第3章 2.1 从平面向量到空间向量&2.2 空间向量的运算（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　空间向量与向量运算 2．1　从平面向量到空间向量 2．2　空间向量的运算 学业标准 素养目标 1．体验由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(难点) 2．体验由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(重点) 3．掌握空间向量运算(线性运算、数量积)的定义和运算律，并能综合应用．(重点) 1．通过空间向量的概念和运算，培养数学抽象、数学运算等核心素养． 2．通过对空间向量的线性运算和数量积的学习，培养直观想象等核心素养. [对应学生用书P84] 导学1　从平面向量到空间向量 　如图平行六面体ABCD­A1B1C1D1： (1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与相等的向量有哪些？ (2)向量，，是共面向量吗？ [提示]　(1)因为AA1，BB1，CC1，DD1互相平行而且长度相等，因此，＝＝＝. (2)因为经过平移后可以达到的位置，而，，都在平面ADD1A1内． ◎结论形成 1．空间向量的概念及表示 (1)与平面向量类似，在空间中，我们把具有__大小__和__方向__的量叫作空间向量．向量的__大小__叫作向量的长度或模． (2)空间向量也有两种表示法：一种用__有向线段__表示，另一种印刷用a，b，c，…表示，书写用，，，…表示． 2．空间向量的模 表示向量a的__有向线段__的长度叫作向量的长度或模，用　|a|　表示． 3．特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量，如a＝b 自由向量 数学中所研究的向量与向量__起点__无关 相反向量 方向__相反__且模__相等__的向量，a的相反向量用　－a　表示 零向量 规定模为0的向量记作0，零向量的方向为任意方向 共线(平 行)向量 表示向量的两条有向线段所在的直线__平行__或__重合__，称这两个向量互为共线向量，规定0与任意的向量__平行__ 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 导学2　空间向量的线性运算 　如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，M为CB′的中点，化简下列向量表达式： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－)． [提示]　(1)＋＋＝＋＝＋＝； (2)－＋＝＋＋＝＋＝＋＝； (3)因为点M为CB′的中点，则＋＋(－)＝＋(－)＝＋＝. ◎结论形成 1．空间向量的线性运算 加减 运算 加法 减法 a＋b＝＋＝　　 a＋(－b)＝a－b＝－＝＋＝＋＝　　 运算律 (1)交换律a＋b＝　b＋a　； (2)结合律(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　 数乘 运算 定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个__向量__，记作　λa　 λa的 长度与 方向 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，向量λa与向量a方向__相同__；当λ＜0时，向量λa与向量a方向__相反__；当λ＝0时，λa＝　0　 单位 向量 对于任意一个非零向量a，当λ＝时，λa＝表示与向量a__同方向__的单位向量 运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(其中λ∈R，μ∈R) 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一实数λ，使　a＝λb　. (共线向量基本定理或一维向量基本定理) 如果两个向量a，b__不共线__，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝　xa＋yb　 导学3　空间向量的数量积 　在平面内，两个向量a，b，向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，求(a＋2b)·(a－b)． [提示]　(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝4＋2×3×cos －2×32＝－11. ◎结论形成 1．两个向量的夹角 (1)夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量的夹角，记作　〈a，b〉　. (2)夹角的范围：　[0，π]　. ①两个向量的夹角唯一，且〈a，b〉＝〈b，a〉； ②当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； ③当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反． (3)两个向量垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.规定：零向量与任意向量垂直． 2．空间两个向量的数量积 定义 已知两个空间向量a，b，则　|a||b|cos〈a，b〉　叫作a，b的数量积，记作　a·b　，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0 性质 (1)cos〈a，b〉＝　(a≠0，b≠0)　； (2)|a|＝　　； (3)a⊥b⇔a·b＝0 运算律 交换律 a·b＝　b·a　 分配律 a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝　λ(a·b)　 3．投影向量与投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量　　为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于　　. (2)向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos〈a，b〉＝　　＝　a0·b　.(其中a≠0，a0为与向量a同方向的单位向量) [对应学生用书P86] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间中，单位向量唯一．(　　) (2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(　　) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(　　) (4)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) 解析　(1)单位向量的方向是任意的，故(1)错． (2)在空间中，任意向量都可以平移，故(2)正确． (3)在空间中大小相等，方向相反的向量，叫相反向量，是共线的，故(3)正确． (4)相等向量方向相同，大小相等，当起点相同时，终点一定相同，故(4)正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)√ 2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．0 解析　由三角形法则可得＋＋＝＋＝，故选A． 答案　A 3．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 解析　由数乘向量的模的意义可知|λa|＝|λ||a|，故选C． 答案　C 4．已知向量a，b满足|a|＝1，且a·b＝2，a与b的夹角为，则|b|＝________.b在a方向上的投影数量为________． 解析　a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×|b|cos＝2，∴|b|＝4. b在a方向上的投影数量为＝2. 答案　4　2 [对应学生用书P86] 题型一　空间向量的线性运算一题多变 　(1)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． ①＋； ②＋＋； ③－－. (2)在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式． ①＋＋； ②(＋－)． [解析]　(1)①＋＝. ②因为M是BB1的中点，所以＝. 又＝， 所以＋＋＝＋＝. ③－－＝－＝. 向量，，，如图所示． (2)如图所示，①因为G是△BCD的重心， 所以||＝||，所以＝. 又因为＝，所以由向量的加法法则，可知＋＝＋＝，＋＝＋＝. 从而＋＋＝. ②分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝， 所以(＋－)＝＋－＝－＝. [母题变式] (变结论)本例(2)条件不变，求证：＝(＋＋)． 证明　连接CG，∵＝＋，＝＝(＋)＝(＋＋＋)， ∴＝＋(2＋＋)＝(＋＋)． 解决空间向量线性运算问题的方法及技巧 1．进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 2．和空间向量的线性运算相关的结论 (1)位置向量：＝－. (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有＝＋＋. (3)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. (4)若O为空间中任意一点，则 ①点P是线段AB中点的充要条件是＝(＋)； ②若G为△ABC的重心，则＝(＋＋)． [触类旁通] 1．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值． 解析　∵＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－＋＋，又＝＋x＋y，∴x＝，y＝－. 题型二　空间向量共线、共面问题 　(1)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线？ (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． (1)[解析]　由已知可得，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＝－. 所以＝－，故与共线． (2)[证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面． (1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb(b≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b. (2)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． (3)向量共面：向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面． [触类旁通] 2．(1)已知空间向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D (2)如图所示，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面． (1)解析　＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线． 答案　A (2)证明　连接BG，EG(图略)，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.即向量，，共面，故E，F，G，H四点共面． 题型三　空间向量的数量积及其应用 　已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求： (1)·； (2)·； (3)AC1的长． [解析]　如图所示， 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2， |b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)||2＝|＋＋|2＝2＋2＋2＝2×22＋42＝24， ∴||＝2，即AC1的长为2. [素养聚焦]　数学运算、直观想象核心素养在本例中得以体现． 在几何体中进行向量的数量积的计算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中注意适当的设向量，以简化步骤． [触类旁通] 3．(多选)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 解析　因为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以·＝0，所以A正确；同理可得·＝0，所以B正确；因为PC与AD所成角为∠PCB，显然不垂直，所以C错误；因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，所以·＝0，所以D正确．故选ABD． 答案　ABD [缜密思维提能区]　易错案例 利用数量积求异面直线所成的角 [典例]　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值． [解析]　因为＝＋＝＋， ＝－，且·＝·＝·＝0， 所以·＝(＋)·(－) ＝·－2＋·－· ＝－1. 又||＝，||＝＝. 所以cos〈，〉＝＝＝－. 则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为. [纠错心得]　利用数量积求异面直线所成的角：在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是转化前后两个角的关系可能相等，也可能互补． 知识落实 技法强化 1．空间向量的相关概念． 2．空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)和数量积． 3．向量的线性运算的运算律和数量积的性质. 1．在进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．正确区分投影向量和投影数量. [必备知识·基础巩固] 1．在空间四边形OABC中，＋－＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　＋－＝－＝＋＝. 答案　C 2．(多选)下列命题的判断正确的是(　　) A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线 C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线 D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上 解析　A错误，因为向量与向量所在的直线可能平行，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；B正确，因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以向量与向量方向相同或相反，所以向量与向量共线；C错误，虽然A，B，C，D四点不在一条直线上，但是向量与向量方向可以相同也可以相反，所以向量与向量可能共线；D正确；因为向量与向量共线，且向量与向量有公共点B，则向量与向量所在的直线重合，所以A，B，C三点在一条直线上． 答案　BD 3．在四面体O­ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c 解析　＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋＝a＋b＋c. 答案　C 4．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是________． 解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；对于③：当，，方向相同时，有||＋||＝||；对于④：当，，共线且与，方向相反时，有||－||＝||.只有②一定不成立． 答案　② 5．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________． 解析　设〈，〉＝θ，∵·＝(＋＋)·＝||2＝1，∴cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案　 6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？ 解析　取AC中点为G.连接EG，FG，所以＝，＝，又因为，，共面，所以＝＋＝＋＝(＋)，所以与＋共线． [关键能力·综合提升] 7．(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，下列说法正确的是(　　) A．(＋＋)2＝3()2 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|(·)| 解析　由向量的加法得到： ＋＋＝， ∵A1C2＝3A1B∴()2＝3()2， ∴A正确； ∵－＝，AB1⊥A1C， ∴·＝0，故B正确； ∵△ACD1是等边三角形， ∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C ∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°， 但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确． ∵AB⊥AA1，∴·＝0， 故|(·)|＝0，因此D不正确， 故选AB． 答案　AB 8．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________． 解析　2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，∴||＝. 答案　 9．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋， cos〈，〉＝ ＝＝0，故填90°. 答案　90° 10．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． (1)证明　＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC， ∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋||2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋||2 ＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. (2)解析　结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋||2＝||2－1. 又||＝＝＝||， ∴cos〈，〉＝＝， ∴||＝2，即侧棱长为2. [核心价值·探索创新] 11．利用空间向量的知识证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 解析　如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设点O是AC′的中点，则＝＝(＋＋)． 设P，M，N分别是BD′，CA′，DB′的中点，则＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(－＋＋)＝(＋＋)， 同理可得＝(＋＋)，＝(＋＋)． 由此可知O，P，M，N四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分． 学科网（北京）股份有限公司 $$