专题03 代数式单元过关（培优版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题03 代数式单元过关（培优版） 考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，这个两位数是（    ） A． B． C． D． 2．一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 3．今年苹果的单价比去年便宜了10%，已知今年苹果的单价是每千克a元，则去年苹果的单价是（    ） A．10%a B． C． D． 4．对有理数a，b，规定运算如下：，则的值为（    ） A． B． C．6 D．4 5．如图所示运算程序中，若开始输入的x值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2021次输出的结果是（    ） A．1 B．6 C．3 D．4 6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，则经过2023次输出的结果是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 7．已知，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 8．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图的弹珠数，其中，则（    ）    A． B． C． D． 9．下列图案是由一些大小相同的圆按一定的规律拼成的，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有10个圆，第4个图案中有17个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第10个图案中黑色圆点的个数为（ ）    A．65 B．101 C．82 D．132 10．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若m2+2m＝2，则4m2+8m﹣3的值是 ． 12．当时，代数式的值是 ． 13．已知整数a，b，c，d满足，且，则的值为 ． 14．已知，则 ． 15．已知，，则式子的值是 16．数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题： 题目：已知，，求代数式的值． 小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响 小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便． 通过你的运算，代数式的值为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．某种水果第一天以2元的价格卖出a斤，第二天以1.5元的价格卖出b斤．第三天以1.2元的价格卖出c斤，求： (1)这三天共卖出水果多少斤？ (2)这三天共卖得多少元？ (3)计算当，，时，平均售价是多少？ 18．当时，求下列各代数式的值： (1)； (2)； (3)． 19．为庆祝我国“神舟十四号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的部分截面图，下面是长方形，上面是三角形． (1)用含，的代数式表示该截面的面积S； (2)当，时，求这个截面的面积． 20．某公司的一种产品由某商店代销，双方协议：不论这种产品的销售情况如何，该公司每月给商店元代销费，同时商店每销售一件产品有元提成．该商店月份销售了件，月份销售了件． (1)用整式表示这两个月公司应付给商店的费用． (2)假设代销费是每月元，每件产品提成元，月份销售了件，月份销售了件，求该商店这两个月销售此种产品的收益． 21．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． (1)求和的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求阴影部分面积的值． 22．某货运车的收费方案有2种． 方案一：以内的收费为180元，若超出，则超出的部分每千米收费15元． 方案二：每千米收费均为12元． 设货运车行驶的路程为千米． (1)请写出方案一的收费表达式及方案二的收费表达式； (2)当货运车行驶的路程为时，请问选取哪种收费方案比较划算． 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如从图1可以得到．请解答下列问题：    (1)写出图2中所表示的数学等式：_______． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． (3)如图3所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连结和，若两正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 24．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：    (1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个； (2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值． 25．已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数式单元过关（培优版） 考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，这个两位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数的表示，用数位上的数字乘以数位相加即可． 【详解】解：这个两位数是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式、多位数的表示法，熟练掌握多位数的表示法是解答本题的关键，一般方法是把每个数位上的数乘以它的计数单位，然后再相加即可． 2．一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答． 【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是， ∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：． 故选： 【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键． 3．今年苹果的单价比去年便宜了10%，已知今年苹果的单价是每千克a元，则去年苹果的单价是（    ） A．10%a B． C． D． 【答案】D 【分析】根据：去年的单价×（1-10%）=今年的单价，代入数据可求得去年的单价． 【详解】解：由题意得，去年的单价×（1-10%）=a， 则去年的单价=． 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式，关键是知道今年的单价和去年单价的关系，从而列出代数式． 4．对有理数a，b，规定运算如下：，则的值为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据规定运算将，直接带入中运算即可． 【详解】 故选：C． 【点睛】本题以定义新运算的形式考查有理数的乘方与加减运算，熟记运算法则是本题的解题关键． 5．如图所示运算程序中，若开始输入的x值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2021次输出的结果是（    ） A．1 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3，所以结果为6． 【详解】解：将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3， 2021为奇数， ∴第2021次输出的结果为6， 故答案为：B． 【点睛】本题考查数字规律的归纳能力，解题的关键是发现输出结果依次出现的规律． 6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，则经过2023次输出的结果是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，数字类规律探索．解题的关键是找出一般性变化规律．由程序图可知，第一次输入，输出结果为，第二次输入，输出结果为，第三次输入，输出结果为，第四次输入，输出结果为，第五次输入，输出结果为，第六次输入，输出结果为，第七次输入，输出结果为，第八次输入，输出结果为，进而可推导一般性规律为：从第三次开始，每三次为一个循环，根据，可确定经过2023次输出的结果． 【详解】解：第一次输入，输出结果为， 第二次输入，输出结果为， 第三次输入，输出结果为， 第四次输入，输出结果为， 第五次输入，输出结果为， 第六次输入，输出结果为， 第七次输入，输出结果为， 第八次输入，输出结果为， ∴推导一般性规律为：从第三次开始，每三次为一个循环， ∴， ∴经过2023次输出的结果是3， 故选：A． 7．已知，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是代数式求值有关知识，首先将所给的代数式进行变形，然后再代入值进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 8．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图的弹珠数，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别计算，，，，再代入代数式进行裂项计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 当时：； ； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，求解代数式的值，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 9．下列图案是由一些大小相同的圆按一定的规律拼成的，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有10个圆，第4个图案中有17个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第10个图案中黑色圆点的个数为（ ）    A．65 B．101 C．82 D．132 【答案】B 【分析】观察图形，发现第几个图形就是几的平方加1，根据规律可求． 【详解】解：第1个图案中有1+1=2个黑色圆点， 第2个图案中有1+22=5个黑色圆点， 第3个图案中有1+32=10个黑色圆点， …， 按此规律排列下去，则第n个图案中黑色圆点的个数为n2+1， ∴第10个图案中黑色圆点的个数为102+1=101， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色圆点的个数为n2+1． 10．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别对各式子进行分析得到，代数式的符号，分母，分子的变化规律，写出公式即可． 【详解】解：由四个代数式可知，符号变化，； 分母，； 分子1，5，9，13，，； 所以为． 故选D． 【点睛】本题是规律题，逐一找到各部分的变化规律是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若m2+2m＝2，则4m2+8m﹣3的值是 ． 【答案】5． 【分析】利用整体代入法可解出此题． 【详解】∵m2+2m＝2， ∴4m2+8m＝8， ∴原式＝8﹣3＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查的是代数式的值，掌握利用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 12．当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】直接把代入计算即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算法则，在解题时要根据题意代入计算即可． 13．已知整数a，b，c，d满足，且，则的值为 ． 【答案】0或2 【分析】根据整数a，b，c，d满足，且，可以得到a，b，c，d的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵a，b，c，d是整数，，且， ∴，或， 当时， = ； 当时， = ； 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式的求值，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，正确找到字母所表示的数字，然后代入到代数式求值． 14．已知，则 ． 【答案】10 【分析】由即可得出3a2−3a＋1的值． 【详解】解：∵， ∴3a2−3a＋1 ＝3（a2−a）＋1 ＝3×3＋1 ＝9＋1 ＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查代数式求值，关键是3a2−3a＋1＝3（a2−a）＋1的变形． 15．已知，，则式子的值是 【答案】32 【分析】根据，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：32． 【点睛】此题考查了求代数式求值，解题的关键是将，看做一个整体，具有整体代入思想． 16．数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题： 题目：已知，，求代数式的值． 小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响 小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便． 通过你的运算，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】运用整体思想,计算p+q，pq即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴① ∵， ∴② 把②代入①得， ∴， ∴ ∴ ． 故答案是：-2． 【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．某种水果第一天以2元的价格卖出a斤，第二天以1.5元的价格卖出b斤．第三天以1.2元的价格卖出c斤，求： (1)这三天共卖出水果多少斤？ (2)这三天共卖得多少元？ (3)计算当，，时，平均售价是多少？ 【答案】(1)斤 (2)元 (3)1.5元 【分析】（1）直接根据题意列出代数式即可； （2）销售额等于价格乘以销售量，据此列式即可； （3）将，，代入（1）、（2）中的式子即可求解出总的销售量和销售额，再用总销售额除以总销售量，即可得解． 【详解】（1）根据题意有卖出的水果总重量：斤， 故答案为：斤； （2）根据题意，有总的销售额为：元， 故答案为：元； （3）卖出的水果总重量：（斤）， 总的销售额为：（元）， 则平均售价为：（元/斤）． 【点睛】本题主要考查了根据题意列出代数式，代数式的求值以及有理数的乘法、除法运算等知识，明确题意是解答本题的关键． 18．当时，求下列各代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3)25 【分析】（1）把a与b的值代入，先算括号内的，再算乘法即可求出值； （2）将a与b的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答； （3）将a与b的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．为庆祝我国“神舟十四号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的部分截面图，下面是长方形，上面是三角形． (1)用含，的代数式表示该截面的面积S； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2)这个截面的面积为 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用，根据图形正确列出代数式是解答本题的关键． （1）根据该截面面积是三角形面积，长方形面积的和进行求解即可； （2）将、的值代入（1）中，求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：该截面的面积为：； （2）解：当，时， ， 答：这个截面的面积为． 20．某公司的一种产品由某商店代销，双方协议：不论这种产品的销售情况如何，该公司每月给商店元代销费，同时商店每销售一件产品有元提成．该商店月份销售了件，月份销售了件． (1)用整式表示这两个月公司应付给商店的费用． (2)假设代销费是每月元，每件产品提成元，月份销售了件，月份销售了件，求该商店这两个月销售此种产品的收益． 【答案】(1)； (2)元． 【分析】（1）每月应付费用为：元代销费销售件数，所以这两个月公司应付给商店的钱数两个月销售件数； （2）把，，，，代入中的式子即可． 【详解】（1）解：这两个月公司应付给商店的钱数为元； （2）当，，，时， 元， 答：该商店这两个月销售此种产品的收益为元． 【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，用代数式表示出代销费和提成是解题的关键． 21．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． (1)求和的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求阴影部分面积的值． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值．理解题意正确的列代数式是解题的关键． （1）由题意知，，； （2）由题意知，，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∴和的面积分别为和； （2）解：由题意知，， ∴阴影部分面积的值为． 22．某货运车的收费方案有2种． 方案一：以内的收费为180元，若超出，则超出的部分每千米收费15元． 方案二：每千米收费均为12元． 设货运车行驶的路程为千米． (1)请写出方案一的收费表达式及方案二的收费表达式； (2)当货运车行驶的路程为时，请问选取哪种收费方案比较划算． 【答案】(1)方案一：若，则费用为180元；若，则费用为元；方案二：元 (2)选取方案一比较划算 【分析】本题主要考查列代数式、求代数式的值，根据题意正确列出代数式，并正确计算代数式的值是解题关键． （1）根据两种方案的收费方式列出代数式即可； （2）将代入（1）中所求的代数式中，分别得出两种方案所需费用，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：方案一：若，则费用为180元； 若，则费用为元， 方案二：元； （2）解：方案一：，则费用为（元）， 方案二：（元）， ， ∴当货运车行驶的路程为时，选取方案一比较划算． 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如从图1可以得到．请解答下列问题：    (1)写出图2中所表示的数学等式：_______． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． (3)如图3所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连结和，若两正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式的应用，利用图形进行数形结合是解题的关键． （1）根据图的面积进行列式即可； （2）化简（1）中的式子，代值运算即可； （3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，列式运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积， 即， ∵，， ∴． 24．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：    (1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个； (2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据前三个图形中小正方形数量的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 图1中小正方形的数量为：； 图2中小正方形的数量为：； 图3中小正方形的数量为：； …， 所以图n中小正方形的数量为：（个）． 当时， （个）． 即图4中小正方形的数量是个． 故答案为：． （2）解：由题知， ，，，…，， 又因为， 所以， 又因为； ； ； …， 所以， 则， 解得：（负值舍去）． 所以n的值为． 【点睛】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现图n中小正方形的数量为个是解题的关键． 25．已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用割补法即可求解； （2），利用割补法即可求解； （3），利用割补法即可求解； （4），利用割补法即可求解； 熟练掌握割补法及利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图：   ， 故答案为：． （2）延长与交于，如图：    ， 故答案为：． （3）延长延长与交于，延长与交于，如图所示：    ∵， ，， ， 故答案为：． （4）延长与交于，延长与交于，如图：   ，， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$