1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．已知过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．4 解析：选C．因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(，0)，将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故|AB|＝1.故选C． 2．已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，点P(x0，)是椭圆C上一点，则|PF|＝(　　) A． B． C．3或 D．或 解析：选D．将P(x0，)代入椭圆C：＋＝1中，得＋＝1，解得x0＝±2，又F(－2，0)，当x0＝2时，|PF|＝＝；当x0＝－2时，|PF|＝＝.综上，|PF|＝或|PF|＝.故选D． 3.(2024·河南驻马店检测)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan ∠PF1F2＝(　　) A． B．2 C． D． 解析：选A．由椭圆的方程＋＝1可得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，设|PF1|＝r，则|PF2|＝2a－r＝6－r，由P在第一象限可得r>6－r，即r>3，因为PF1⊥PF2，所以r2＋(6－r)2＝(2c)2＝20，整理可得r2－6r＋8＝0，解得r＝4或r＝2(舍去)，即|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以在Rt△PF1F2中，tan ∠PF1F2＝＝＝.故选A． 4.(2024·江西景德镇期中)如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 解析：选B．设椭圆的右焦点为F′，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F′|，|P2F|＝|P8F′|，|P3F|＝|P7F′|，…，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F′|＋|P9F|)＋(|P8F′|＋|P8F|)＋…＋(|P5F′|＋|P5F|)＝9a＝18.故选B． 5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，卡门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知椭圆的离心率为，且|F1F2|＝5 cm，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为(　　) A．9 cm B．10 cm C．14 cm D．18 cm 解析：选A．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆的离心率为，且|F1F2|＝5 cm，所以e＝＝，2c＝5，所以a＝，c＝，所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为2a＝9 cm.故选A． 6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C交于P，Q两点，若|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5，则(　　) A．PF1⊥PF2 B．△QF1F2的面积等于 C．直线l的斜率为 D．C的离心率等于 解析：选ABD．由|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5可知，不妨设|F2Q|＝m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m，又|PQ|＝|F2Q|＋|PF2|＝4m，可得|PF2|＝3m.利用椭圆定义可知|F1Q|＋|F2Q|＝|PF1|＋|PF2|＝6m，所以可得|PF1|＝3m. 即|PF1|＝|PF2|＝3m，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，如图所示．由|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m可知满足|PF1|2＋|PQ|2＝|F1Q|2，所以PF1⊥PF2.即A正确；所以△PF1F2为等腰直角三角形，且|PF1|＝3m＝a，因此△QF1F2的面积S△QF1F2＝S△QF1P－S△PF1F2＝|PQ||PF1|－|PF2|·|PF1|＝6m2－m2＝m2＝，即B正确；此时可得直线l的斜率kPQ＝kPF2＝－1，即C错误；在等腰直角三角形PF1F2中，易知a2＋a2＝(2c)2，即可得离心率e＝＝，即D正确．故选ABD． 7．已知F1(－c，0)，F2(c，0)分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使|PF2|＝2c，则椭圆离心率的取值范围为____________． 解析：由题设，|PF2|＝2c≥－c，则e2＝≥，而0<e<1，所以≤e<1. 答案：≤e<1 8．(2024·广西钦州检测)若常数a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a2的长轴长是短轴长的3倍，则实数a的值为____________． 解析：由椭圆x2＋a2y2＝2a2，可得椭圆＋＝1，当a>1时，＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以2＝3×2，即a＝3；当0<a<1时，＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以2＝3×2，即a＝，综上，实数a的值为3或. 答案：3或 9．已知a＝(x－，y)，b＝(x＋，y)，且满足|a|＋|b|＝4，则点P(x，y)的轨迹方程为______________________________________． 解析：设F1(，0)，F2(－，0)，由|a|＋|b|＝4可得， ＋＝4，上式的几何意义是P(x，y)与点F1(，0)，F2(－，0)的距离之和是4，且4>2，即|PF1|＋|PF2|＝4>|F1F2|，所以点P(x，y)的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝1，所以点P(x，y)的轨迹方程为＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 10.如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的标准方程． 解：根据题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，|AB|＝8且AB的中点为O，则A点坐标为(－4，0)，B点坐标为(4，0)，即椭圆中c＝4，则a2－b2＝16.又|BC|＝6，故C点坐标为(4，6)，椭圆经过点C，则有＋＝1，解得a2＝64，b2＝48，故椭圆的标准方程为＋＝1. 11.(2024·广西桂林期中)如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4、短轴AB的长为2的半个椭圆，设P是该图形上任意一点，则与线段AP的长度的最大值最接近的是(参考数据：≈1.73)(　　) A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 解析：选C．以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由题意a＝2，b＝1，且椭圆焦点在y轴上， 所以半椭圆方程为＋x2＝1(0≤y≤2)，A(－1，0)，B(1，0)，设点P的坐标为(x0，y0)(－1≤x0≤1，0≤y0≤2)，则＋x＝1，所以|AP|＝＝＝ ，因为x0∈[－1，1]，所以当x0＝时，|AP|取得最大值，|AP|max＝≈2.31，所以选项中与线段AP的长度的最大值最接近的是2.3.故选C． 12.如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为的球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的(　　) A．长轴长为3 B．离心率为 C．焦距为2 D．面积为3π 解析：选C．如图，由题意知OB⊥AB，|OB|＝，∠BAO＝60°，所以|OA|＝＝＝2，所以椭圆C的长轴长2a＝2|OA|＝4，A错误； 因为椭圆C短轴长为球O的直径，即2b＝2，所以b＝，所以c＝＝＝1，所以椭圆C的焦距为2c＝2，C正确；所以椭圆C的离心率e＝＝，B错误；由题图可知，椭圆C的面积大于球O大圆的面积，又球O大圆的面积S＝3π，所以椭圆C的面积大于3π，D错误．故选C． 13.如图，过椭圆上任意一点P(不同于A，B)作长轴AB的垂线，垂足为Q，则为常数k.若k＝，则该椭圆的离心率为________． 解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（图略）.设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则|PQ|＝|y|，|AQ|＝a＋x，|BQ|＝a－x，所以＝＝k，而y2＝(a2－x2)，即k＝＝1－＝1－e2，所以e＝＝＝. 答案： 14.如图，某公园将在长34 m、宽30 m的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x>0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求“挞圆”的方程； (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值． 解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34，得a＝25.所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x>0). (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0.所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34(＋)＝510，当且仅当＝，即x0＝，t＝时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510 m2. 15．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　) A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为(0，) D．若＝，则椭圆C的长半轴长为＋ 解析：选AC．对于A，由|F1F2|＝2，得F1(－1，0)，F2(1，0)，|PF2|＝1，则|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|＝2a－(|QF2|－|QP|)≥2a－|PF2|＝2a－1，当Q，F2，P三点共线且P在线段QF2上时取等号，A正确；对于B，由点P(1，1)在椭圆内部，得＋<1，则<1，有b>1，椭圆C的短轴长大于2，B错误；对于C，因为＋<1，且a2－b2＝1，于是＋<1，即a4－3a2＋1>0，解得a2>＝，即a>，因此e＝<，椭圆C的离心率的取值范围为(0，)，C正确； 对于D，由＝，得F1为线段PQ的中点，即Q(－3，－1)，则＋＝1，又a2－b2＝1，即a4－11a2＋9＝0，解得a2＝＝，则a＝，椭圆C的长半轴长为，D错误．故选AC． 16．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M(1，)，N(－，)两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(t，0)(其中0＜t＜3)的距离的最小值为1？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).因为椭圆过M，N两点，所以 解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)存在．假设存在点P(x，y)满足题设条件，所以|AP|2＝(x－t)2＋y2.因为＋＝1，所以y2＝4(1－)，所以|AP|2＝(x－t)2＋4(1－)＝(x－t)2＋4－t2.因为|x|≤3，0＜t＜3，若t≤3，即当0＜t≤时，|AP|2的最小值为4－t2，由题意得4－t2＝1，解得t＝±∉；若t＞3，即当＜t＜3，x＝3时，|AP|2取得最小值为(3－t)2，依题意得(3－t)2＝1，解得t＝4或t＝2，因为4∉(，3)，2∈(，3)，所以t＝2，此时点P的坐标是(3，0).故当t＝2时，在椭圆上存在这样的点P满足条件，点P的坐标为(3，0). 学科网（北京）股份有限公司 $