第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 学业标准 素养目标 1．在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，会求弦长和中点问题． 2．综合利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决范围与最值，定点与定值问题. 通过解决直线与圆锥曲线的综合问题，提升数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养. [对应学生用书P72] 导学　直线与圆锥曲线的综合问题 　请你用多种方法解决下面问题： 斜率为的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [提示]　解法一　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长|AB|＝p＋y1＋y2＝4＋y1＋y2. 因为抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，消去x整理得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以|AB|＝10. 故线段AB的长为10. 解法二　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得抛物线的焦点为(0,2)，故直线AB的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0， 由消去y得x2－4x－16＝0， 则x1＋x2＝4，x1x2＝－16，代入弦长公式|AB|＝得|AB|＝10. 解法三　由题意知线段AB为抛物线的焦点弦，已知直线AB的斜率为，p＝4，代入焦点弦的斜率式|AB|＝2p(1＋k2)(由于抛物线的焦点在y轴上，因此将抛物线y2＝2px对应的焦点弦的斜率式|AB|＝2p中的变为k可得|AB|＝10)． ◎结论形成 1．圆锥曲线的弦及弦长公式 (1)圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． (2)弦长公式 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： ①交点法：将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两点A，B的坐标，利用两点间的距离公式得弦长，即|AB|＝. ②公式法：在Δ>0的前提下，若直线l的斜率k存在，则 |AB|＝＝　|x2－x1|　 ＝　　， 当直线l的斜率存在且不为零时， |AB|＝ ＝|y2－y1| ＝　　； 若直线l的斜率不存在，则 |AB|＝|y1－y2|＝　　. 2．中点弦问题的解法 在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： (1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解． (2)点差法：设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系． [对应学生用书P73] 1．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　由消去y，得3x2＋4x－2＝0. 设弦两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 中点坐标为(x中，y中)，则x1＋x2＝－， 所以x中＝－.从而y中＝x中＋1＝－＋1＝， 所以中点坐标为. 答案　C 2．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B．2 C．6 D．4 解析　由双曲线方程知，右焦点为(2,0)，直线x＝2与渐近线y＝±x的交点A(2,2)，B(2，－2)，所以|AB|＝4. 答案　D 3．(多选)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m＝(　　) A．－1　　 B．－　　 C．　　 D．1 解析　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由题意，得＝， 解得m＝±1.故选AD． 答案　AD 4．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程为______________． 解析　由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x. 设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)， 把A，B两点的坐标代入抛物线方程得 由①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 又y1＋y2＝4，∴＝＝1. ∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x. 答案　y＝x [对应学生用书P73] 题型一　中点弦及弦长问题 　(1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A． B． C． D． (2)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． (1)[解析]　设A，B，则AB的中点M， 可得kAB＝，k＝＝， 因为A，B在双曲线上，则两式相减得－＝0， 所以kAB·k＝＝9. 对于选项A: 可得k＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x－8，联立方程消去y得72x2－2×72x＋73＝0，此时Δ＝2－4×72×73＝－288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得k＝－2，kAB＝－，则AB：y＝－x－，联立方程消去y得45x2＋2×45x＋61＝0，此时Δ＝2－4×45×61＝－4×45×16<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得k＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x， 由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：k＝4，kAB＝，则AB：y＝x－， 联立方程消去y得63x2＋126x－193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确． 故选D． [答案]　D (2)[解析]　解法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 而＝－1，＝kOC＝， 代入上式可得b＝a. ∵|AB|＝|x2－x1|＝2，即(x2－x1)2＝4，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根， 又∵(x1＋x2)2－4x1x2＝(x2－x1)2＝4， ∴2－4·＝4. 将b＝a代入，解得a＝，b＝， ∴所求椭圆的方程是＋y2＝1. 解法二　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ ＝·. ∵|AB|＝2，∴＝1.① 设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝. ∵OC的斜率为，∴＝， 代入①，解得a＝，b＝， ∴所求椭圆的方程是＋y2＝1. 直线和圆锥曲线相交问题的通用解法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，再利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意． [触类旁通] 1．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　) A．经过点O　　　　 B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 解析　不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，P(x0，y0)(x0＞0)，则Q，F，直线FQ的斜率为，从而线段FQ的垂直平分线的斜率为，又线段FQ的中点为，所以线段FQ的垂直平分线的方程为y－＝(x－0)，即2px－2y0y＋y＝0，将点P的横坐标代入，得2px0－2y0y＋y＝0，又2px0＝y，所以y＝y0，所以点P在线段FQ的垂直平分线上，故选B． 答案　B 题型二　圆锥曲线中的最值、范围问题 　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． [解析]　(1)设A，B， 由可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以＝＝＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. (2)因为F，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M，N， 由可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0，所以＋y1y2＝0， 即＋y1y2＝0， 亦即y1y2＋m＋2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，得 4m2＝n2－6n＋1,4＝2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， ＝＝＝ ＝ ＝2， 所以△MNF的面积S＝××d＝××2＝2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以，当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝2＝12－8. 求解圆锥曲线中最值、范围问题的基本方法 (1)构建含变量的不等式(组)，通过解不等式(组)求变量的取值范围．基本途径有：①由直线与圆锥曲线相交，联立方程组成方程组并消元，利用判别式及根与系数的关系构建关于变量的不等关系；②利用图形构建关于变量的不等关系(如三角形两边之和大于第三边，点到直线的距离不大于点与直线上点之间的距离等)． (2)构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围． (3)对于求具有直观几何意义的变量的取值范围或最值的问题，则可通过数形结合，利用图形的几何性质求解． [触类旁通] 2．若在抛物线y2＝2x上存在相异两点关于直线l：y＝m(x－2)对称，求m的范围． 解析　如图．当m＝0时，直线l：y＝0恰好是抛物线的对称轴．满足题设条件． 当m≠0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上关于直线l对称的两点． PQ中点是M，设直线PQ方程是y＝－x＋b，由 消去x得y2＋2my－2mb＝0.　(*) ∵方程(*)有两个不等实根， ∴Δ＝4m2＋8mb>0⇒m2＋2mb>0.① y1＋y1＝－2m， x1＋x2＝2mb－m(y1＋y2)＝2mb＋2m2， ∴M(mb＋m2，－m)，由M点在直线l上得： －m＝m(mb＋m2－2)⇒b＝.② 把②代入①，得m2<2⇒－<m<，且m≠0. 综合上述知：所求m的范围是(－，)． 题型三　圆锥曲线中的定点、定值问题 　(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A在C上． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． (1)[解析]　由题意，可得解得 所以椭圆方程为＋＝1. (2)[证明]　由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k＋3，P，Q， 联立方程消去y得x2＋8kx＋16＝0， 则Δ＝64k22－64＝－1 728k>0，解得k<0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝，因为A，则直线AP：y＝， 令x＝0，解得y＝，即M， 同理可得N，则 ＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝3， 所以线段MN的中点是定点. [素养聚焦]　数学运算、逻辑推理、直观想象在本例中得以体现． 1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 2．圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [触类旁通] 3．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F为抛物线的焦点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值． 证明　(1)∵焦点为F，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，由得ky2－2py－kp2＝0. ∴y1y2＝－p2， x1x2＝·＝＝＝. 当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝， 则y1＝p，y2＝－p⇒y1y2＝－p2， x1x2＝·＝. (2)由焦半径公式知， |AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋， ∴＋＝＋ ＝. 又x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式得＋＝＝为常数，故＋为定值． [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视点差法的应用前提致误 [典例]　已知曲线C的方程为2x2－y2＝2，问过点P(1，1)能否作直线l，使直线l与曲线C交于A，B两点，且点P为弦AB的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． [错解]　假设直线l存在，设直线l与双曲线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∵2x－y＝2,2x－y＝2， ∴两式相减整理得＝2. 即直线l的方程为y＝2x－1. [正解]　设存在这样的直线l，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∵2x－y＝2,2x－y＝2， ∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴4(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，∴＝2， ∴直线l的方程为y＝2x－1. ∵方程组无解， ∴不存在这样的直线l. [纠错心得]　与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也是利用点差法及设而不求的思想．另外，需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验．如本典例． 知识落实 技法强化 1．最值与范围问题． 2．定点、定值问题. 解决直线与圆锥曲线的综合问题，一般要联立直线方程与圆锥曲线方程，然后利用根与系数的关系求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$