第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 学业标准 素养目标 1．会求直线与圆锥曲线的交点．(重点) 2．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点、难点) 1．通过求直线与圆锥曲线的交点，培养数学运算等核心素养． 2．通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，提升学生的直观想象、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P69] 导学　直线与圆锥曲线的交点 　(1)直线和圆的位置关系有几种？ (2)如何通过直线方程，圆锥曲线对应的方程探讨直线与圆锥曲线的交点？ [提示]　(1)三种：相交、相切、相离． (2)可以联立它们的方程， 通过方程的解的问题，来探讨直线与圆锥曲线的交点问题． ◎结论形成 直线与圆锥曲线的交点个数 通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系．由此可知，直线与圆锥曲线的__交点个数__与两者对应方程的__公共解的个数__是相同的． [对应学生用书P69] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与椭圆公共点的个数最多有2个．(　　) (2)直线与抛物线相切，则直线与抛物线有唯一公共点．(　　) (3)直线与抛物线有唯一公共点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(　　) (4)直线与双曲线有唯一公共点，则直线与双曲线相切．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　 (4)× 2．直线y＝3x－1与椭圆＋＝1的公共点的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．无数个 解析　联立消去y得11x2－6x－7＝0 ∵Δ＝(－6)2－4×11×(－7)>0 ∴直线与椭圆有两个公共点，故选C． 答案　C 3．直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则实数k＝________. 解析　根据题意，直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1， 消去y整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，∵Δ＝0，∴k＝±；又注意到直线恒过点(0，－1)且渐近线的斜率为±1，与渐近线平行时也成立．故答案为：±或±1. 答案　±或±1 4．过点(0，－1)与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有________条． 解析　①当斜率不存在时，只有一个公共点顶点符合题意． ②当斜率存在时，设直线方程为y＝kx－1. 联立得k2x2－(1＋2k)x＋1＝0.○* 当k＝0时，方程○*有唯一实数解，符合题意． 当k≠0时，方程○*有唯一实数解⇔Δ＝0， 即(1＋2k)2－4k2＝0. 解得k＝－，符合题意， 综上共有3条直线． 答案　3 [对应学生用书P70] 题型一　直线与椭圆的交点问题一题多变 　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点？ [解析]　由 消去y得，9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点； (2)当Δ>0时，得－5<m<5，直线l与椭圆有两个公共点； (3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，直线l与椭圆无公共点． [母题变式] (变条件、变结论)若本例将直线方程变为“l：y＝k(x－2)＋1”，其他条件不变，则直线与椭圆公共点的个数为________． 解析　直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)．又P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆有两个公共点． 答案　2 直线与椭圆的位置关系的判断方法 把椭圆方程＋＝1(a>b>0)与直线方程y＝kx＋m联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有： (1)Δ>0，直线与椭圆有两个公共点，称直线与椭圆相交； (2)Δ＝0，直线与椭圆有唯一公共点，称直线与椭圆相切； (3)Δ<0，直线与椭圆无公共点，称直线与椭圆相离． [触类旁通] 1．若直线y＝2x＋m与椭圆＋＝1有唯一公共点，则实数m＝________. 解析　由 得关于x的一元二次方程9x2＋8mx＋2m2－4＝0， Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. Δ＝0⇔有唯一公共点，即m＝±3. 答案　±3 题型二　直线与双曲线的交点问题一题多变 　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [解析]　由消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*) 当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故方程(*)有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． ①即－<k<， 且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点． ②即k＝±时，方程(*)有唯一实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点． ③即k<－或k>时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，(1)当－<k<－1或－1<k<1或1<k<时，直线与双曲线有两个公共点． (2)当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点． (3)当k<－或k>时，直线与双曲线没有公共点． [母题变式] (变条件)本例中直线和双曲线的方程不变，若直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则实数k的取值范围是________． 解析　联立方程消去y后整理得 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 依题意方程(*)有一正一负两个实数 即解得－1<k<1. 答案　(－1,1) [素养聚焦]　数学运算、直观想象核心素养在本例中得以体现． 直线与双曲线的位置关系的判断方法 (1)代数法：将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2或y2项的系数是否为零，否则容易漏解． (2)数形结合法：判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系． 注意：解决有关直线与双曲线的位置关系的问题时，还要关注直线交于双曲线两支中哪一支的问题，从而确定变量x和y的隐含范围． [触类旁通] 2．直线y＝b与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右支分别交于B，C两点，若OB⊥OC，O为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为________． 解析　直线y＝b与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右支分别交于B，C两点， 联立 可得B(－a，b)，C(a，b)．因为OB⊥OC， ∴·＝－2a2＋b2＝0， 即2a2＝b2，b＝±a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 答案　y＝±x 题型三　直线与抛物线的交点问题 　当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ [解析]　由，得k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0. 当k＝0时，方程化为一次方程，－4x＋4＝0， 该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解 ∴直线y＝－2与抛物线只有一个公共点； 当k≠0时，二次方程的Δ＝4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2＝－16(k2－2k－1)， 当Δ>0时， 得k2－2k－1<0,1－<k<1＋， ∴当1－<k<0或0<k<1＋时， 直线与抛物线有两个公共点； 由Δ＝0得k＝1±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由Δ<0得k<1－或k>1＋，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当k＝0或k＝1±时，直线与抛物线仅有一个公共点；当1－<k<0或0<k<1＋时，直线与抛物线有两个公共点；当k<1－或k>1＋时，直线与抛物线无公共点． 直线与抛物线交点问题的解题思路 1．判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． 2．直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． [触类旁通] 3．(多选)已知直线l过定点P(0,1)，则与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点的直线l的方程为(　　) A．y＝1　　　　　　　 B．x－2y＋2＝0 C．x＝0 D．x＝ 解析　(1)当过点P(0,1)的直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1， 由方程组 消去y得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0， ①若k＝0，则－2x＋1＝0，解得x＝，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为y＝1； ②若k≠0，令Δ＝(2k－2)2－4k2＝0，解得k＝，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为y＝x＋1，即x－2y＋2＝0. (2)当过点P(0,1)的直线l的斜率不存在时， 该直线方程为x＝0，与抛物线相切，只有一个交点． 综上，直线l的方程为y＝1，x－2y＋2＝0或x＝0.故选ABC． 答案　ABC [缜密思维提能区]　易错辨析 对直线与双曲线位置关系理解不全面致误 [典例]　求经过点，且与双曲线4x2－y2＝1仅有一个公共点的直线的方程． [错解]　可设所求直线方程为y－2＝k，由 得(4－k2)x2－2kx－＝0. 所以有解得k＝， 故所求直线方程为y＝x＋. [正解]　若直线的斜率存在，设为k， 则所求直线方程为y－2＝k， 由 将①代入②整理，得(4－k2)x2－2kx－＝0.③ (1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点． 所以有即2－4(4－k2)·＝0，且k≠±2， 解得k＝. 故所求直线的方程为y＝x＋. (2)当k＝2时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线①和双曲线仅有一个公共点，故得到直线方程为y＝2x＋1. (3)当k＝－2时， 同理可得直线方程为y＝－2x＋3. (4)当斜率不存在时，因为点在直线x＝上，且x＝与双曲线只有一个公共点，所以所求直线方程为x＝. 综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y＝x＋，y＝2x＋1，y＝－2x＋3和x＝. [纠错心得]　在研究直线与双曲线的位置关系时，首先应注意直线与双曲线只有一个公共点，并不是一定就是直线与双曲线相切，还可能是直线与双曲线的渐近线平行，这种情况对应于直线方程与双曲线方程联立后，二次项系数等于0的情况，不能忽视这种情况；其次在求直线方程时，还应注意讨论斜率不存在的直线是否符合题意，因为直线方程的点斜式不能表示斜率不存在的直线，所以应单独进行讨论分析． 知识落实 技法强化 1．直线与椭圆、双曲线的位置关系． 2．直线与圆锥曲线的交点. 1．位置关系的判断：代数法，充分运用转化，分类讨论的思想方法． 2．直线与曲线的交点问题通常采用数形结合的方法更加直观. 学科网（北京）股份有限公司 $$