第3章 1.1 点在空间直角坐标系中的坐标&1.2 空间两点间的距离公式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　空间直角坐标系 1．1　点在空间直角坐标系中的坐标 1．2　空间两点间的距离公式 学业标准 素养目标 1．能在空间直角坐标系中求出给定点的坐标．(重点、难点) 2．掌握空间两点间的距离公式，并能简单地应用．(重点) 通过空间直角坐标系及两点间距离公式的学习，提升直观想象、数学运算等核心素养. [对应学生用书P80] 导学1　空间直角坐标系及点的坐标 　空间直角坐标系建系的位置不同，点的坐标相同吗？ [提示]　建立坐标系是解题的关键，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时要慎重建立空间直角坐标系． 　设点M的坐标为(a，b，c)，过点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？ [提示]　分别是(a，b,0)，(0，b，c)，(a,0，c)． ◎结论形成 1．空间直角坐标系 过空间任意一点O，作__三条两两垂直__的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：__x__轴、__y__轴和__z__轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.点O叫作坐标原点，x轴(__横轴__)、y轴(__纵轴__)、z轴(__竖轴__)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为__xOy__平面、__yOz__平面、__zOx__平面． 一般是将x轴和y轴放置在__水平面__上，那么z轴就__垂直__于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为__右手系__． 2．点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用__唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)__来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定__空间中的一个点P__.这样，在空间直角坐标系中，__任意一点P__与__三元有序实数组(x，y，z)__之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z)． __三元有序实数组(x，y，z)__叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的__横__坐标，y叫作点P的__纵__坐标，z叫作点P的__竖__坐标． 导学2　空间两点间的距离公式 　在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x，0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)与坐标原点O的距离分别是什么？ [提示]　|OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|. 　在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)与坐标原点O的距离分别是什么？ [提示]　|OA|＝，|OB|＝，|OC|＝ . ◎结论形成 空间两点间的距离公式 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q 两点间的距离为|PQ|＝.这就是空间两点间的距离公式． [拓展]　若P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则线段PQ的中点坐标为. [对应学生用书P81] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．(　　) (4)将空间两点间公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．点P(－2,0,3)位于(　　) A．y轴上　　　　　　　 B．z轴上 C．xOz平面内 D．yOz平面内 答案　C 3．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m＝________. 解析　|AB|＝＝，所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.所以m＝－7或13. 答案　－7或13 4．在空间直角坐标系中，点A(2,3,4)关于点P(－3，－2,1)的对称点为B，则B点的坐标为________，|AB|＝________. 解析　设B点坐标为(x，y，z)， 由题知P是AB的中点， 所以解得 所以B点的坐标为(－8，－7，－2)． |AB|＝＝2 . 答案　(－8，－7，－2)　2 [对应学生用书P81] 题型一　求空间点的坐标一题多变 　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)若N为棱CC1的中点，求点N的坐标． [解析]　(1)显然D(0,0,0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)． 同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)． 同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，则C1C的中点N为，即N. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，试求直线BD1与AC1的交点坐标． 解析　设M是直线BD1与AC1的交点，则M是AC1的中点，又因为A(3,0,0)，C1(0,4,5)，故M. 2．(变条件)本例中的“长方体”若换为“棱长为4的正方体”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解析　(1)D(0,0,0)，A(4,0,0)，C(0,4,0)，B(4,4,0)，A1(4,0,4)，B1(4,4,4)，C1(0,4,4)，D1(0,0,4)． (2)因为N是CC1的中点，故N的坐标为(0,4,2)． (1)若坐标系已给出，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标． [触类旁通] 1．(1)在空间直角坐标系O­xyz中，画出不共线的3个点，P，Q，R，使得这3个点的坐标都满足z＝3，并画出图形； (2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件． 解析　(1)取三个点P(0,0,3)，Q(4,0,3)，R(0,4,3)． (2)P，Q，R三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在xOy平面的同侧，且到xOy平面的距离相等，所以平面PQR平行于xOy平面，而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足z＝3. 题型二　空间中点的对称问题 　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． [解析]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)． 求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称平面(中心) 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) [触类旁通] 2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________． 解析　点P关于平面xOz对称后，它的纵坐标变为相反数，其他不变，因此第一个应填(－3，－2，－1)；P关于z轴对称后，它的竖坐标没变，横、纵坐标变为相反数，因此第二个应填(3，－2，－1)；设P关于M(1,2,1)对称后的点为(x，y，z)，则由中点坐标公式，得＝1，＝2，＝1，解得x＝5，y＝2，z＝3.因此第三个应填(5,2,3)． 答案　(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5,2,3) 题型三　空间两点间距离公式的应用 　(1)已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形　　　　　　 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 (2)如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O­xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值． (1)[解析]　∵|AB|＝＝， |BC|＝＝， |AC|＝＝， ∴|BC|2＋|AC|2＝|AB|2. 即△ABC是直角三角形．故选C． [答案]　C (2)[解析]　依题意P，设点Q(0,1，z)， 则|PQ|＝ ＝， 所以当z＝时，|PQ|min＝， 此时Q，Q恰为CD的中点． [素养聚焦]　数学运算、直观想象核心素养在本例中得以体现． 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定． [触类旁通] 3．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 解析　以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(1,0,0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝. 知识落实 技法强化 1．求空间点的坐标． 2．空间两点间的距离. 1．作平面xOy的垂线和构造长方体是求点的坐标的常用方法． 2．空间两点间的距离公式是平面两点间距离公式的推广. [必备知识·基础巩固] 1．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D． 解析　由点P的坐标可知到平面yOz的距离即为横坐标的绝对值． 答案　A 2．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称 解析　由A，B两点的坐标可知关于y轴对称． 答案　B 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4，0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(　　) A．9 B． C．5 D．2 解析　由已知，可得C1(0,2,3)， ∴|AC1|＝＝. 答案　B 4．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 解析　点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)， ∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝. 答案　 5．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________． 解析　因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)． 答案　(0，－1,0) 6．如图，已知三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，|PA|＝|PB|＝2，|PC|＝1，E为AB的中点．试建立空间直角坐标系并写出点P，A，B，C，E的坐标． 解析　以点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示，则P(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，E(1,1,0)． [关键能力·综合提升] 7．(多选)已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　) A．(0,1，－1) B．(0，－1,4) C．(0,1，－6) D．(0,2,10) 解析　设C点(0，y，z)，依题意得12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2化简得5y＋z＋1＝0，即B，C坐标适合，故选BC． 答案　BC 8．(多选)已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法不正确的是(　　) A．A，B，C三点可构成直角三角形 B．A，B，C三点可构成锐角三角形 C．A，B，C三点可构成钝角三角形 D．A，B，C三点不能构成任何三角形 解析　由|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，得|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故△ABC是直角三角形．即仅有A正确，故选BCD． 答案　BCD 9．对于任意实数x，y，z，则＋的最小值为________． 解析　设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，O(0,0,0)．则＋＝|PO|＋|PM|. 由于x，y，z是任意实数，即点P是空间中的任意点，则|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝. 答案　 10．已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由． 解析　如图，若PA⊥AB成立，则AB⊥平面POA， 所以AB⊥OA，设B(0，y,0) 则有OA＝，|OB|＝y， |AB|＝. 由OB2＝OA2＋AB2，得y2＝2＋1＋(y－1)2，解得y＝2，所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PA⊥AB成立． [核心价值·探索创新] 11．如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上． (1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|； (2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值． 解析　由题意，知B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 故BD1的中点P. 由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为(0,1，a)(0≤a≤1)． (1)由2|C1Q|＝|QC|，易知|QC|＝，故Q. 从而|PQ|＝＝. (2)由题意，知 |PQ|＝＝(0≤a≤1)． 当a＝时，2＋取得最小值． 从而|PQ|min＝，此时Q. 学科网（北京）股份有限公司 $$