精品解析：河南省焦作市部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

绝密★启用前 2024年9月数学卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x， 已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8cm和6cm， 所以菱形的面积=×8×6=24cm2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 1 B. －1或2 C. －1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=1代入方程求解可得m的值． 【详解】把x=1代入方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0得到(m﹣2)+4﹣m2=0， 解得：m=﹣1或m=2． ∵m﹣2≠0， ∴m=﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是理解一元二次方程解的定义，属于基础题型． 3. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( ) A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或， ∴或； 故选D． 4. 如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于M，轴于N，则，，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于M，轴于N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标是； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 5. 如图，在中，，，M为上的一动点，于E，于F，N为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．过点A作于点，根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长．根据题意得出四边形是矩形，故可得出，当最小时，最短，此时M与重合，据此可得出结论． 【详解】解：过点A作于点， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ， ∴当最小时，最短，此时点M与重合， ． 故选：B． 6. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质得出∠DAF＝∠B＝90°，AB＝AD＝2，由E是BC的中点，得出BE＝1，由勾股定理得出AE＝，证明△ADF≌△BAE（ASA），即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAF＝∠B＝90°，BC＝AB＝AD＝2， ∴∠BAE＋∠2＝90°， ∵AB＝2，E是BC的中点， ∴BE＝1， ∴AE＝， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠1＋∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE， 在△ADF和△BAE中， ， ∴△ADF≌△BAE（ASA）， ∴DF＝AE＝； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 7. 下列方程中，关于x的一元二次方程有（ ） ①x2=0；② ax2+bx+c=0；③ x2－3=x；④ a2+a－x=0 ； ⑤（m－1）x2+4x+=0；⑥ ；⑦ =2；⑧（x+1）2=x2－9 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】①x²=0;③x²−3=x是关于x的一元二次方程，共2个，故选A. 8. 定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算化简得到，再计算判别式值，然后根据判别式的意义确定方程的根的情况． 【详解】解：根据题意得， 化简得， ， 方程无实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系． 9. 如图，四边形是菱形，，于H，则等于（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O， ∵四边形是菱形 ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选:A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分 10. 方程化成一般形式是______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的形式即可． 【详解】解：可化为： ， 移项合并同类项得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．通过去括号，移项，合并同类项，可以把方程化成一元二次方程的一般形式． 11. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，沿折叠矩形，使点D落在边的点F处，若，，则的长度为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理、矩形的性质等知识点，根据折叠找到相等线段是解题关键． 根据折叠找到相等线段,再由勾股定理得出的长, 设，在中勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠可知：， 又∵， ∴在中，， ∴, 设,则， 在中，，即,解得：， ∴． 故答案为． 13. 已知关于x一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0． 14. 已知方程可转化为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．根据题意可得，整理可得，即可获得答案． 【详解】解：由， 可得， 整理，得， 所以． 故答案为：2． 15. 已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围． 【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x＋30＝0的两个根， ∴x1＋x2＝11，x1x2＝30， ∵（x1−x2）2＝（x1＋x2）2−4x1x2＝121−120＝1， ∴x1−x2＝1， 又∵x1−x2＜m＜x1＋x2， ∴1＜m＜11． 故答案为：1＜m＜11． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和． 16. 在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F是BC上的一点，连接EF和DF，若AB=4，BC=8，EF=2，则DF的长为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况考虑，①当BF＞CF时，②当BF＜CF时，然后过F作FG⊥AD于G，根据勾股定理进行求解． 【详解】①如图所示，当BF＞CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4， Rt△EFG中，， 又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8， ∴DE＝4， ∴DG＝4﹣2＝2， ∴Rt△DFG中，； ②如图所示，当BF＜CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4， Rt△EFG中，， 又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8， ∴DE＝4， ∴DG＝4+2＝6， ∴Rt△DFG中，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根的定义及整体代入求值方法是解题的关键．利用一元二次方程根的定义得到，整理可得，整体代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 18. 如图，点为线段的中点，，则是_______________三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解. 【详解】∵ ∴在Rt△ABM中，C是斜边AB上的中点， ∴MC=AB， 同理在Rt△ABN中，CN=AB， ∴MC= CN ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 19. 如图，，平分交于，若，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交于点F，利用可得，，然后在、中，利用勾股定理表示出，得到关于x的一元二次方程，求解后得结论． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 三、计算题：本题共6小题，共24分 20. 按要求解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（用适当方法） （3）；（公式法） （4）．（用适当方法） （5）；（用适当方法） （6）．（用适当方法） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （5）利用直接开平方的方法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问5详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问6详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 四、解答题：本题共2小题，共16分 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 22. 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若，AC=4，求正方形OGCF的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案． （2）由30度直角三角形的性质和勾股定理，先求出AB和BC，然后设正方形OGCF的边长为，列出关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：如图，作OH⊥AB于H点 ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC=∠OFC=90°． ∵∠C=90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH=OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH=OG， ∴OF=OG， ∴四边形OGCF是正方形． （2）由于，AC=4， ∴AB=8，BC=， 设正方形OGCF的边长为，则 AH=AF=4，BH=BG=， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，勾股定理，一元一次方程等知识，利用角平分线的性质得出邻边相等是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024年9月数学卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 1 B. －1或2 C. －1 D. 0 3. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( ) A. 或 B. C. D. 或 4. 如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，M为上的一动点，于E，于F，N为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 7. 下列方程中，关于x的一元二次方程有（ ） ①x2=0；② ax2+bx+c=0；③ x2－3=x；④ a2+a－x=0 ； ⑤（m－1）x2+4x+=0；⑥ ；⑦ =2；⑧（x+1）2=x2－9 A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 9. 如图，四边形菱形，，于H，则等于（　　） A. B. C. 5 D. 4 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分 10. 方程化成一般形式是______. 11. 如图，菱形对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______． 12. 如图，沿折叠矩形，使点D落在边的点F处，若，，则的长度为______． 13. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 14. 已知方程可转化为，则______． 15. 已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是______． 16. 在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F是BC上的一点，连接EF和DF，若AB=4，BC=8，EF=2，则DF的长为___________． 17. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 18. 如图，点为线段的中点，，则是_______________三角形． 19. 如图，，平分交于，若，，则______． 三、计算题：本题共6小题，共24分 20. 按要求解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（用适当方法） （3）；（公式法） （4）．（用适当方法） （5）；（用适当方法） （6）．（用适当方法） 四、解答题：本题共2小题，共16分 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求长． 22. 如图，在Rt△ABC中，两锐角平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若，AC=4，求正方形OGCF的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $