第2章 1.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　椭圆的几何性质的综合应用 [对应学生用书P48] 题型一　椭圆中的最值问题 　(1)若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为(　　) A．3,1　　　　　　　 B．2＋，2－ C．2,1 D．＋1，－1 (2)椭圆C：＋＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2，2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________． 解析　(1)由题意知a＝2，b＝，所以c＝＝1，所以距离的最大值为a＋c＝3，距离的最小值为a－c＝1. (2)椭圆C：＋＝1， ∴a＝5，b＝4，c＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)． 如图所示，点Q在椭圆内部， ∵点P为椭圆上的点，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|， ∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10，又≤|QF2|＝，∴－≤|PQ|－|PF2|≤ ，即|PF1|＋|PQ|∈[10－，10＋]． 答案　(1)A　(2)10＋　10－ 求解椭圆最值问题的基本方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． [触类旁通] 1．已知椭圆＋x2＝1(a＞1)的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，若定点B(－1,0)，则|PB|的最大值为(　　) A． B．2 C． D．3 解析　由题意可得＝2，据此可得a2＝5，所以椭圆方程为＋x2＝1，设椭圆上点的坐标为P(x，y)，则y2＝5(1－x2)，故|PB|＝＝＝，当x＝时，|PB|max＝. 答案　C 题型二　椭圆上的点到直线的距离问题 　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.求椭圆上的点到直线l的最小距离． [解析]　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l且与椭圆相切，则直线m的方程可以设成4x－5y＋k＝0.① 由方程组 消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.② 令方程②的根的判别式Δ＝0， 得64k2－4×25×(k2－225)＝0.③ 解方程③得k1＝25或k2＝－25. 由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0. 直线m与直线l间的距离d＝＝，即为切点到直线l的距离， 所以，所求最小距离是. 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离转化为平行线间的距离，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔Δ＝0解决问题． [触类旁通] 2．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________． 解析　设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切， 联立消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0 ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0， 解得m＝5或－5. ∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y±5＝0， 其中与直线x－y－5＝0距离较远的是x－y＋5＝0，且距离为d＝＝＝5， ∴P到直线x－y－5＝0的最大距离为5. 答案　5 题型三　椭圆的实际应用问题 　在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________cm. [解析]　因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以＝，即＝，所以＝，解得a小＝10. 所以小椭圆的长轴长为20 cm. [答案]　20 [素养聚焦]　通过椭圆的实际应用，培养学生数学建模、数学运算等核心素养． 解决和椭圆有关的实际问题的思路 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． [触类旁通] 3．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米． 解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞6)，当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米． 答案　32 [缜密思维提能区]　易错辨析 解决椭圆问题时忽略取值范围致误 [典例]　设B(0,1)，曲线C：y＝，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 [错解]　由题意可知B(0,1)在C上，曲线方程化为＋y2＝1，即椭圆的标准方程． 设P(x0，y0)，则＋y＝1，x＝5－5y， |PB|＝＝ ＝＝. 因为－1≤y0≤1，所以y0＝－时，|PB|取得最大值，故选A． [答案]　A [正解]　由错解部分可知： |PB|＝，(正确) 因为0≤y0≤1，所以y0＝0时，|PB|取得最大值，故选B． [答案]　B [纠错心得]　本题易错于曲线C是焦点在x轴的椭圆，由椭圆的取值范围而致错．其实曲线C的方程化简时扩大了y的取值范围，因而在方程变形时要注意未知数的取值范围是否变化． 知识落实 技法强化 1．椭圆中的最值问题． 2．椭圆上的点到直线的距离． 3．生活中的椭圆问题. 处理椭圆中最值问题的方法 1．将有关最值问题转化为函数的最值问题处理，应注意x，y的取值范围． 2．利用定义转化为几何问题处理. 学科网（北京）股份有限公司 $$