第1章 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学业标准 素养目标 1．了解直线与方程的对应关系，理解直线的倾斜角、斜率的概念．(难点) 2．掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系．(重点) 1．通过直线与方程的对应关系，倾斜角与斜率的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助直线的斜率与倾斜角、方向向量的应用，提升直观想象、数学运算等核心素养. [对应学生用书P1] 导学1　一次函数的图象与直线的方程 　一次函数y＝x＋1的图象是一条直线，设为l. (1)满足函数解析式y＝x＋1的每一对x，y的值都是直线l上点的坐标吗？ (2)直线l上每一点的坐标(x，y)都满足函数解析式y＝x＋1吗？ [提示]　(1)都是　(2)都满足 ◎结论形成 直线与方程的对应关系 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的__每一对x，y的值为坐标的点__构成的．同时函数解析式y＝kx＋b可以看作__二元一次__方程．在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题． 导学2　直线的倾斜角和斜率 　在平面直角坐标系中，过一点P(1,1)可以作出多少条直线？这些直线区别在哪里？ [提示]　无数条，区别是它们的倾斜程度不同． ◎结论形成 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按__逆时针方向__绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．通常倾斜角用α表示，当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)． 2．直线的斜率 在直线l上任取两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则k＝的大小与两点P1，P2在直线上的位置__无关__．称k＝　(其中x1≠x2)　为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (1)若直线l垂直于x轴，则它的斜率__不存在__；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且__唯一__． (2)斜率的意义，常用斜率来表示直线的__倾斜__程度． 导学3　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 　在直线l上取两点P1(1,1)，P2(2,2)，那么是l的一个方向向量吗？直线l的方向向量有多少个？ [提示]　是；有无数个，它们平行或共线． ◎结论形成 1．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)斜率k与倾斜角α数值关系 倾斜角不是时，斜率k和倾斜角α满足k＝tan α. (2)斜率k的符号与倾斜角α的关系 当α∈时，斜率k≥__0__，且k随倾斜角α的增大而__增大__； 当α∈时，斜率k＜__0__，且k随倾斜角α的增大而__增大__； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率__不存在__． 2．直线的斜率与方向向量、倾斜角三者之间的关系 如图，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝　　＝__tan_α(其中x1≠x2)__． 若k是直线l的斜率，则v＝__(1，k)__是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为__(x，y)__，其中x≠__0__，则它的斜率k＝　　. [对应学生用书P2] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．(　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(　　) (4)若直线l的一个方向向量的坐标为(x0，y0)，则l的斜率为.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)设一次函数y＝2x＋c(c为常数)的图象为直线l，那么直线l的一个方向向量可以为(　　) A．(1，－2)　　　　　　　 B．(1,2) C．(－2,4) D．(－2，－4) 解析　在直线l上取两点P1(1,2＋c)，P2(2,4＋c)或P3(－2，－4＋c)，P4(－4，－8＋c)，所以直线的一个方向向量为＝(1,2)或＝(－2，－4)．故选BD． 答案　BD 3．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则P点的坐标为________． 解析　设P(x，y)，则＝2且＝－2， ∴x＝1，y＝6.故P点坐标为(1,6)． 答案　(1,6) 4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a＝________. 解析　A，B，C三点共线，则kAB＝kBC，即＝，即2a＝－4(2－a)，∴a＝4. 答案　4 [对应学生用书P3] 题型一　直线的倾斜角 　(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45°　　　　　　　 B．α－135° C．135°－α D．α－45° [解析]　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选AB． [答案]　AB 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意： ①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°； ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [触类旁通] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α，故选D． 答案　D 题型二　直线的斜率、方向向量一题多变 　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？求此时直线l的一个方向向量． [解析]　(1)kMN＝＝1，解得m＝. (2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.此时l的一个方向向量为(0,1)． [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围． 解析　由题意知 解得1＜m＜2. 2．(变条件)若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”，其他条件不变，结果如何？ 解析　(1)由题意知＝1，解得m＝2. (2)由题意知m＋1＝3m，得m＝. [素养聚焦]　在研究直线斜率的过程中，体现了直观想象、数学运算等核心素养． 1．已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提条件，即只有x1≠x2时才能用斜率公式．当x1＝x2时，直线斜率不存在，直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论． 2．直线的方向向量有无数个，当直线的斜率k存在时，它的一个方向向量为(1，k)，当斜率不存在时，一个方向向量为(0,1)． [触类旁通] 2．已知直线l经过点P(1,2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为(　　) A．(－3，－4)　　　　　　　 B． C． D．± 解析　由题意，得直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，则||＝＝5，因此直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±. 答案　D 题型三　直线的倾斜角、斜率的应用 　(1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． (2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线l的斜率k的取值范围． [解析]　(1)由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝. 因为A，B，C，D四点在同一条直线上， 所以k＝2＝＝， 解得a＝4，b＝－3， 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. (2)如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线．当l在PN位置转到l′位置时，倾斜角增大到90°，k≥kPN＝.当l在l′位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，k≤kPM＝－4. 综上所述：k∈(－∞，－4]∪. 研究直线的倾斜角与斜率间的关系，在求解过程中通常是先依据题意画出草图，然后结合斜率的几何意义，利用数形结合的思想，找出斜率变化的分界点，最后依据斜率与倾斜角的关系得出正确的结论． [触类旁通] 3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 解析　如图所示．∵kAP＝＝1， kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°. [缜密思维提能区]　易错辨析 因忽略两点斜率公式的条件而致错 [典例]　求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [错解]　由斜率公式可得k＝＝. ①当m＞1时，k＝＞0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°＜α＜90°； ②当m＜1时，k＝＜0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. [正解]　当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°； 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. 当m＞1时，k＝＞0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°＜α＜90°； 当m＜1时，k＝＜0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. [纠错心得]　直线的斜率有不存在的特殊情况，所以，在求解涉及斜率的直线问题时，往往分直线斜率存在与不存在两种情况讨论． 知识落实 技法强化 1．直线的倾斜角、方向向量． 2．直线的斜率、斜率公式． 3．倾斜角和斜率的应用. 1．倾斜角α与斜率k的大小变化：k＝tan x的单调增区间不是[0，π)，而是和. 2．直线的方向向量为(m，n)不唯一，当m≠0时，k＝. 3．求直线斜率时，常用分类讨论法. 学科网（北京）股份有限公司 $$