第2章 1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．2　椭圆的简单几何性质 学业标准 素养目标 1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题．(重点、难点) 1．通过椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象、数学抽象等核心素养． 2．借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 第1课时　椭圆的简单几何性质 [对应学生用书P45] 导学1　椭圆的范围、对称性、顶点 　观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ [提示]　由≤1，≤1得：－a≤x≤a，－b≤y≤b. 　如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？ [提示]　a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|. 导学2　椭圆的离心率 　观察图形，思考以下问题． (1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？ (2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？ [提示]　(1)发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同． (2)椭圆的离心率． ◎结论形成 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 __－a≤x≤a__ 且__－b≤y≤b__ __－b≤x≤b__ 且__－a≤y≤a__ 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)，__ __B1(0，－b)，B2(0，b)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)，__ __B1(－b,0)，B2(b,0)__ 轴长 短轴长＝__2b__，长轴长＝__2a__ 焦点 F1__(－c,0)__，F2__(c,0)__ F1__(0，－c)__，F2__(0，c)__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 对称性 对称轴__x轴和y轴__，对称中心__(0,0)__ 离心率 e＝　(0＜e＜1)　 [对应学生用书P45] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴有关．(　　) (2)椭圆的焦点一定在长轴上．(　　) (3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度．(　　) (4)椭圆＋＝1比椭圆＋＝1更扁一些．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(－1,0)(1,0)　　　 B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0, ) 解析　椭圆x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)． 答案　D 3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 解析　因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B． 答案　B 4．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率e＝(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析　不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 答案　C [对应学生用书P46] 题型一　由椭圆方程研究其几何性质 　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． [解析]　椭圆方程可化为＋＝1. ∵m－＝＞0，∴m＞，即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝得 ＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F1，F2； 四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2. 确定椭圆几何性质的步骤 (1)化标准，把椭圆方程化成标准形式． (2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置． (3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值． (4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质． [触类旁通] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　利用几何性质求椭圆方程 　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________． (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为____________． [解析]　(1)设椭圆G的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，则 ∴∴b2＝a2－c2＝36－27＝9， ∴椭圆G的方程为＋＝1. (2)由已知∴从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [答案]　(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1 利用性质求椭圆方程的步骤 注意：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距． [触类旁通] 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 解析　由题意，A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－1①.又a2＝b2＋c2，所以c＝1，而e＝，所以a＝3，故选B． 答案　B 题型三　求椭圆的离心率一题多变 　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率． [解析]　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)． 依题意设A点坐标为 则B点坐标为， ∴|AB|＝. 由△ABF2是正三角形得2c＝×， 即b2＝2ac， 又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2得2＋2－＝0， 解得e＝＝. [母题变式] 1．(变条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？ 解析　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，则B点坐标为， ∵B点在椭圆上，∴＋＝1， 解得y＝4b2－，由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，即c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1. 2．(变条件)本例中将条件“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率． 解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)，F2(c,0)．由题意知A在椭圆上，∴＋＝1，解得e＝. [素养聚焦]　直观想象、数学运算等核心素养在本例中得以体现． 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [触类旁通] 3．(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． (2)若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值． (1)解析　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A． 答案　A (2)解析　若焦点在x轴上， 即k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9， e2＝＝＝＝，解得k＝4. 若焦点在y轴上， 即0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8，e2＝＝＝＝，解得k＝－. 综上所述，k＝4或k＝－. 知识落实 技法强化 1．椭圆的简单几何性质． 2．由椭圆的简单几何性质求椭圆方程． 3．椭圆的离心率. 1．已知椭圆的方程讨论性质，应先化方程为标准型． 2．根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，应是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法． 3．求椭圆的离心率常用函数与方程的思想、数形结合思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$