第五单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册北京版

第五单元圆（单元讲义） 2024-2025学年六年级数学上册北京版 知识梳理+专项练习 知 识 梳 理 一、认识圆 1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形 2、圆心:将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等 3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的用字母表示为:d=2r或r=d/2 8、轴对称图形: 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线) 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形半圆。 只有2条对称轴的图形是:长方形 只有3条对称轴的图形是:等边三角形 只有4条对称轴的图形是:正方形; 有无数条对称轴的图形是:圆、圆环， 二、圆的周长 1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示2、圆周率实验 : 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai)表示。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14 倍 (3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之. 4、圆的周长公式:C=πdd=C÷n 或 C=2πrr=C÷2n 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长: (1)周长的一半:等于圆的周长:2计算方法:2πr÷2即πr(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+2r 三、圆的面积 1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。 2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式的推导: (1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方，化曲为直;化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。 (2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 (3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 因为:长方形面积=长x宽 所以:圆的面积 =圆周长的一半 x 圆的半径 S圆=nrxr 圆的面积公式:S圆=πr 4、环形的面积: 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.) S环=R-nr2或 环形的面积公式:S环=π(R2-r2)。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如: 在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。 6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如: 两个圆的半径比是2:3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即:4:π8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。 9、确定起跑线: (1)每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长 +两个直道的长度。 (2)每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度，(因此起跑线不同) (3)每相邻两个跑道相隔的距离是:2xπx跑道的宽度 (4)当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 专 项 练 习 一、选择题 1．下图中的涂色部分是扇形的是（    ）。 A．   B．   C．   D．   2．一只挂钟的时针长5cm，分针长8cm，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”（ ）cm，时针扫过的面积是（ ）平方厘米． A．8π，12.5π B．96π，25π C．96π，12.5π 3．下面图形中的角是45°圆心角的是（    ）。 A． B． C． D． 4．自行车后轮的半径是前轮的1.5倍，后轮转动12周，前轮转了（ ）周． A．8 B．12 C．18 5．以正方形的边长为半径的圆，它的面积是正方形面积的（　　）倍． A．3 B．4 C．3.14 D．9 6．（　　）决定圆的大小． A．圆心 B．面积 C．圆周率 D．半径 二、填空题 7．在春季研学活动中，张亮和李明带领同学们动手搭建了一个近似于圆锥形状的野营帐篷。为选择适当的空地，他们测量出该帐篷的底面半径是3米，高是2.4米。搭建该帐篷所需的占地面积是( )平方米，所容纳的空间是( )立方米。 8．把圆规的两脚分开，使圆规两脚间的距离是3cm，这样画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm． 9．圆周率是圆的( )除以( )的商，用字母( )表示，计算时通常取( )． 10．在同一个圆内，所有的( )和( )都分别相等，半径的长度是直径的( )． 11．用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是( )，通常用字母( )表示，( )决定圆的位置。 12．用一根长18.84cm的铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )cm²． 13．一个圆的直径是9cm，它的半径为( )，一个圆的半径为5dm，它的直径为( )． 14．一只挂钟，经过1小时，它的时针尖端与分针尖端走过角度的比是( )∶( )；如果分针长5厘米，在这1小时里这根分针扫过的面积是( )． 15．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形纸板上，剪下一个最大的圆，剩下纸板的面积是( )平方厘米。 16．等腰直角三角形的一腰长是8厘米，以它的两腰为直径分别画两个半圆，那么，阴影部分的面积共有( )平方厘米。 17．在一张长6厘米，宽4厘米的长方形内画半径是1厘米的圆，这样的圆最多能画( )个． 三、判断题 18．半径越大，圆的面积越大．     ( ) 19．r＝2时，圆的周长与面积相等。( ) 20．所有扇形都是轴对称图形，且只有一条对称轴。( ) 21．从长8厘米，宽6厘米的长方形上剪下一个最大的圆，圆的直径是6厘米。( ) 22．小圆半径是大圆半径的 ，那么小圆面积也是大圆面积的 ． ( ) 四、作图题 23．再画一个圆，使这两个圆组成的图形有无数条对称轴，然后画出两条对称轴． 五、解答题 24．把一只羊拴在一块长8m，宽6m的长方形草地上，拴羊的绳长2m，那么这只羊吃到草的最大面积是多少平方米？如果要使羊吃草的面积最小，应该将羊拴在这个长方形草地的什么位置？ 25．附加题：在边长4厘米的正方形外面画一个圆．并让正方形的四个顶点都在圆上．求出圆的面积． 26．在一个圆形建筑物的周围种树。树要种在半径为60米的一个圆周上，计划每隔8米种一棵。这个建筑物的周围一共要种多少棵树？ 27．甲乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是190米/分，乙的速度是150米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 28．我会求下面图形的面积． （1）　        （2） 29．（1）过A点画它对边上的高，标出直角标记，量出高的长度是( )．（保留整厘米数） （2）以AB为半径，A为圆心，画一个圆． （3）过点A画它对边平行线． 30．画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，再在这个长方形中作一个最大的半圆，最后计算这个半圆的周长是多少，面积是多少？ 31．如图是一个钟面,分针长6cm,时针长4cm,分针的尖端走一圈走多少厘米?时针走一圈扫过的面积是多少? 32．一个直径6米的花坛，周围铺一条2米宽的环形石路，环形石路的面积是多少平方米？ 33．青海省德令哈市的塔式光热电站是我国戈壁滩上的超级工程，这个发电站的占地面积大约是多少平方千米？ 发电站中间是一座高200米的吸热塔，24万片反光镜层层围绕着吸热塔组成一个直径约1.8千米的圆。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A C C D 1．C 【分析】由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形，据此解答即可。 【详解】A．不是扇形； B．不是扇形；     C．是扇形； D．  不是扇形； 故答案为：C。 【点睛】明确扇形的概念是解答本题的关键。 2．C 【详解】试题分析：①、从上午8时到下午2时，一共是6个小时，根据一小时分钟走一圈，所以分钟共走了6圈，分针尖端走过的路程就是6个以分针长度为半径圆的周长； ②、从上午8时到下午2时，一共是6个小时，因为一个钟面有12个小时，所以时针“扫过”的面积，是以时针为半径的半个圆的面积． 解答：解：①C=2πr =2×π×8 =16π（厘米） 16π×6=96π（厘米）； ②S=πr2 =π×52 =25π（平方厘米） 25π÷2=12.5π（平方厘米） 故选C． 点评：此题考查了求圆的周长和面积以及钟面的有关知识． 3．A 【分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角；据此解答即可。 【详解】A. ，是圆心角，并且角度是45°，符合题意。 B． ，是圆心角，但是一个钝角，大于45°，不符合题意。 C． ，顶点不在圆心上，不是圆心角。不符合题意。 D． ，顶点不在圆心上，不是圆心角，不符合题意。 故选择：A。 【点睛】此题主要考查了圆心角的含义，注意基础知识的积累。 4．C 【详解】解：设前轮半径为r，那么后轮半径为1.5r， 后轮行的路程为：1.5r×2×π×12=36πr， 前轮行的圈数为：36πr÷（2πr）=18（圈）； 答：前轮转动18圈． 故选C． 【点评】解答此题的关键是明白：前轮和后轮转动的路程是一定的，也就是说前轮的周长乘圈数，与后轮的周长乘圈数的乘积是一定的，从而列比例求解． 5．C 【分析】利用圆的半径与正方形的边长相等，分别表示出圆和正方形的面积，再求圆的面积是正方形的面积的几分之几，用除法计算即可． 【详解】解：设圆的半径为r，则正方形的面积=r×r=r2，圆的面积=πr2， 所以πr2÷r2=π倍． 故选C． 6．D 【详解】试题分析：根据“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”进行解答即可． 解：圆的半径决定圆的大小； 故选D． 点评：此题考查的是圆的认识，应明确圆的一些初步知识． 7． 28.26 22.608 【分析】求搭建该帐篷所需的占地面积，实际是求这个圆锥形状的野营帐篷的底面积，根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可得解；求所容纳的空间，实际是求这个圆锥形状的野营帐篷的容积，根据圆锥的容积公式：V＝Sh，代入数据即可得解。 【详解】3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） ×28.26×2.4 ＝9.42×2.4 ＝22.608（立方米） 即搭建该帐篷所需的占地面积是28.26平方米，所容纳的空间是22.608立方米。 【点睛】此题的解题关键是掌握圆锥的特征、圆锥的底面积以及容积的计算方法。 8．3，6 【详解】试题分析：圆规两脚分开的距离，即是圆的半径，根据同圆中半径和直径的关系可知“d=2r”即可求出直径，进行解答即可． 解：把圆规的两脚分开，使圆规两脚间的距离是3cm， 这样画出的圆的半径是3cm，直径是：3×2=6（cm）． 故答案为3，6． 点评：解答此题的关键：根据在同圆或等圆中，半径和直径的关系，进行解答即可． 9．周长，直径，π，3.14 【详解】试题分析：根据圆周率的含义：圆的周长和它的直径的比值，叫做圆周率，用π表示，π取近似值3.14；解答即可． 解：圆周率是圆的周长除以直径的商，用字母π表示，计算时通常取3.14； 故答案为周长，直径，π，3.14． 点评：此题考查的是圆周率的意义，应注意基础知识的积累． 10． 半径 直径 【详解】依据圆的认识及在同一个圆中半径与直径的关系：在同一个圆内，所有的半径和直径都分别相等，半径的长度是直径的；即可作答． 11． 圆心 O 圆心 【详解】用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置。 12．28.26 【解析】略 13．4.5厘米，10分米 【详解】试题分析：根据：圆的直径d=r×2，半径=d÷2，据此解答即可． 解：9÷2=4.5（厘米）； 5×2=10（分米）； 故答案为4.5厘米，10分米． 点评：明确同圆或等圆中半径和直径之间的关系，是解答此题的关键． 14． 1 12 78.5平方厘米 【解析】略 15．31.74 【分析】在长方形上剪一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽，用10×6即可求出长方形的纸板面积；再根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（6÷2）2即可求出圆面积，然后用长方形的面积减去圆面积，即可求出剩下的面积。 【详解】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 10×6＝60（平方厘米） 60－28.26＝31.74（平方厘米） 剩下纸板的面积是31.74平方厘米。 【点睛】本题主要考查了长方形面积公式、圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 16．18.24 【分析】阴影部分的面积等于图中直径为8厘米的两个半圆的面积和与三角形ABC的面积之差。利用圆和三角形的面积公式代入数据即可解答。 【详解】3.14×（8÷2）2－8×8÷2 ＝3.14×16－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 【点睛】本题考查求阴影部分的面积，解答本题的关键是掌握阴影部分的面积转化到已知的规则图形的解答方法。 17．6 【详解】试题分析：半径是1厘米的圆则直径为2厘米，求出这张长方形的长里面有几个2厘米，宽里面有几个2厘米，然后把它们乘在一起即可． 解：1×2=2（厘米） 6÷2=3（个） 4÷2=2（个） 3×2=6（个） 答：这样的圆最多能画6个． 故答案为6． 【点评】抓住在长方形内剪切圆的方法即可解答此类问题． 18．√ 【解析】略 19．× 【分析】根据圆的周长公式是：C＝2πr，圆的面积公式是：S＝πr2；计量圆的周长用长度单位，计量圆的面积是用面积单位，因此无法比较大小。 【详解】圆的周长： 2×3.14×2 ＝4×3.14 ＝12.56（厘米） 面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 两个数相同，所带单位不同，因此无法比较大小。 故答案为：× 20．√ 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；以及扇形的特点，进行解答。 【详解】根据分析可知，所有扇形都是轴对称图形，且只有一条对称轴。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查轴对称图形的意义，以及扇形的特点。 21．√ 【分析】如下图，若圆的直径大于6厘米，则圆将超出这个长方形，所以在长方形里画最大的圆，应以长方形的宽（6厘米）为直径。    【详解】因为8＞6，所以从长8厘米，宽6厘米的长方形上剪下一个最大的圆，圆的直径是6厘米。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 22．× 【详解】略 23．（答案不唯一）画图如下： 【详解】略 24．12.56平方米；长方形任意一个顶点上 【详解】3.14×2×2=12.56(平方米)； 如下图栓到长方形任意一个顶点均可 25．如图，圆的面积是25.12平方厘米 【详解】试题分析：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的对角线的一半为半径，即可画出符合要求的圆，再利用正方形和圆的面积公式即可求解． 解：（1）以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的对角线的一半（4÷2=2厘米）为半径， 画圆如下： （2）正方形的面积为：4×4=16平方厘米， 设圆的半径为r，则r×r÷2×4=16， 2r2=16， r2=8， 所以圆的面积为3.14×8=25.12（平方厘米）； 答：圆的面积是25.12平方厘米． 点评：此题主要考查圆的基本画法和正方形以及圆的面积的计算方法的灵活应用． 26．47棵 【分析】已知树要种在半径为60米的一个圆周上，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求出圆的周长。 又已知计划每隔8米种一棵，因为圆形是封闭图形，间隔数＝棵数；用圆的周长除以相邻两棵树的间距，即可求出一共栽树的棵数。 【详解】2×3.14×60 ＝6.28×60 ＝376.8（米） 376.8÷8≈47（棵） 答：这个建筑物的周围一共要种47棵树。 【点睛】本题考查圆的周长公式的运用以及封闭图形的植树问题，明确封闭图形中，植树棵数＝间隔数。 27．10分钟 【分析】经过多少分钟甲第一次追上乙，属于追击问题，用一圈相差400米除以速度差，得出所要答案。 【详解】 （分） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【点睛】解答此题的关键是明确路程差和速度差之间的关系，考查学生分析问题的能力。 28．（1）3.14×32＝28.26(cm2) （2）8÷2＝4(m)      4×4×3.14＝50.24(m2) 半径 【详解】略 29．1厘米．如图 【详解】试题分析：（1）根据三角形的高的定义，过点A向对边BC画垂线，交BC于一点，则顶点到垂足之间的线段就是三角形的高，在测量即可解答； （2）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，据此以点A为圆心，以AB为半径画圆即可； （3）把三角板的一条直角边与已知直线BC重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可． 解：根据题干分析画图如下： 经过测量可知，高的长度是 1厘米． 故答案为1厘米． 点评：此题考查了画已知直线的垂线和平行线以及画圆的方法． 30．如图，周长是7.71厘米，面积是3.5325平方厘米 【详解】试题分析：首先根据画长方形的方法画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，然后以长方形的长为直径画一个半圆，再利用半圆的周长和面积公式求这个半圆的周长和面积即可． 解：作图如下： 周长是：3.14×3÷2+3=7.71（厘米）， 面积是：3.14×÷2=3.5325（平方厘米）， 答：这个半圆的周长是7.71厘米，面积是3.5325平方厘米． 点评：此题主要根据圆的画法和圆面积的计算方法解决问题． 31．37.68cm  50.24cm2 【详解】3.14×6×2=37.68(cm) 3.14×42=50.24(cm2) 32．石路的面积是50.24平方米 【详解】试题分析：由题意可知：求小路的面积，实际上是求圆环的面积，即用大圆的面积减小圆的面积，大圆的直径是（6+2×2）米，小圆的直径是6米，利用圆的面积公式即可求解． 解：大圆的直径=6+2×2=10米， 小路的面积：3.14×﹣3.14×， =3.14×（52﹣32）， =3.14×（25﹣9）， =3.14×16， =50.24（平方米）； 答：石路的面积是50.24平方米． 点评：此题主要考查圆环的面积的计算方法的灵活应用，关键是明白：求小路的面积，实际上是求圆环的面积． 33．2.5434平方千米 【分析】根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（1.8÷2）2即可求出占地面积。 【详解】3.14×（1.8÷2）2 ＝3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方千米） 答：这个发电站的占地面积大约是2.5434平方千米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$