第1章 教考衔接2 巧妙转化、化难为易求解与圆有关的最值(范围)问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P37] 一、真题展示 (全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0　　　　 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 二、真题溯源 (教材P38　A组第9题)经过点A(－1,2)的直线与圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，求直线l的斜率的取值范围． 三、类法探究 纵观近几年高考及教材不难看出，对于圆的考查，重点放在与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题和长度或面积的最值问题．除以选择题、填空题的形式考查外，也有与圆锥曲线相结合考查的趋势．要求学生要有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力． 类型一　定点到圆上动点的距离的最值问题 　(1)已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值； (2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． [解析]　(1)因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离(如图)． 连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2. 则当M位于A2位置时，取得最大值，为|AC|＋r＝＋2＝7. 当M位于A1位置时，取得最小值，为|AC|－r＝－2＝3， 即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9. (2)设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. 因为|CO|2＝32＋42＝25，所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. 所以d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74. ●反思感悟 圆上的点到圆外定点的距离的最值 设圆C的半径为r，点Q为圆外一点，点P为圆C上任意一点，则|PQ|的最小值为|QC|－r，最大值为|QC|＋r.当P，Q，C三点共线，即点P与点N或点M重合时，分别取得最小值和最大值，如图所示． 类型二　可转化为点到直线的距离问题 　已知点P在圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1上，直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴的交点分别为M，N，则△PMN面积的最大值是(　　) A． B．8 C． D．9 [解析]　如图，当点P距离直线l：3x＋4y＝12的距离最大时，△PMN的面积最大． 圆C的圆心(2，－1)到直线l：3x＋4y＝12的距离d＝＝2， 则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3， 又直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴交点分别为M(4,0)，N(0,3)，所以|MN|＝5， 所以△PMN面积的最大值为S＝×5×3＝，故选A． [答案]　A ●反思感悟 已知直线l和圆C，圆C的半径为r，点P为圆C上任意一点．过圆心C作直线l的垂线，垂足为Q，交圆C于点M，N. 　 图1　　　　　　　图2　　　　　图3 (1)若直线l与圆相离或相切，则点P到直线l的距离的最小值为|NQ|＝|CQ|－r，最大值为|MQ|＝|CQ|＋r，如图1和图2所示． (2)若直线l与圆相交，则点P到直线l的距离的最小值为0，最大值为|MQ|＝|CQ|＋r，劣弧上的点到直线l的最大距离为|NQ|＝r－|CQ|，如图3所示． 类型三　与圆有关的斜率、截距的最值问题 　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． (1)求的最大值与最小值； (2)求x－2y的最大值与最小值． [解析]　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令＝k，如图所示， 则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率． 对上式整理得kx－y－k＋2＝0， ∴＝1，∴k＝， 故的最大值是，最小值是. (2)令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得． 依题意，得＝1，解得u＝－2±， 故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－. ●反思感悟 与圆有关的斜率、截距最值问题的解题策略 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$