第1章 直线与圆 章末整合提升1（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P38] [对应学生用书P38] (一)直线的方程及其应用 1．直线方程的六种形式在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论． 2．常见的直线系方程 (1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2. (2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0. 　一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程． [解析]　解法一　当直线的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，且l与已知两直线的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由此解得 ∵O是P1P2的中点，∴x1＋x2＝0， 即－＝0，解得k＝－. 当斜率不存在时，直线l是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0，－6)和，显然不满足中点是原点的条件， ∴所求的方程为y＝－x. 解法二　设过原点的直线l交已知两直线于P1，P2，且O为P1P2的中点， ∴P1与P2关于原点对称， 若设P1(x0，y0)，则P2(－x0，－y0)． ∴ ①＋②得x0＋6y0＝0. ∴点P1(x0，y0)，P2(－x0－y0)都满足方程x＋6y＝0. ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，∴所求直线l的方程即为x＋6y＝0. (二)求圆的方程 求圆的方程需要三个独立条件．待定系数法是求圆的方程的基本方法，当题设中圆心的条件明确时，常设标准方程；当题设中圆与圆心、半径关系不密切，或更突出方程的二次形式时，常设圆的一般方程． 　圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程． [解析]　解法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得解得 所以圆的方程为(x－5)2＋2＝. 解法二　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上， 得解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0. (三)直线与直线、直线(圆)与圆的位置关系(题点多探　多维探究) 1．两条直线的位置关系 (1)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2斜率都存在，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k1，k2均不存在，则两直线平行或重合． (2)当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系可利用系数关系解决．l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．直线与圆的位置关系 (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离． (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形； (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外， 则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意． (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数． 角度1　两直线的位置关系 　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则它们之间的距离为________． [解析]　由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3. 当m＝－1时， l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0. 两直线显然不重合，即l1∥l2. 当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0. 两直线重合．故m的值为－1. 即l1：x－y＋6＝0， l2：－3x＋3y－2＝0即x－y＋＝0， 故它们之间的距离为＝. [答案]　 角度2　直线与圆、圆与圆的位置关系 　(1)(2022·新高考全国卷Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． (2)过点P(－2，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B．求： ①经过圆心C，切点A，B这三点的圆的方程； ②直线AB的方程； ③线段AB的长． (1)[解析]　由图可得，两圆外切，且均与直线l1：x＝－1相切．过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，可得l与l1交点为P.由切线定理得，两圆另一公切线l2过点P，设l2：y＋＝k(x＋1)，由点到直线距离公式可得＝1，解得k＝，即l2：y＝x－.另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线l3与l垂直，解得l3：y＝－x＋. [答案]　x＝－1，或y＝x－，或y＝－x＋(答对其中之一即可) (2)[解析]　①如图所示，连接CA，CB．由平面几何知，CA⊥PA，CB⊥PB．点P，A，C，B共圆，且CP为直径．这也是过三点A，B，C的圆． 因为P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，所以所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0. ②直线AB即为这两个圆的公共弦所在直线． 由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y－25＝0. ③设AB，PC交于点Q， 则|PQ|＝＝. |CQ|＝＝. 在Rt△PCA中，因为AQ⊥PC， 由平面几何知|AQ|2＝×＝. |AB|＝2|AQ|＝2× ＝ . [对应学生用书P40] 忽略圆中变量的取值范围致误 [典例]　若动点(x，y)在圆x2＋y2－4x＝0上，求3x2＋4y2的最大值． [解析]　圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4， 所以y2＝4x－x2，x∈[0,4]． 所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64. 因为x∈[0,4]， 所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48. [纠错心得]　用函数思想求与圆有关的最值问题时，一定注意不能忽略圆上的点(x，y)中的x，y的限制条件，也就是说要注意自变量的取值范围． [对应学生用书P40] 直线与圆的方程的实际应用 [典例]　(13分)一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ [审题指导]　由于轮船沿直线返回港口，台风影响的范围是半径为30 km的圆形区域，故可建立平面直角坐标系，建立直线和圆的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系求解． [规范解答]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程 为x2＋y2＝9，(3分) 港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，(5分) 则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.(7分) 圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离 d＝＝， 而半径r＝3， ∵d＞r，(11分) ∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$