精品解析：四川省内江市资中县第二中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

资中二中高2026届高一上期数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 集合的一个子集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题， 所以其否定为“，”． 故选：B． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二次根式下大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0列出不等式组，解出即可. 【详解】由解得， 所以定义域为， 故选:A. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，考查了学生的计算能力，属于基础题. 4. 若且，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例确定错误，B作差法可判断. 【详解】A，时，，A错误； B，，B正确； C，时，，C错误； D，时，，D错误. 故选：B 5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 7. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（       ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可. 【详解】令, 则， 当时，单调递增，且， 当时，，当时单调递增， 则函数在上单调递增，符合题意； 当时，的对称轴为， 由题意， 当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，不符合题意， 综上，. 故选：A. 二、多选题（每小题5分，共20分） 9. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式可进行判断. 【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 函数有两个不同零点 C. 函数有最小值，无最大值 D. 函数的增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】由换元法求出，求可判断A；令求出的值可判断B，由二次函数的性质求出的单调性和值域可判断C、D. 【详解】令，所以， 所以， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，令，解得：或， 因为，所以函数有一个不同零点，故B不正确； 对于C，， 当时，有最小值，无最大值，故C正确； 对于D，， 所以的单调增区间为：，故D不正确. 故选：AC. 11. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可. 【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线. 对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意； 对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意； 对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意； 对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意. 故选:BD. 12. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分必要条件 B. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 C. 不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是. D. 已知，其中a，b为常数，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合并集及子集的概念、充分条件、必要条件判断A，由不等式的解得出关系，再解不等式即可判断B，分离参数根据不等式恒成立求解判断C，利用函数奇偶性求函数值判断D. 【详解】对A，，，故“”是“”的充分必要条件，故A正确； 对B，不等式的解集是，则，则可得， 所以，解得，故B错误； 对C，由原不等式分离参数可化为在上恒成立，故， 因为，所以，故C正确； 对D，，令，， 因为，所以为奇函数， 由，可得， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 设函数，则=_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数定义先计算，再计算． 【详解】由已知, . 故答案为：4． 14. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用幂函数的定义和性质，求得，得到，再结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得，即， 解得或， 当时，可得在单调递增，不符合题意，舍去； 当时，可得在单调递减，符合题意， 此时函数，令，即，可得， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 15. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围. 【详解】令，而为增函数， 要使函数在区间上是增函数， 即在上是增函数且恒大于0， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 16. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与相交.函数.下列关于函数的说法正确的有______. ①函数是偶函数； ②函数在单调递减； ③方程恰有两根； ④函数的最大值为2. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断. 【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以， 则，即， 令，即，得， 如图，画出函数的图象，    函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2， ，无实数根，故①②④正确，③错误. 故答案为：①②④. 四、解答题（共70分） 17. 化简求值 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 已知定义在R上的函数满足：. （1）求函数的表达式； （2）当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）最小值为1，最大值 【解析】 【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得出函数解析式； （2）根据已知得出.根据一元二次不等式解集与一元二次方程解的关系可知，判定得，为一元二次方程的两个解，求根得出，表示出，结合的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 将的替换为， 得， 联立 解得. 【小问2详解】 由（1）结合已知可将不等式化为， 即. 又一元二次方程， 恒成立， 可得方程两根为. 又，所以，， 所以. 又，所以， 所以当时，的最小值为1，当时，最大值. 19. 已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质，，即可求出函数的解析式； （2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵是定义在上的奇函数，且时，， ∴，解得， ∴时，， 当时，，则， 即在上的解析式为． ∴函数的解析式为 【小问2详解】 ∵时，， ∴在有解， 整理得， 令，显然与在上单调递减， ∴在上单调递减，则， ∴ ∴实数的取值范围是． 20. 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． （1）分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （2）该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【解析】 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【小问1详解】 设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． 【小问2详解】 设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 21. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可； （2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可. 【小问1详解】 函数是偶函数， 故， 即，，故. 【小问2详解】 ，故， 若函数与的图象有且只有一个交点， 即在上只有一个解，故， 即，即， 设 故只有一个解，即， 当时，，则，不符合，故舍去； 当时，函数的对称轴为， 故在单调递减，且，故方程在无解； 当时，函数的对称轴为，且，， 故方程 在上有唯一解，符合题意， 综上所述，的取值范围是. 22. 已知. （1）求函数的表达式； （2）用函数单调性定义证明的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：任取，且， 则 ， ∵，∴，，， ∴，∴， ∴为上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）设，得，代入已知式后，再把换成即得； （2）由单调性的定义证明； （3）设，，由（2）知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得. 【小问1详解】 因为， 设，，可得， ，即，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由对恒成立， 即对恒成立， 可得， 则， ， . 设，，由（2）知， 故原不等式可化为在恒成立， 因为，当时， ，∴， ∴的取值范围是. 【点睛】方法点睛：解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资中二中高2026届高一上期数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 集合的一个子集是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若且，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（       ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分） 9. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 函数有两个不同零点 C. 函数有最小值，无最大值 D. 函数的增区间为 11. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ） A. B. C. D. 12. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分必要条件 B. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 C. 不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是. D. 已知，其中a，b为常数，若，则 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 设函数，则=_____________. 14. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点____________ 15. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________. 16. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与相交.函数.下列关于函数的说法正确的有______. ①函数是偶函数； ②函数在单调递减； ③方程恰有两根； ④函数的最大值为2. 四、解答题（共70分） 17. 化简求值 （1）； （2）. 18. 已知定义在R上的函数满足：. （1）求函数的表达式； （2）当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值. 19. 已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 20. 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． （1）分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （2）该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 22. 已知. （1）求函数的表达式； （2）用函数单调性定义证明的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $