第2章 1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) 2c x轴和y轴 (0，0) 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　圆锥曲线 1 学业标准 素养目标 1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题．(重点、难点) 1．通过椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象、数学抽象等核心素养． 2．借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学1　椭圆的范围、对称性、顶点 　观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ [提示]　由eq \f(x2,a2)≤1，eq \f(y2,b2)≤1得：－a≤x≤a，－b≤y≤b. 　如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？ [提示]　a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|. 导学2　椭圆的离心率 　观察图形，思考以下问题． (1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？ (2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？ [提示]　(1)发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同． (2)椭圆的离心率． ◎结论形成 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2) ＋ eq \f(x2,b2) ＝1(a＞b＞0) 范围 ___________且___________ ___________且___________ 顶点 ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ 轴长 短轴长＝________，长轴长＝________ 焦点 F1__________，F2________ F1__________，F2________ 焦距 |F1F2|＝________ 对称性 对称轴____________，对称中心________ 离心率 e＝____________ eq \f(c,a) (0＜e＜1) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴有关．(　　) (2)椭圆的焦点一定在长轴上．(　　) (3)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的参数eq \f(b,a)不能刻画椭圆的扁平程度，而eq \f(c,a)能刻画椭圆的扁平程度．(　　) (4)椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1比椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1更扁一些．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(－1,0)(1,0)　　　 B．(－6,0)，(6,0) C．(－eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D．(0，－eq \r(6))，(0, eq \r(6)) 解析　椭圆x2＋eq \f(y2,6)＝1焦点在y轴上， 长轴端点坐标为(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))． 答案　D 3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，则(　　) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 解析　因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B． 答案　B 4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率e＝(　　) A．eq \f(1,3)　　 B．eq \f(1,2)　 C．eq \f(\r(2),2)　　 D．eq \f(2\r(2),3) 解析　不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 答案　C 题型一　由椭圆方程研究其几何性质 　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． [解析]　椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1.∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(mm＋2,m＋3)＞0，∴m＞eq \f(m,m＋3)，即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(mm＋2,m＋3)). 由e＝eq \f(\r(3),2)得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1. ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2). ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))； 四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 确定椭圆几何性质的步骤 (1)化标准，把椭圆方程化成标准形式． (2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置． (3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值． (4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质． [触类旁通] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　利用几何性质求椭圆方程 　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________． (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)，则椭圆的标准方程为____________． [解析]　(1)设椭圆G的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)， 半焦距为c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝3\r(3)，))∴b2＝a2－c2＝36－27＝9， ∴椭圆G的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1. (2)由已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1. [答案]　(1)eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1　(2)eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 利用性质求椭圆方程的步骤 注意：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距． [触类旁通] 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(BA2,\s\up16(→))＝－1，则C的方程为(　　) A．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1　　　 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)＋y2＝1 解析　由题意，A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以eq \o(BA1,\s\up16(→))＝(－a，－b)，eq \o(BA2,\s\up16(→))＝(a，－b)，eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(BA2,\s\up16(→))＝－a2＋b2＝－1①.又a2＝b2＋c2，所以c＝1，而e＝eq \f(1,3)，所以a＝3，故选B． 答案　B 题型三　求椭圆的离心率 一题多变 　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率． [解析]　设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)， 焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)． 依题意设A点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))) 则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，∴|AB|＝eq \f(2b2,a). 由△ABF2是正三角形得2c＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2b2,a)，即eq \r(3)b2＝2ac， 又∵b2＝a2－c2，∴eq \r(3)a2－eq \r(3)c2－2ac＝0， 两边同除以a2得eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))－eq \r(3)＝0， 解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3). [母题变式] 1．(变条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？ 解析　设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，\f(y0,2)))， ∵B点在椭圆上，∴eq \f(c2,4a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),4b2)＝1， 解得yeq \o\al(2,0)＝4b2－eq \f(b2c2,a2)，由△AF1F2为正三角形得4b2－eq \f(b2c2,a2)＝3c2，即c4－8a2c2＋4a4＝0，两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝eq \r(3)－1. 2．(变条件)本例中将条件“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的eq \f(2,3)”，求椭圆的离心率． 解析　设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)，F2(c,0)．由题意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(2,3)b))在椭圆上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(4,9)＝1，解得e＝eq \f(\r(5),3). [素养聚焦]　直观想象、数学运算等核心素养在本例中得以体现． 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [触类旁通] 3．(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq \r(3)e1，则a＝(　　) A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \r(6) (2)若椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，求k的值． (1)解析　由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \o\al(2,2)＝3eeq \o\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq \f(2\r(3),3).故选A． 答案　A (2)解析　若焦点在x轴上，即k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9， e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(k－1,k＋8)＝eq \f(1,4)，解得k＝4. 若焦点在y轴上， 即0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8， e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1－k,9)＝eq \f(1,4)，解得k＝－eq \f(5,4). 综上所述，k＝4或k＝－eq \f(5,4). 知识落实 技法强化 1．椭圆的简单几何性质． 2．由椭圆的简单几何性质求椭圆方程． 3．椭圆的离心率. 1．已知椭圆的方程讨论性质，应先化方程为标准型． 2．根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，应是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法． 3．求椭圆的离心率常用函数与方程的思想、数形结合思想. $$