 计算：（1） （2） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：如图，矩形 的对角线 与相交于点 ，，. （1）求证：； （2）求 的长． 19. 已知关于x的方程x2＋ax＋a-1＝0 （1）当该方程的一个根为-3时，求a的值及该方程的另一根 （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根 20. 如图，直线过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）． （1）求直线AB的解析式和a的值； （2）求△AOP的面积． 21. 某校团委开展校园防欺凌教育活动，开展活动前，全校七、八、九年级随机抽取了50名学生进行校园防欺凌的相关知识测试，测试题有10道，每题1分，测试成绩绘制成表1．在教育活动开展后，再次从全校七、八、九年级随机抽取若干名学生进行相关知识测试，测试题数和分值不变，测试成绩绘制成不完整的统计图如图1和图2．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表1 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 6 8 10 10 12 4 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 开展活动前 a 7 32% 开展活动后 9 b 根据统计图表中的数据，解答下列问题： （1）______，______，______，补全图2中的条形统计图； （2）若该学校七、八、九年级共有1500名学生，在开展校园防欺凌教育活动后，请你估算对防欺凌相关知识掌握合格的学生数； （3）请你从一个角度分析本次校园防欺凌教育活动的效果． 22. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少； （2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？ 23. 如图，正方形 中，点为边 的上一动点，作交、分别于、点，连． （1）若点E为 的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为 的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 24. 如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级起点考试数学试奍 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使有意义，则x的取值范围为( ) A. x≤0 B. x≥－1 C. x≥0 D. x≤－1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义有条件进行求解即可. 【详解】要使有意义，则被开方数要为非负数， 即， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的性质，根据算术平方根的定义及二次根式的性质逐项判断即可求解，掌握算术平方根的定义和二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、无意义，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 某次文艺演中若干名评委对八（1）班节目给出评分.在计算中去掉一个最高分和最低分.这种操作，对数据的下列统计一定不会影响的是( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到平均数、方差，可能会影响到众数， 一定不会影响到中位数， 故选B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、方差及众数的意义，难度不大． 4. 方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，， B. 1，5，2 C. ，5， D. 0，， 【答案】C 【解析】 【详解】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，5，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识点是解题关键．注意：找各项的系数时，带着前面的符号． 5. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0， ∴图象过一、二、三象限， 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 6. 如图，在中，平分，，，则的周长是（　　） A. 16 B. 14 C. 26 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，等腰三角形的判定求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的等角对等角是解答的关键． 7. 要得到抛物线，可以将（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），y=x2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y=（x-1）2+3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 8. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 9. 为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为万元，若设5月、6月每月的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 200（1+x）2＝500， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题． 10. 如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的对称轴在负半轴， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 12. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选 _____．（填甲、乙、丙或丁） 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 【答案】丁 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵乙和丁的平均数较大， ∴从乙和丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故答案为：丁． 【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________; 【答案】96m2． 【解析】 【分析】在Rt△ADC中，由勾股定理求得AC=10m，在利用勾股定理的逆定理判定△ACB为直角三角形，利用S阴影= AC×BC-AD×CD即可求解. 【详解】在Rt△ADC中， ∵CD=6m，AD=8m， ∴AC2 =AD2 +CD2 =82 +62 =100， ∴AC=10m，（取正值）． 在△ABC中， ∵AC2 +BC2 =102 +242 =676，AB2 =262 =676． ∴AC2 +BC2 =AB2 ， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°． ∴S阴影= AC×BC-AD×CD=×10×24- ×8×6=96（m2 ）． 故答案为96m2． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及根据勾股定理判定直角三角形，证得△ABC是直角三角形是解题的关键． 14. 如图，已知菱形的对角线，，于，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及对菱形的性质的理解及运用，根据已知可求得，的长，再根据勾股定理即可求得 的长，菱形的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积，即可求得的长． 【详解】解∶如图， ∵ 四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点 ，连接，过 点作于点 ，延长交于点，在下列结论中： ①；②；③． 其中不正确的结论有_________ 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，四边形的面积，先推导出，进而得出，得到，，再证得得到，，即可判定①；根据三角形的外角求出，即可判断②；连接，得出为等腰直角三角形，可得，得到，即可判断③；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①②正确； 如图，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ 不垂直， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∴不正确的是③， 故答案为：③． 三、解答题（本大题共9小题，共75分.） 16. 计算：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解法解方程； （2）因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 18. 已知：如图，矩形的对角线 与相交于点，，. （1）求证：； （2）求 的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，，进而可得为等边三角形，得到，即可求证； （）由可得，设，则，利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 19. 已知关于x的方程x2＋ax＋a-1＝0 （1）当该方程的一个根为-3时，求a的值及该方程的另一根 （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根 【答案】（1）a的值为4，方程的另一根为-1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将x＝-3代入原方程计算即可得到a的值，求解原方程即可得到方程的另一根； （2）根据一元二次方程判别式的性质判断，即可完成求解． 【详解】（1）将x＝-3代入原方程得：9-3a＋a-1＝0 解得：a＝4 ∴x2＋4x＋3＝0 ∴方程的另一根为-1 ∴a的值为4，方程的另一根为-1； （2）∵方程的判别式 ∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程及其判别式的性质，从而完成求解． 20. 如图，直线过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）． （1）求直线AB的解析式和a的值； （2）求△AOP的面积． 【答案】（1）-1（2） 【解析】 【分析】(1)设直线的表达式为y=kx+b，把点A. B的坐标代入求出k、b，即可得出答案； 把P点的坐标代入求出即可得到a； (2)根据坐标和三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入y＝kx+b，得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3． 当x＝2时，y＝﹣2x+3＝﹣1， ∴点P的坐标为（2，﹣1）， 即a的值为﹣1． （2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，如图所示． 当x＝0时，y＝﹣2x+3＝3， ∴点D的坐标为（0，3）． S△AOP＝S△AOD+S△POD＝OD•|xA|+OD•|xP|＝×3×1+×3×2＝． 【点睛】本题考查一元一次方程和直角坐标系的问题，解题的关键是掌握求解一元一次方程． 21. 某校团委开展校园防欺凌教育活动，开展活动前，全校七、八、九年级随机抽取了50名学生进行校园防欺凌的相关知识测试，测试题有10道，每题1分，测试成绩绘制成表1．在教育活动开展后，再次从全校七、八、九年级随机抽取若干名学生进行相关知识测试，测试题数和分值不变，测试成绩绘制成不完整的统计图如图1和图2．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表1 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 6 8 10 10 12 4 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 开展活动前 a 7 32% 开展活动后 9 b 根据统计图表中的数据，解答下列问题： （1）______，______，______，补全图2中的条形统计图； （2）若该学校七、八、九年级共有1500名学生，在开展校园防欺凌教育活动后，请你估算对防欺凌相关知识掌握合格的学生数； （3）请你从一个角度分析本次校园防欺凌教育活动的效果． 【答案】（1）8，，78， 补全的条形统计图如图所示： （2）1170名 （3） 本次校园防欺凌教育活动的效果良好，理由如下： 开展校园防欺凌教育活动后，学生测试成绩的平均数，中位数以及合格率比开展活动前高得多，所以本次校园防欺凌教育活动的效果良好． 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体，理解统计图的信息是解本题的关键； （1）由众数与中位数的含义求解众数与中位数，利用合格人数除以总人数可得合格率，再补全统计图即可； （2）由总人数乘以合格率即可； （3）比较活动后与活动前的平均数，中位数，合格率即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵开展活动前8 分的人数最多， ∴众数是分， ∵开展活动后，参加的人数为（人） ， ∴获得9分的人数有（人）， ∴获得分的有：（人）， ∴第25个，26个数据为分，分， ∴中位数为（分）， ∴合格率为：； 【小问2详解】 （名）． 答：在开展校园防欺凌教育活动后，对防欺凌相关知识掌握合格的学生约有1170名． 【小问3详解】 略 22. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少； （2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？ 【答案】（1）应去乙公司购买；（2）该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． 【解析】 【分析】（1）分别计算出在甲、乙两家公司购买6台图形计算器各需多少钱，比较即可； （2）设该单位购买x台图形计算器，用x表示出在甲、乙两家公司购买需要的费用，把总价7500代入，看哪个适合题意． 【详解】（1）在甲公司购买6台图形计算器需要6×（800﹣20×6）＝4080（元）， 在乙公司购买需要75%×800×6＝3600（元）， ∵3600＜4080， ∴应去乙公司购买； （2）设该单位购买x台图形计算器， 若在甲公司购买则需要花费x（800﹣20x）元； 若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x元； ①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器， 则有x（800﹣20x）＝7500， 解之得x1＝15，x2＝25． 当x1＝15时，每台单价为800﹣20×15＝500＞440，符合题意； 当x2＝25时，每台单价为800﹣20×25＝300＜440，不符合题意，舍去． ②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器， 则有600x＝7500，解之得x＝12.5，不符合题意，舍去． 答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． 【点睛】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费＝单价×数量，这一等量关系，解决此题就会比较容易．注意不要忽视了单价不低于440元这个条件． 23. 如图，正方形中，点为边 的上一动点，作交、分别于、 点，连． （1）若点E为 的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为 的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】（1） 证明：如图1中，     四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明 点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到，使得，连接， ， ， 又， 分别是 ，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【小问3详解】 取的中点，连接，， ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 24. 如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式； （2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴； （3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是； （2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1； （3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论： ①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）； ②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）； ③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意． 由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）． 考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $