精品解析：云南昆明市第三中学滇池校区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

昆明市第三中学滇池校区初2025届初三年级上学期开学考试 数学试卷 满分100分，共120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的核心特征：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程且二次项系数不为0． 根据一元二次方程的定义，逐一判断各选项是否满足“整式方程、只有一个未知数、最高次数2、二次项系数非零”的条件，进而得出答案． 【详解】解：A、方程含，属于分式方程，并非整式方程，不满足一元二次方程定义，此选项不符合题意； B、方程含和两个未知数，是二元方程，不满足“只含一个未知数”的条件，此选项不符合题意； C、方程可化为，是只含一个未知数、最高次数为2的整式方程，且二次项系数，满足一元二次方程定义，此选项符合题意； D、方程未明确，当时，方程变为一元一次方程，不满足定义，此选项不符合题意； 故选：C． 2. 关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：B． 3. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据的对称轴为，求出对称轴，即可解题． 【详解】解：二次函数的图像的对称轴为， 故选：． 4. 关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标为（0，3） C. 对称轴为y轴 D. 当x＜0时，函数y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案． 【详解】解：∵y＝3x2， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）， ∴A、B都错误，C正确， ∵a＝3＞0，对称轴为x＝0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴D错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．当a＜0时，抛物线y＝开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小；x＝h时，y取得最大值k，即顶点是抛物线的最高点． 5. 把方程化成的形式，下列变形确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，解题关键是掌握完全平方式以及配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 7. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 8. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵a＝3，，c＝4， ∴， ∴方程无实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程（a≠0）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9. 下列抛物线中，与抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可设出抛物线的顶点式，再由已知可确定出其二次项系数，则可求得抛物线解析式． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为（-1，2）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）2+2， ∵所求抛物线与抛物线y=-3x2+1的形状、开口方向完全相同， ∴a=-3， ∴所求抛物线解析式为y=-3（x+1）2+2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h． 10. 已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧随着的增大而增大， ∴的取值范围是， 故选：B． 11. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为，而抛物线开口向上，则点和对称轴间隔越大，对应的函数值越大，进而求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，而抛物线开口向上，则点和对称轴水平距离越大，对应的函数值越大，而点，，和对称轴的水平距离分别为：5、4、2， 故， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 12. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 13. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 14. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长cm，宽cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方形的面积计算公式结合丝绸边的面积为cm2，即可得． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意列出一元二次方程． 15. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D. 它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数顶点式，对称轴的计算，增减性，平移的性质即可求解． 根据题意，把二次函数化成顶点式可判定，选项，根据图象开口，增减性可判定选项，根据图象的平移可判定选项，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，故选项正确，不符合题意； 当时，有最小值，故选项正确，不符合题意； 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故选项正确，不符合题意； 根据平移的规律，的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，故选项说法错误，符合题意． 故选：． 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 抛物线的顶点坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线顶点式的特点即可求得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式与顶点坐标的关系是解决本题的关键． 17. 一元二次方程的两根分别为和，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可以得到，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答． 18. 将抛物线向上平移3个单位，向右移动1个单位，所得抛物线的解析式是______ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 19. 若是方程的解，则代数式的值为________． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的解， ， ， ， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解与代数式求值，根据一元二次方程的解的定义得到是解此题的关键，注意采用整体代入的思想进行计算． 三、解答题：本大题共8小题，共62分． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ∴ 【小问2详解】 解： ， ， ∴ 21. 已知二次函数，确定抛物线的开口方向和顶点坐标； 【答案】二次函数开口向下，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为． 22. 已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式； 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标，设出二次函数的顶点式，再把代入解析式，解出即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 又∵二次函数经过点， ∴把代入解析式，可得：， 整理，可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 即． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 23. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）； 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， ∴， ∴原方程为， ， ∵， ∴方程的另一个根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）抛物线顶点为，求的面积； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先把解析式化为顶点式求出点M的坐标，再求出A、C坐标，最后根据进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点M的坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴． 25. 阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：； 【答案】，，， 【解析】 【分析】设，那么原方程可化为，解方程即可． 本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，那么原方程可化为①， 解得，． 当时，， ， ∵， ； 故，； 当时，， ， ， ，． 故原方程的解为，，，． 26. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【答案】当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴， 答：当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈． 27. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， （1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）求其最大利润． 【答案】（1）， （2）元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案． （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出等式； （3）设利润为，由（2）可得利润的表达式为，利用二次函数的性质得到最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件， 故则每天销售量增加件，每件服装盈利元． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件， 依题意得， 整理得， 解得，， 由于要对顾客更有利， ． 故答案为：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1200元． 【小问3详解】 解：设利润为． 由（2）可得利润的表达式为， 化简得， 当时，有最大值． ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学滇池校区初2025届初三年级上学期开学考试 数学试卷 满分100分，共120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标为（0，3） C. 对称轴为y轴 D. 当x＜0时，函数y随x的增大而增大 5. 把方程化成的形式，下列变形确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 下列抛物线中，与抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 12. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A. B. C. D. 13. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长cm，宽cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 15. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D. 它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 抛物线的顶点坐标是__． 17. 一元二次方程的两根分别为和，则为______． 18. 将抛物线向上平移3个单位，向右移动1个单位，所得抛物线的解析式是______ 19. 若是方程的解，则代数式的值为________． 三、解答题：本大题共8小题，共62分． 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 已知二次函数，确定抛物线的开口方向和顶点坐标； 22. 已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式； 23. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）抛物线顶点为，求的面积； 25. 阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：； 26. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 27. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， （1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）求其最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $