第3章 3.1 空间向量基本定理（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3．1　空间向量基本定理 学业标准 素养目标 掌握空间向量基本定理，理解一组基、基向量的概念，会用向量基本定理解决相关问题. 1．通过学习空间向量基本定理，提升数学抽象等核心素养． 2．通过对一组基的灵活应用，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P89] 导学　空间向量基本定理 　在平面向量基本定理中， (1)向量a与b有什么要求吗？ (2)对于这个平面内，任意一个向量c写成a与b的线性表达式唯一吗？ [提示]　(1)向量a与b不共线． (2)唯一． ◎结论形成 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.这时　{a，b，c}　叫作空间向量的一组基，其中　a，b，c　都叫作基向量． 2．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基． [拓展]　当a，b，c不共面时，xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. [对应学生用书P90] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间任意三个不共线的向量均可构成空间向量的一组基．(　　) (2)基向量中可以含有零向量，但至多一个．(　　) (3)如果向量a，b与空间任何向量都不能构成空间向量的一组基，那么向量a，b一定是共线向量．(　　) (4)如果向量组{a，b，c}是空间向量的一组基，且m＝a＋c，那么{a，b，m}也是空间向量的一组基．(　　) 解析　(1)错误，因为空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一组基． (2)错误，基向量中一定不可以含有零向量． (3)正确，向量a，b与空间任何向量都不能构成空间向量的一组基，说明向量a，b 与空间任何向量都是共面向量，从而a，b一定是共线向量． (4)正确，因为若a，b，m共面，则存在唯一实数对(x，y)，使得m＝xa＋yb，即a＋c＝xa＋yb，所以(x－1)a＋yb－c＝0，而a，b，c不共面，所以x－1＝y＝－1＝0，这显然不成立，故a，b，m不共面，即{a，b，m}也是空间向量的一组基． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以构成空间向量的一组基的是(　　) A．，，　　　 B．，， C．，， D．，， 解析　∵向量，，不共面，∴可以构成空间向量的一组基，故选C． 答案　C 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b－c C．a－b＋c D．a－b＋c 解析　＝－＝－ ＝(＋)－ ＝(＋)－ ＝(＋－)－ ＝－＋ ＝a－b＋c.故选C． 答案　C 4．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为一组基，＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＝__________，y＝________，z＝________. 解析　如图所示， ∵＝＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋， 且＝x＋y＋z， ∴x＝y＝z＝1. 答案　1　1　1 [对应学生用书P90] 题型一　对基向量、一组基的理解 　已知{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基？若能，试以此组基表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由． [解析]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使＝x＋y成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，∴e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， 即不存在实数x，y使＝x＋y， ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间向量的一组基． 设＝p＋q＋z，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. ∵{e1，e2，e3}为空间向量的一组基． ∴解得 ∴＝17－5－30. (1)对于空间的一组基{a，b，c}：①a，b，c一定不共面；②a，b，c中一定没有零向量． (2)判断a，b，c可否构成空间向量的一组基，即判断a，b，c是否共面，若不共面则a，b，c可以构成空间向量的一组基，否则不能构成空间向量的一组基，实际判断时，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理建立λ，μ的方程组，若有解则共面，否则不共面． [触类旁通] 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间向量的一组基．给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间向量的一组基的有______个． 解析　如图，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面． 同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故②③④可以作为空间向量的一组基，因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故①不能作为空间向量的一组基． 答案　3 题型二　空间向量基本定理的应用一题多变 　如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用{a，b，c}为一组基表示向量，. [解析]　＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋(－) ＝b＋a＋(c－b) ＝b＋a＋c－b ＝a＋b＋c. ＝＋＋＝＋＋ ＝a＋b＋(－) ＝a＋b＋(c－b) ＝a＋b＋c. [母题变式] 1．(变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，如何求解？ 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝b＋(a－b)＝a＋b. ＝＋＝＋ ＝－ ＝－(－) ＝a－(c－b) ＝a＋b－c. 2．(变条件、变结论)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用{a，b，c}为一组基表示向量. 解析　＝＋＋ ＝－－ ＝(＋)－－ ＝[＋(－)]－－ ＝(a＋c－b)－c－a ＝a－b－c. 用一组基表示向量的方法 (1)根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基． (2)用确定的空间向量的一组基(或已知空间向量的一组基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． [触类旁通] 2．四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋， 又，，不共面． ∴x＝，y＝，z＝，∴x＋y＋z＝. 答案　 题型三　空间向量的共面问题 　对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问与，是否共面？若共面，请给出证明；不共面，请说明理由． [解析]　与，共面，证明如下： 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，由向量加法法则， 得＝＋＋，＝＋＋，① 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有＝－，＝－，② 将②代入①中，再两式相加得2＝＋， 所以＝＋，即与，共面． 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组成，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [触类旁通] 3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有＝x＋＋，则x的值是(　　) A．1　　　　　　　 B．0 C．3 D． 解析　因为＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，所以必有x＋＋＝1，解得x＝，故选D． 答案　D [缜密思维提能区]　规范答题 四点共面问题 [典例]　(13分)已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，如图所示，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，求证：E，F，G，H四点共面． [审题指导]　要证E，F，G，H四点共面，需证＝x＋y(x，y∈R)，即用，线性表示即可． [规范解答]　如图所示，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交对边于点M，N，Q，R. ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心， ∴M，N，Q，R为所在边的中点．(2分) 顺次连接M，N，Q，R所得四边形 即为平行四边形，且有＝， ＝，＝， ＝.(6分) ∵四边形MNQR为平行四边形， ∴＝－＝－＝ ＝(＋) ＝(－)＋(－) ＝＋ ＝＋.又，不共线， ∴由共面向量基本定理得，向量，，共面．(11分) 又∵三个向量有公共点E， ∴E，F，G，H四点共面．(13分) 知识落实 技法强化 1．共线向量基本定理、共面向量定理． 2．空间向量基本定理. 1．空间向量的一组基是不唯一的，我们常选从一个顶点出发的已知长度与夹角的三个不共面向量为一组基． 2．用一组基表示向量时，要注意结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示. [必备知识·基础巩固] 1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是(　　) A．－a＋b＋c　　　　　 B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝(－a＋b)＋c＝－a＋b＋c. 答案　A 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝. 答案　D 3．已知单位长度的正方体ABCD­A1B1C1D1，点E为B1D1的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为一组基，表示： (1)＝________； (2)＝________. 解析　(1)在△AB1D1中，＝a，＝b，E为B1D1中点， ∴＝(＋)＝a＋b； (2)＝＋＝＋ ＝＋＝a＋b＋c. 答案　(1)a＋b　(2)a＋b＋c 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 解析　如图所示，＝＋， ＝(＋)， ＝，＝， ∴＝＋＋， 又＝x＋y＋z， 则x＝y＝，z＝1，x＋y＋z＝2. 答案　2 5．如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. 解析　＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋×(＋) ＝＋＋； ＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋×(＋)＝＋＋. [关键能力·综合提升] 6．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量a，b与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则a∥b； ②若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c； ③若{，，}是空间向量的一组基，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面； ④若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间向量的一组基，则{a，b，c}也是空间向量的一组基． 解析　对于①，若向量a，b与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则向量a，b为共线向量，即a∥b，故①正确； 对于②，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故②错误； 对于③，若{，，}是空间向量的一组基，且＝＋＋，则－＝(－)＋(－)，即＝＋，可得A，B，C，D四点共面，故③正确； 对于④，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间向量的一组基，则对于空间任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z)，使得d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则{a，b，c}也是空间向量的一组基，故④正确．故正确的命题是①③④. 答案　①③④ 7．如图所示，已知ABCD­A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上靠近C点的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 解析　(1)取DD1的中点G，过点G作DC的平行线GH，使GH＝DC，连接AH(如图)，则＋＋＝. (2)＝＋＝＋ ＝(－)＋(＋) ＝＋＋， 又，，不共面， 所以α＝，β＝，γ＝. [核心价值·探索创新] 8．化学中，将构成粒子(原子、离子、分子等)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫作晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________． 解析　设该立方体的棱长为a，取{，，}为空间向量的一组基，其中〈，〉＝90°，〈，〉＝90°，〈，〉＝90°. ∵＝－＝－＝－，＝＋＝＋， 设BF与B1E所成角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝＝， ∴BF与B1E所成角的余弦值为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$