第3章 4.3 第2课时 空间中的距离问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　空间中的距离问题 学业标准 素养目标 1．理解点到平面的距离、点到直线的距离的意义，掌握其距离公式． 2．会用空间向量解决有关距离的问题．(重点) 通过空间中有关距离问题的求解，提升数学运算、直观想象等核心素养. [对应学生用书P112] 导学1　点到平面的距离 　如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1. (1)点A到平面A1B1C1D1的距离？ (2)点A到平面BB1C1C的距离？ [提示]　(1)1　(2) ◎结论形成 1．点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝　|·n0|　＝　　(n为平面α的一个法向量)． 2．平行平面的直线与该平面之间的距离、两平行平面间的距离 平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离，都可以转化为__点到平面的距离__． (1)平行于平面α的直线l与平面α之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈l，n是平面α的法向量． (2)两平行平面α，β之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α的法向量． 导学2　点到直线的距离 　如图，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离．如何求这个距离呢？ [提示]　先求在l0方向上的投影数量的长度，即||＝|·l0|，在Rt△PP′A中，点P到直线l的距离为|PP′|＝＝. ◎结论形成 1．点到直线的距离 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝　　＝　　(其中l为直线l的一个方向向量)． 2．两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离d＝(A∈a，P∈b，a0为直线a的单位方向向量)． [对应学生用书P113] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度．(　　) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) (3)若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．(　　) (4)异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则||的最小值就是l1与l2的距离．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)√ 2．已知直线l过点A(1，－1,2)，和直线l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到直线l的距离等于(　　) A．　　　　　　　 B．2 C． D．5 解析　因为＝(－2，－6,2)， 所以·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14， |n|＝＝5. 所以点P到直线l的距离为＝. 答案　C 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 解析　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0,1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B． 答案　B 4．平面α的法向量n＝(1，－1,2)，点B在α上且B(2，2,3)，则P(－2,1,3)到α的距离为________． 解析　＝(4,1,0)，d＝＝＝. 答案　 [对应学生用书P113] 题型一　点到直线的距离一题多变 　如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离． [解析]　解法一　作AH⊥BD，垂足为H， ∵PA⊥平面ABCD， ∴AH为PH在平面ABCD上的投影． 由垂直关系得PH⊥BD，∴PH即为P到BD的距离，在Rt△ABD中，可得AH＝， 在Rt△PAH中，由勾股定理 可求得PH＝＝， ∴P到BD的距离为. 解法二　如图，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0，4,0)， ∴＝(3,0，－1)，＝(－3,4,0)， ∴＝－， P到BD的距离 d＝＝＝. ∴P到BD的距离为. [母题变式] (变结论)若本例中条件不变，则D到直线PB的距离为________． 解析　由题意可知，＝－， ∴D到直线PB的距离d＝＝＝. 答案　 用向量法求点到直线的距离时的三点注意 (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性． [触类旁通] 1．已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，则点B到直线A1C1的距离为________． 解析　以点B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4,3,0)，而＝(0,3,1)， 所以点B到直线A1C1的距离d＝＝＝. 答案　 题型二　点到平面的距离 　如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离． [解析]　解法一　设点A到平面A1BD的距离为h，则VB­AA1D＝×a××a×a＝a3， VA­A1BD＝×h××(a)2＝a2h， ∵VA­A1BD＝VB­AA1D， ∴h＝a，∴点A到平面A1BD的距离为a. 解法二　如图所示，建立空间直角坐标系B1­xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)， 则＝(a，a,0)，＝(0，a，a)，＝(－a,0,0)，设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则 即∴ 令y＝－1，则x＝z＝1，∴n＝(1，－1,1)． ∴·n＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a. ∴点A到平面A1BD的距离d＝＝＝a. [答案]　a 求点到平面的距离的两种方法 (1)综合几何法：作、证、求，即作出该距离，证明它是点到平面的距离，再求出． (2)向量法：设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，A∈α，则点B到平面α的距离d为|·n0|. [触类旁通] 2．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解析　存在点Q满足题意，此时＝. 取AD的中点O，连接OP，OC．在△PAD中， ∵PA＝PD，∴PO⊥AD． 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD． 建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)， 则＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)． 假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为. 设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y,0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则∴即x0＝y0＝z0， 取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)． ∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝， ∴y＝－或y＝(舍去)． 此时＝，＝， 则||＝，||＝. ∴存在点Q满足题意，此时＝. 题型三　线面、面面间的距离 　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2. (1)求证：直线CD1∥平面A1BC1； (2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离． [解析]　建系如图，则C(0,4，0)，D1(0,0,2)，B(3，4,0)，A1(3,0,2)，C1(0，4,2)， 所以＝(0，－4,2)，＝(0，－4,2)，＝(－3,0,2)，＝(－3,0,0)． (1)证明　∵＝，∴CD1∥BA1， 又CD1⊄平面A1BC1， BA1⊂平面A1BC1， 所以CD1∥平面A1BC1. (2)设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 ，即，∴. 取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4,3,6)， 则·n＝(－3,0,0)·(4,3,6)＝－12， |n|＝. 所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离为：d＝＝＝. [素养聚焦]　直观想象、数学运算核心素养及转化思想在本例中得以体现． 平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离都可以转化为点到平面的距离从而利用点到平面的距离公式求解即可． [触类旁通] 3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2，0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2，4,4)，N(4,2,4)， 则有＝(2,2,0)，＝(2,2，0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)， ∴＝，＝， ∴EF∥MN，AM∥BF. ∴平面AMN∥平面EFBD． 设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 从而解得 令z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)． ∵＝(0,4,0)，∴在n上的投影为＝＝－.∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝. 知识落实 技法强化 1．空间中两点之间的距离． 2．点到直线的距离． 3．点到平面的距离． 4．直线到平面、平面到平面的距离. 1．用向量法求点到平面的距离：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量，求出平面法向量n，计算d＝. 2．空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，用向量法求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$