第3章 4.2 第2课时 三垂线定理及其逆定理（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　三垂线定理及其逆定理 [对应学生用书P104] 导学　三垂线定理及其逆定理 　如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)BD⊥AC1吗？ (2)l是平面ABCD内任意直线，若l⊥AC1，则AC⊥l吗？ [提示]　(1)垂直；(2)垂直． ◎结论形成 1．三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的__投影垂直__，则它也和这条斜线__垂直__． 2．三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线__垂直__，则它也和这条斜线在这个平面内的__投影垂直__． [点拨] (1)三垂线定理叙述的是平面内直线与平面的斜线及斜线在平面内的投影三者之间的垂直关系． (2)这里平面内的直线与平面的斜线可以相交，也可以异面． (3)三垂线定理及其逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明． (4)三垂线定理及其逆定理在应用时要清楚以下问题． ①从条件上看，三垂线定理的条件是“和投影垂直”，其逆定理的条件是“和斜线垂直”； ②从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，逆定理正好相反． [对应学生用书P105] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的投影垂直，则l⊥l′.(　　) (2)如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的投影垂直．(　　) (3)如果向量a和直线l在平面α内的投影垂直，则a⊥l.(　　) (4)如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的投影．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．两条异面直线在一个平面内的投影是(　　) A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．两条平行直线或两条相交直线 D．以上都不正确 解析　除两直线平行或相交外，还可能是一条直线及其外一点． 答案　D 3．在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线(　　) A．只有一条 B．可能一条也没有 C．可能有一条也可能有两条 D．有无数多条 答案　D 4．菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是________． 解析　由三垂线定理，可知PC与BD垂直． 答案　垂直 [对应学生用书P105] 题型一　三垂线定理的应用 　如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD． [证明]　∵PA⊥正方形ABCD所在平面， 则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO， 又AC⊥BD，AO⊥BD， 由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD． 三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理，关于三垂线定理的应用，关键是找出平面的垂线，至于投影，则是由垂足、斜足来确定的；利用三垂线定理证明两直线a⊥b的步骤：一垂，二投，三证．即第一找平面及平面垂线，第二找投影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线，第三证明投影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直． [触类旁通] 1．如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC． 证明　因为PA⊥平面ABC，所以PC是平面ABC的斜线，所以AC是PC在平面ABC上的投影，因为BC⊂平面ABC且AC⊥BC，所以由三垂线定理得PC⊥BC． 题型二　三垂线定理逆定理的应用 　如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形． [证明]　平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形， 故点P在平面ABCD内的投影为AD的中点O， 所以PO⊥平面ABCD， 直线OA为直线PA在平面ABCD内的投影， 又PA⊥CD， 由三垂线定理的逆定理可知AD⊥CD， 又因为四边形ABCD是平行四边形， 所以四边形ABCD是矩形． 三垂线定理的逆定理的实质是空间内一条斜线的射影与平面内一条直线垂直的判定定理，其应用关键是找出平面的垂线；证明步骤：第一找平面与平面的垂线，第二找该投影线是哪条斜线的投影，第三证明平面内的直线与斜线垂直，从而得出平面内的直线与投影线垂直． [触类旁通] 2．已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB． 证明　如图． ∵PQ⊥α于Q，OR⊥α于点R，∴PO在平面α内的射影为QR， 又PO⊥β于点O，α∩β＝AB，∴PO⊥AB， ∴由三垂线定理的逆定理知，QR⊥AB． 题型三　三垂线定理、逆定理的综合应用 　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，N为棱A1B1上的点，且A1N＝NB1，求证：MN⊥MC． [证明]　连接BM，设AB＝a.则AM＝MA1＝，A1N＝，∴＝.又∠BAM＝∠MA1N＝90°，∴△BAM∽△MA1N. ∴∠ABM＝∠A1MN. 又∠ABM＋∠AMB＝90°， ∴∠AMB＋∠A1MN＝90°，即MN⊥MB， 又BC⊥平面A1ABB1， ∴MB为MC在平面A1ABB1内的投影， ∴MN⊥MC． [素养聚焦]　本题通过三垂线定理及逆定理的应用，提升学生直观想象，逻辑推理等核心素养． 利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、投影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理． [触类旁通] 3．在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列说法正确的是(　　) A．A在平面BCD内的投影是△BCD的重心 B．A在平面BCD内的投影一定在△BCD的内部 C．AD⊥BC D．AD∥BC 解析　如图，作AO⊥平面BCD，连接OB，OC，OD，则AO⊥CD， 又因为AB⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，故A错误；若△BCD为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B错误；同理DO⊥BC，由三垂线定理可知AD⊥BC，故C正确，D错误． 答案　C 知识落实 技法强化 1．三垂线定理及其逆定理． 2．利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直. 在证明直线与直线垂直的过程中，要善于发现斜线及其投影，然后通过证明直线与另一直线的投影垂直而证明线线垂直，或通过证明直线与斜线垂直来证明与其投影垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $$