精品解析：2024年湖北省武汉市部分学校中考适应性考试数学试题

2024年武汉市中考适应性考试 数学试卷 亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列微信表情图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 4. 如图是一个水平放置的半球体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 武汉旅游资源丰富，“五一”期间，甲、乙两位同学分别在黄鹤楼、东湖、动物园三个景点随机选择一个游玩，则他俩选择同一个景点的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … 若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 9. 如图，是的直径，， 是上半圆的中点， 是下半圆上一个动点，过点 作的垂线，垂足为，则点 从点 运动到点的过程中，点运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是小华同学利用计算机软件绘制函数（k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 年月 日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到 年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______． 12. 任意写出一个在一、三象限的反比例函数的解析式______． 13. 计算的结果是__________． 14. 如图是为某公园滑梯的横截面图，是台阶， 是一个平台，是滑道，立柱垂直于地面 且高度相同，与地面 的夹角为 ，与地面 的夹角为．若 ，则滑道的长度是__________．（参考数据：） 15. 如图，在中， ， ．D，E，F分别是边上的点， ．若，则的最小值是__________． 16. 已知抛物线 （是常数，）经过点，其中．下列结论：；关于 的一元二次方程一定有一个根是小于的正数；当时， 随 的增大而减小；分式的值小于．其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 18. 如图，在平行四边形中，点 分别在 上，与相交于点，且． （1）求证： ； （2）连接 ．请添加一个条件，使四边形 为菱形．（不需要说明理由） 19. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，随机从该校抽取m名学生进行了一次测试，满分为 分，按成绩划分为四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值； （2）抽取的这 名学生中，其成绩的中位数落在_________等级； （3）该校有 名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到 等级． 20. 如图，是半圆的直径， 是中点，过点 作的垂线，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是半圆的切线； （2）若 ，，求阴影部分的面积． 21. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中 都是格点，是 上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图，先画点，使四边形 为平行四边形，连接，再画的中点 ； （2）如图，若是 与网格线的交点，先画点绕点 逆时针旋转 的对应点，再在上画点 ，使得 ． 22. 问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为 元， 元， 元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含 的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与 之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 23. 如图，在和 中， ，， ，点在边上，是的中点．连接 ， 是 的中点． （1）求证： ； （2）如图2，若点 在上，直接写出 的值； （3）如图1，判定以，， 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． 24. 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年武汉市中考适应性考试 数学试卷 亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列微信表情图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. “清明时节雨纷纷”这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 4. 如图是一个水平放置的半球体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图的知识，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图均为半圆，俯视图是一个圆． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式；分别计算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，即可得到答案． 【详解】解：由平行线的性质可得， ，， ， ， 故选B． 7. 武汉旅游资源丰富，“五一”期间，甲、乙两位同学分别在黄鹤楼、东湖、动物园三个景点随机选择一个游玩，则他俩选择同一个景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人抽到同一个景点的概率的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：用 、 、  表示：黄鹤楼、东湖、动物园； 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，则他俩选择同一个景点有3种情况， ∴则他俩选择同一个景点的概率是：， 故选C． 8. 在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … 若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确获得函数解析式是解题关键．根据题意，可知鞋号 与脚长 的对应关系为一次函数，设鞋号与脚长的关系式为 ，利用待定系数法解得函数解析式，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知鞋号 与脚长 的对应关系为一次函数， 设鞋号与脚长的关系式为 ， 根据题意，可得，解得， 所以鞋号与脚长的关系式为， 若小华的脚长为259毫米，可令， 则有， 解得， 所以，他的鞋号（码）是42． 故选：D． 9. 如图，是的直径，， 是上半圆的中点， 是下半圆上一个动点，过点 作的垂线，垂足为，则点 从点 运动到点 的过程中，点运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由 是上半圆的中点可得 ，利用勾股定理得到，由 可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，求出半圆的弧长即可求解，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵ 是上半圆的中点， ∴ ， ∴ ， ∵是的直径，， ∴， 在 中，， ∵ ， ∴ ， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵点 从点 运动到点 ， ∴点的运动轨迹为一个半圆， ∴点运动的路径长是， 故选：． 10. 如图是小华同学利用计算机软件绘制函数（k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图像，能够通过反比例函数图像确定的取值是解题的关键．有图像可知，当 时，可知 ，时，函数值不存在，则． 【详解】解：由函数图像可知，当 时，， ， 时，函数值不存在， 则． 故 ，． 故选A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 年月 日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到 年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（ ， 为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定 的值即可解答，根据科学记数法确定和 的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 12. 任意写出一个在一、三象限的反比例函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质即可求解，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴ ， 则， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：．（答案不唯一） 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 14. 如图是为某公园滑梯的横截面图，是台阶， 是一个平台，是滑道，立柱垂直于地面 且高度相同，与地面 的夹角为 ，与地面 的夹角为．若 ，则滑道的长度是__________．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点G作于H，先解得到，再证明四边形 是矩形，得到，进而证明四边形是矩形，得到，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于H， 在中，， ∴； ∵， ∴四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， ∴滑道的长度是， 故答案为： ． 15. 如图，在中， ，．D，E，F分别是边上的点， ．若，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接，作，截取，连接，作 ，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再证明，推出，得到当共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，作，截取，连接，作 ，垂足为 ， ∵ ，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． 16. 已知抛物线 （是常数，）经过点，其中．下列结论：；关于 的一元二次方程一定有一个根是小于的正数；当时， 随 的增大而减小；分式的值小于．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断；根据根和系数的关系即可判断；抛物线对称轴，即可判断；将 时，，即，裂项变形得，即可判断，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得， ， ∵， ∴，故结论错误； ②令，则， 则两根之和，两根之积， ∴均大于， 当 时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线与 轴有个交点在到之间， 即有个根在到之间，故正确； ∵a＋b＋c＝m＜0，c＞a＞0，把其中c替换成a，a＋b＋a＜a＋b＋c＜0，即2a＋b＜0 ∴－b＞2a， ∵a＞0， ∴抛物线的对称轴，结论③成立； ∵，抛物线与 轴两个交点均在正半轴， ∴当 时，， 即 ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； ∴正确的结论是， 故答案为：②③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．根据不等式组解出解集再得到整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， 故不等式组的整数解有：． 18. 如图，在平行四边形 中，点 分别在 上，与相交于点，且． （1）求证： ； （2）连接 ．请添加一个条件，使四边形 为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴ ， ， 在 与 中，， ∴； （2）添加 【解析】 【分析】（）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加 ． 理由：如图，连接， ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 为菱形． 19. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，随机从该校抽取m名学生进行了一次测试，满分为 分，按成绩划分为四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值； （2）抽取的这 名学生中，其成绩的中位数落在_________等级； （3）该校有 名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到 等级． 【答案】（1），； （2） ； （3）名． 【解析】 【分析】（）用 等级的人数除以其百分比可求出 ，再求出 等级的人数 ，由即可求出； （）根据中位数的定义即可求解； （）用 乘以 等级人数的占比即可求解； 此题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数，样本估计总体，读懂统计图表，理清它们之间的数据关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，抽取的学生人数， ∴ 等级的人数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把 名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第 名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数落在 等级， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校有名学生的成绩达到 等级． 20. 如图，是半圆的直径， 是中点，过点 作的垂线，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是半圆的切线； （2）若 ，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，连接，， ∵是半圆的直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又为半径， ∴是半圆的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，可得，结合已知条件可得，即可得证； （2）连接， ，证明，是等边三角形，进而求得，根据阴影部分面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ， ∵，， ∴， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴阴影部分面积为． 21. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中 都是格点， 是 上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图，先画点，使四边形 为平行四边形，连接，再画的中点； （2）如图，若 是 与网格线的交点，先画点 绕点 逆时针旋转 的对应点，再在 上画点 ，使得 ． 【答案】（1） 点 即为所求； （2） 点 即为所求． 【解析】 【分析】（）根据平行四边形的性质即可画出点，连接，与相交于点，由网格可知 ，因为点 为的中点，所以 为 的中位线，故点为的中点； （）取格点 ，连接，交网格于点，根据网格可证明 ，得到 ，进而可得，再利用由三角形全等可得 ；连接格点 ，与网格相交于点 ，连接 ，与 相交于点 ，由正方形的性质可得 ，进而可得 ，即可证到 ，即得到 ，又因为 ，故 ，即 ； 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形 花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为 元， 元， 元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含 的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与 之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 【答案】（）红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为；（）；（）． 【解析】 【分析】（）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积 黄色花卉的种植面积； （）根据总费用 各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； （）根据()的解析式，由函数的性质求出取最小值时 的值，然后设，由全等三角形的性质和勾股定理得出，解方程求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵， ∴， ∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； （）由题意可得， ， 即； （）∵， ∴当 时，取最小值， ∴，， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴的长为． 23. 如图，在和 中， ，， ，点在边上，是的中点．连接 ，是 的中点． （1）求证： ； （2）如图2，若点在上，直接写出 的值； （3）如图1，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵ ，， ， ∴ ， ∴ ，即，， ∴ ； （2） （3）等腰直角三角形， 证明如下： 延长交 于点 ，连接 ，，设 交于点， ∵ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是 的中点， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，且 ， ∴ ， 又， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 即： ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可； （2）如下图，连接，由（1）可知，， ，由相似三角形的性质可得 ，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 ，即 ，再证明 ，易得 ，然后根据求解即可； （3）延长交 于点 ，连接 ，，设 交于点，证明 ，得到 ， ，再证明 ，得到 ， ，进而得到 ，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，连接， 由（1）可知，， ， ∴ ， ∵ ，，是的中点， ∴ ，，即 ， ∵是 的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形． 24. 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点E作 轴于F，过点D作轴于G，设点，由，得，列出关于m的方程即可求解； （3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出t的值，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，，将A，D两点坐标代入得： ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在第三象限内抛物线上找点E，使，如图1，过点E作 轴于F，过点D作轴于G，则， ∵，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设， 设直线的解析式为： ， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设，， 由，得，即：， ∴，， ∴ ， ∵线段的中点是M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即时，是定值， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，用参数表示一次函数的解析式和线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $