第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 学业标准 素养目标 1．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的长度、夹角的坐标表示，并能熟练应用．(重点、难点) 1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的探究，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算和直观想象等核心素养. [对应学生用书P93] 导学1　空间向量运算的坐标表示 　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基，任作一向量，根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ [提示]　相同． 　空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有什么不同？ [提示]　空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，算法是相同的，但空间向量比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的． ◎结论形成 1．标准正交基 在空间直角坐标系O­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个__互相垂直的单位向量__就构成空间向量的一组基　{i，j，k}　，这组基叫作标准正交基． 2．空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在__唯一__的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝　xi＋yj＋zk　. 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到__唯一__的一个向量p＝　xi＋yj＋zk　与之对应．这样，就在__空间向量__与__三元有序实数组__之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组__(x，y，z)__叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝__(x，y，z)__．单位向量i，j，k都叫作__坐标向量__． 3．空间向量运算的坐标表示 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)__ 减法 a－b a－b＝__(x1－x2，y1－y2，z1－z2)__ 数乘 λa λa＝　(λx1，λy1，λz1)，λ∈R　 数量积 a·b a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__ 4．空间向量的坐标表示及长度 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ①＝(x2－x1，y2－y1，z2－y1)； ②dAB＝||＝. 导学2　空间向量平行与垂直、长度与夹角的坐标表示 　空间向量的平行、垂直的条件、夹角公式与平面向量的有何不同？ [提示]　无论是平面向量a和b还是空间向量a和b，用a和b表示的平行与垂直条件、夹角公式形式都是一样的．但是用坐标表示时，空间向量多了一个竖坐标． ◎结论形成 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔　＝＝　 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔__x1x2＋y1y2＋z1z2__＝0 模 |a|＝＝ 夹角 cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0) [对应学生用书P94] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若空间向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．(　　) (2)若空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)共线，则＝＝.(　　) (3)空间向量a＝(1,1,1)是一个单位向量．(　　) (4)若a，b为空间向量，则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．若向量a＝(2,2,3)，b＝(－1,2,1)，c＝(0,1,1)，则a·(b＋c)＝(　　) A．5　　　　　　　　　 B．8 C．10 D．12 解析　b＋c＝(－1,3,2)，所以a·(b＋c)＝－2＋6＋6＝10. 答案　C 3．已知在空间直角坐标系O­xyz中，点A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　) A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24) C．(－6,8,24) D．(－5,6,24) 解析　∵a＝(－3,4,12)，且＝2a，∴＝(－6,8，24)，∵A(1，－2,0)，∴B＝(－6＋1,8－2，24＋0)＝(－5,6,24)，故选D． 答案　D 4．a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m＝________. 解析　∵a⊥b，∴1·m＋5×2－2(m＋2)＝0. ∴m＝6. 答案　6 [对应学生用书P94] 题型一　空间向量的坐标运算 　已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求＋，－2，·； (2)若点M满足＝＋，求点M的坐标； (3)若p＝，q＝，求(p＋q)·(p－q)． [解析]　(1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)， 所以＝(－3,5，－4)，＝(－1,0,9)． 所以＋＝(－4,5,5)． 又＝(－4,5,5)，＝(3，－5,4)， 所以－2＝(－10,15，－3)． 又＝(－3,5，－4)，＝(1,0，－9)， 所以·＝－3＋0＋36＝33. (2)由(1)知，＝＋＝(－3,5，－4)＋(1, 0，－9)＝， 若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是解得故M. (3)由(1)知，p＝＝(－1,0,9)，q＝＝(－4，5,5)， 解法一　(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16. 解法二　p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)， 所以(p＋q)·(p－q)＝－15－25＋56＝16. 空间向量的坐标运算的三点注意 (1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标． (2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. [触类旁通] 1．在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 解析　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z2)，所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4,1,2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4,5)． 因为＝(3，－2,5)， 所以 解得所以点C的坐标为(9，－6,10)． (2)因为＝(－7,1，－7)，＝(3，－2,5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. (3)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(9－x，－6－y,10－z)，于是有(x－2，y＋5，z－3)＝(9－x，－6－y,10－z)， 所以解得 故点P的坐标为. 题型二　空间向量的平行与垂直的应用一题多变 　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [解析]　(1)∵＝(－2，－1,2)且c∥， ∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1. ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. [母题变式] (变条件)将本例(2)中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解析　a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，a＋kb＝(1－k,1,2k)． ∵ka＋a与a＋kb平行， ∴ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)． ∴∴或 ∴k的值为±1. 向量平行与垂直问题主要有两种题型 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线； ②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意： ①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程； ②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． [触类旁通] 2．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值． 解析　ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)， a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5) ＝(7，－4，－16)． (1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－. (2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0， 解得k＝. 题型三　空间向量的长度与夹角的计算 　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． (1)[证明]　如图，以点D为原点建立空间直角坐标系D­xyz，则E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G， ∴＝－＝， ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)， ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C． (2)[解析]　由(1)知＝－(0,1,1)＝，∴||＝. 又·＝×0＋×＋×(－1)＝，|EF|＝， ∴cos〈，〉＝＝. 从而可知异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (3)[解析]　由(1)知F，H， ∴＝. ∴||＝＝， 即FH的长为. [素养聚焦]　直观想象、数学运算在本例中得以体现． 利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用空间向量的夹角与长度的计算公式进行求解． [触类旁通] 3．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点(不包括端点)，且满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围为________． 解析　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,0,0)，F(2,2,1)． 设M(x,0,2)，N(2，y,2)， 其中0＜x＜2,0＜y＜2， ∴＝(1，y,2)，＝(x－2，－2,1)． ∵⊥，∴·＝(1，y,2)·(x－2，－2，1)＝x－2y＝0， ∴x＝2y.∵0＜x＜2，∴0＜y＜1. 由空间两点间的距离公式可得 |MN|＝ ＝＝ . 结合二次函数的性质可知当y＝时，|MN|min＝，当y＝0时，|MN|max＝2. ∴线段MN的长度的取值范围为. 答案　 [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视两个向量夹角为钝角的条件致误 [典例]　a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，m＝ka＋b，n＝a－3b，若m与n的夹角为钝角，求k的取值范围． [错解]　由题意知：m·n＜0. 即(ka＋b)·(a－3b)＜0， 而ka＋b＝(k－2,5k＋3,5－k)， a－3b＝(7，－4，－16)． ∴(k－2,5k＋3,5－k)·(7，－4，－16)＜0， 即得k＜.∴k∈. [正解]　由题意知 而m＝(k－2,5k＋3,5－k)，n＝(7，－4，－16)， ∴ 即 解得k的取值范围是∪. [纠错心得]　空间向量a，b夹角为锐角的充要条件是“a·b＞0且a，b不同向”；a，b夹角为钝角的充要条件是“a·b＜0且a，b不反向”．如果在求解过程中，忽视两个向量共线的情况，就有可能扩大参数的取值范围，导致错误． 知识落实 技法强化 1．空间中向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算. 空间向量坐标运算中的加法、减法、数乘运算及数量积是平面向量的坐标运算的推广，运算的实质没有改变，只是由于维数不同才导致表达形式稍有变化. 学科网（北京）股份有限公司 $$