第1章 教考衔接1 直线中的对称及其应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　　　　 [对应学生用书P23] 一、真题展示 1．(2020·山东卷)直线2x＋3y－6＝0关于点(－1，2)对称的直线方程是(　　) A．3x－2y－10＝0　　　 B．3x－2y－23＝0 C．2x＋3y－4＝0 D．2x＋3y－2＝0 2．(2022·新高考全国卷Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 二、真题溯源 1．(教材P26　B组第7题)已知直线l与直线2x－3y＋5＝0关于直线x＝1对称，求直线l的方程． 2．(教材P26　B组第8题)一条沿直线传播的光线经过点P(－2,5)和Q(1,1)，然后被x轴反射，求入射点及反射光线所在直线的方程． 三、类法探究 1．与直线有关的对称问题，主要有关于点的对称，或关于直线对称的问题． 2．与直线有关的最值问题，首先根据所求式子的特征确定其几何意义，将问题转化为两点间的距离、点到直线的距离，或利用对称知识化曲为直求最值等． 类型一　中心对称问题 　(一题多解)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)对称的直线l的方程． [解析]　解法一　设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 解法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)， 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. ●反思感悟 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得， 由得 2．直线关于点对称 直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程． 类型二　轴对称问题 　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于直线l对称的点的坐标； (2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线的方程． [解析]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 所以点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 点M′也在所求直线上， 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． ●反思感悟 1．点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直，即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1关于对称轴对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 类型三　利用对称问题求最值 　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． [解析]　(1)如图，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0，① ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0.② 由①②得∴点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知＝，当且仅当P，B′，A三点共线时，最大． 联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，即l与AB′的交点坐标为.故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于直线l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)， ∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|， 当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小． 联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝， 即AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. ●反思感悟 解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$