第2章 2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2c(a2＋b2＝c2) 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 学业标准 素养目标 1．掌握双曲线的简单几何性质． (重点) 2．能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题．(难点、重点) 1．通过对双曲线几何性质的学习，培养学生直观想象核心素养． 2．借助于几何性质的应用，提升学生的数学运算等核心素养. 导学　双曲线的简单几何性质 　观察图形思考下面问题． (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ (2)观察双曲线图形，它是否为轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否为中心对称图形？对称中心是哪个点？ [提示]　(1)有限制，因为eq \f(x2,a2)≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. (2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心． 　双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ [提示]　有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． ◎结论形成 双曲线的简单几何性质 标准 方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) 图形 标准 方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) 焦点 ______________________ ______________________ 范围 _______________ _______________ 顶点 ______________________ ______________________ 焦距 |F1F2|＝________________ 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 对称性 __________________________________________________________ 渐近线 ______________ ______________ 离心率 ___________________ eq \f(x,a) ± eq \f(y,b) ＝0 eq \f(x,b) ± eq \f(y,a) ＝0 e＝ eq \f(2c,2a) ＝ eq \f(c,a) (e＞1) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．(　　) (2)若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．(　　) (3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．(　　) (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　 (4)× 2．若0＜k＜a，则双曲线eq \f(x2,a2－k2)－eq \f(y2,b2＋k2)＝1与eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有(　　) A．相同的实轴　　　　　 B．相同的虚轴 C．相同的焦点 D．相同的渐近线 解析　∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0. ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2. 答案　C 3．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－y2＝1 C．x2－eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)－y2＝1 解析　由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A． 答案　A 4．(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________. 解析　双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(x,\r(－m))，故m＝－3. 答案　－3 题型一　由双曲线方程求其几何性质 　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解析]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝eq \r(m)，虚半轴长b＝eq \r(n)，c＝eq \r(m＋n)， 焦点坐标为(eq \r(m＋n)，0)，(－eq \r(m＋n)，0)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m＋n),\r(m))＝eq \r(1＋\f(n,m))，顶点坐标为(－eq \r(m)，0)，(eq \r(m)，0)，所以渐近线方程为y＝±eq \f(\r(n),\r(m)) x．即y＝±eq \f(\r(mn),m)x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几个性质． [触类旁通] 1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解析　双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13). 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x. 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 　求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． [解析]　(1)设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)． 由题知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1. (2)解法一　当焦点在x轴上时， 由eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)且a＝3，∴b＝eq \f(9,2). ∴所求双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,81)＝1. 当焦点在y轴上时，由eq \f(a,b)＝eq \f(3,2)且a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1. ∴标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,81)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1. 解法二　设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4)， 当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2eq \r(－9λ)＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,81)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1. (3)设与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,2)－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝eq \f(22,2)－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1. 利用双曲线的几何性质求双曲线方程的解题方法 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性． [触类旁通] 2．(1)(2021·全国乙卷)已知双曲线C：eq \f(x2,m)－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为eq \r(3)x＋my＝0，则C的焦距为________． (2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a＞0)的一个焦点为(2,0)，则双曲线C的渐近线方程为________． 解析　(1)易知双曲线渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，由题意得a2＝m，b2＝1，且一条渐近线方程为y＝－eq \f(\r(3),m)x，则有m＝0(舍去)，m＝3.故焦距为2c＝4. (2)因为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a＞0)的一个焦点为(2,0)， 所以a3＋3＝4，故a2＝1，因此双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，所以其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x. 答案　(1)4　(2)y＝±eq \r(3)x 题型三　求双曲线的离心率 一题多变 　(1)(2024·全国甲卷·理)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D．eq \r(2) (2)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． [解析]　(1)解法一　(方程组法)　根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(36,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2\r(3)，))所以离心率e＝eq \f(c,a)＝2. 解法二　(定义法)　根据双曲线的定义，得2a＝|eq \r(－6－02＋4－42)－eq \r(－6－02＋4＋42)|＝|6－10|＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(8,4)＝2. (2)不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2·4a·2c·cos 30°，整理得(e－eq \r(3))2＝0，所以e＝eq \r(3). [答案]　(1)C　(2)eq \r(3) [母题变式] (变条件)本例(2)中条件“若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，其他条件不变，结果如何？ 解析　在Rt△PF1F2中，由题意可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝eq \r(3)c－c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1. 答案　1＋eq \r(3) [素养聚焦]　数学运算、直观想象在研究离心率的过程中得以体现． 1．求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a，c，再计算e＝eq \f(c,a). (2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含eq \f(b,a)的方程，求出eq \f(b,a)后利用e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))求离心率． 2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立a，b，c的不等式． (2)通过解不等式得eq \f(c,a)或eq \f(b,a)的范围，求得离心率的范围． [触类旁通] 3．(1)已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1的一条渐近线方程为y＝eq \f(4,3)x，则该双曲线的离心率e＝________. (2)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5) C．eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5) 解析　(1)当双曲线的焦点在x轴上时， 因为渐近线方程为y＝eq \f(4,3)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)， 所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝eq \f(5,3). 当双曲线的焦点在y轴上时，因为渐近线方程为y＝eq \f(4,3)x， 所以eq \f(a,b)＝eq \f(4,3)，这时eq \f(b,a)＝eq \f(3,4). 所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq \f(5,4). 故双曲线的离心率为eq \f(5,3)或eq \f(5,4). (2)由e＝eq \r(5)，则eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝5，解得eq \f(b,a)＝2， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x， 则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝eq \f(|2×2－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(\r(5),5)， 所以弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(4\r(5),5). 答案　(1)eq \f(5,3)或eq \f(5,4)　(2)D 知识落实 技法强化 1．双曲线的简单几何性质． 2．由简单几何性质求标准方程． 3．双曲线的离心率. 渐近线是双曲线特有的性质．把双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程mx±ny＝0变为m2x2－n2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程. $$