第2章 1.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆的几何性质的综合应用 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 课堂案·互动探究 01 课后案·学业评价 02 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 01 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 题型一　椭圆中的最值问题 　(1)若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为(　　) A．3,1　　　　　　　 B．2＋eq \r(3)，2－eq \r(3) C．2,1 D．eq \r(3)＋1，eq \r(3)－1 解析　(1)由题意知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(4－3)＝1，所以距离的最大值为a＋c＝3，距离的最小值为a－c＝1. (2)椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2，2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________． (2)椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4， c＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)． 如图所示，点Q在椭圆内部， ∵点P为椭圆上的点， 则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|， ∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PQ|－|PF2|))≤|QF2|＝eq \r(5)， ∴－eq \r(5)≤|PQ|－|PF2|≤ eq \r(5)，即|PF1|＋|PQ|∈[10－eq \r(5)，10＋eq \r(5)]． 答案　(1)A　(2)10＋eq \r(5)　10－eq \r(5) 求解椭圆最值问题的基本方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． [触类旁通] 1．已知椭圆eq \f(y2,a2)＋x2＝1(a＞1)的离心率e＝eq \f(2\r(5),5)，P为椭圆上的一个动点，若定点B(－1,0)，则|PB|的最大值为(　　) A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \f(5,2) D．3 解析　由题意可得eq \f(a2－1,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2，据此可得a2＝5，所以椭圆方程为eq \f(y2,5)＋x2＝1，设椭圆上点的坐标为P(x，y)，则y2＝5(1－x2)，故|PB|＝eq \r(x＋12＋y2)＝eq \r(x＋12＋51－x2)＝eq \r(－4x2＋2x＋6)，当x＝eq \f(1,4)时，|PB|max＝eq \f(5,2). 答案　C 题型二　椭圆上的点到直线的距离问题 　已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.求椭圆上的点到直线l的最小距离． [解析]　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l且与椭圆相切，则直线m的方程可以设成4x－5y＋k＝0.① 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－5y＋k＝0，,\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1)) 消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.② 令方程②的根的判别式Δ＝0， 得64k2－4×25×(k2－225)＝0.③ 解方程③得k1＝25或k2＝－25. 由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0. 直线m与直线l间的距离d＝eq \f(|40－25|,\r(42＋－52))＝eq \f(15\r(41),41)，即为切点到直线l的距离，所以，所求最小距离是eq \f(15\r(41),41). 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离转化为平行线间的距离，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔Δ＝0解决问题． [触类旁通] 2．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________． 解析　设直线x－y＋m＝0与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1相切， 联立消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0 ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或－5. ∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y±5＝0， 其中与直线x－y－5＝0距离较远的是x－y＋5＝0， 且距离为d＝eq \f(|－5－5|,\r(12＋－12))＝eq \f(10,\r(2))＝5eq \r(2)， ∴P到直线x－y－5＝0的最大距离为5eq \r(2). 答案　5eq \r(2) 题型三　椭圆的实际应用问题 　在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________cm. [解析]　因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同， 所以eq \f(c大,a大)＝eq \f(c小,a小)，即eq \r(\f(a\o\al(2,大)－b\o\al(2,大),a\o\al(2,大)))＝eq \r(\f(a\o\al(2,小)－b\o\al(2,小),a\o\al(2,小)))，所以eq \r(\f(202－102,202))＝eq \r(\f(a\o\al(2,小)－52,a\o\al(2,小)))， 解得a小＝10. 所以小椭圆的长轴长为20 cm. [答案]　20 [素养聚焦]　通过椭圆的实际应用，培养学生数学建模、数学运算等核心素养． 解决和椭圆有关的实际问题的思路 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． [触类旁通] 3．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8eq \r(7) 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米． 解析　设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,36)＝1(a＞6)，当点(4eq \r(7)，4.5)在椭圆上时， eq \f(16×7,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2,36)＝1，解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米． 答案　32 [缜密思维提能区]　易错辨析 解决椭圆问题时忽略取值范围致误 [典例]　设B(0,1)，曲线C：y＝eq \r(1－\f(x2,5))，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A．eq \f(5,2) B．eq \r(6) C．eq \r(5) D．2 [错解]　由题意可知B(0,1)在C上，曲线方程化为eq \f(x2,5)＋y2＝1， 即椭圆的标准方程． 设P(x0，y0)，则eq \f(x\o\al(2,0),5)＋yeq \o\al(2,0)＝1，xeq \o\al(2,0)＝5－5yeq \o\al(2,0)， |PB|＝eq \r(x\o\al(2,0)＋y0－12)＝eq \r(5－5y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)－2y0＋1) ＝eq \r(－4y\o\al(2,0)－2y0＋6)＝eq \r(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(1,4)))2＋\f(25,4)). 因为－1≤y0≤1，所以y0＝－eq \f(1,4)时，|PB|取得最大值eq \f(5,2)，故选A． [答案]　A [正解]　由错解部分可知： |PB|＝eq \r(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(1,4)))2＋\f(25,4))，(正确) 因为0≤y0≤1，所以y0＝0时，|PB|取得最大值eq \r(6)，故选B． [答案]　B [纠错心得]　本题易错于曲线C是焦点在x轴的椭圆，由椭圆的取值范围而致错．其实曲线C的方程化简时扩大了y的取值范围，因而在方程变形时要注意未知数的取值范围是否变化． 知识落实 技法强化 1．椭圆中的最值问题． 2．椭圆上的点到直线的距离． 3．生活中的椭圆问题. 处理椭圆中最值问题的方法 1．将有关最值问题转化为函数的最值问题处理，应注意x，y的取值范围． 2．利用定义转化为几何问题处理. $$