第1章 直线与圆 章末达标检测1（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

(满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m＝(　　) A．　　　　　　　　　 B．－ C．－2 D．2 解析　由＝，得m＝. 答案　A 2．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行，知a(a－1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a＝3或a＝－2.所以“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的充分而不必要条件．故选A． 答案　A 3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－2ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋4a－11＝0，a＝2.故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，点(1，－1)与圆心的距离为1，故弦长为2＝4.故选D． 答案　D 4．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　) A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0 C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0 解析　如图所示，可知A(，0)，B(1,1)，C(0，)，D(－1,1)， 所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋.整理为一般式，即x＋(－1)y－＝0，(1－)x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0，分别对应题中的A，B，D选项，故选C． 答案　C 5．已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝4外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x＋12y＋8＝0的距离的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m，由已知得2＋＝5，解得m＝－8.因为圆心C(1,0)到直线5x＋12y＋8＝0的距离d＝＝1，所以点P到直线5x＋12y＋8＝0的距离的最大值为1＋3＝4. 答案　C 6．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值不可能是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆心C为(2,2)，半径为3，要使条件成立，设圆心到直线的距离为d，则只需要d＝≤3－2，即－2≤c≤2，所以c的取值不可能是3，故选D． 答案　D 7．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析　由x2＋y2－2ay＝0(a＞0)，得x2＋(y－a)2＝a2， ∴圆心M(0，a)，半径r1＝a. ∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝a， ∴2＝2＝2， 解得a＝2(舍负)． ∴圆心M(0,2)，半径r1＝2. 由(x－1)2＋(y－1)2＝1，得圆心N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝＝， ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2， ∴两圆相交．故选B． 答案　B 8．(2023·新课标Ⅰ卷)过点与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 解析　解法一　因为x2＋y2－4x－1＝0，即2＋y2＝5，可得圆心C，半径r＝， 过点P作圆C的切线，切点为A，B， 因为＝＝2，则＝＝， 可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝， 则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝， cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－<0， 即∠APB为钝角， 所以sin α＝sin＝sin∠APB＝. 解法二　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C，半径r＝， 过点P作圆C的切线，切点为A，B，连接AB， 可得＝＝2，则＝＝＝， 因为2＋2－2·cos∠APB＝2＋2－2·cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB， 则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos， 即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0， 即∠APB为钝角，则cos α＝cos＝－cos∠APB＝，且α为锐角， 所以sin α＝＝. 解法三　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C，半径r＝， 若切线斜率不存在，则切线方程为y＝0，则圆心到切点的距离d＝2<r，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0， 则＝，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0， 设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1， 可得＝＝2， 所以tan α＝＝，即＝，可得cos α＝， 则sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1， 且α∈，则sin α>0，解得sin α＝. 故选B． 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下列说法正确的是(　　) A．曲线W与x轴围成的面积等于2π B．曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点) C．所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 D．与的公切线方程为x＋y＝＋1 解析　如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于K，BL⊥x轴于L，则面积S＝π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，M,5个整点，故B正确；所在圆圆心为(0,1)，半径为1，故圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，C正确；设与的公切线方程为y＝kx＋b，根据图像知k＜0，则＝1，＝1，解得k＝－1，b＝＋1，即x＋y＝＋1，D正确，故选BCD． 答案　BCD 10．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 解析　要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|＝4，即直线和圆(x－5)2＋y2＝16有交点，即点M(5,0)到直线的距离小于或等于4. 点M(5,0)到直线y＝x＋1的距离为＝3＞4，不满足题意； 点M(5,0)到直线y＝2的距离为2＜4，满足题意； 点M(5,0)到直线y＝x的距离为＝4，满足题意； 点M(5,0)到直线y＝2x＋1的距离为＝＞4，不满足题意．故选BC． 答案　BC 11．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB的垂直平分线方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，kAB＝1，则线段AB垂直平分线的斜率为－1，即线段AB垂直平分线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1,0)到x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到x－y＝0的距离d＝，半径r＝1，所以P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．故选ABD． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________． 解析　解法一　因为点(3,0)和(0,1)的中点为，且过点(3,0)和(0,1)的直线的斜率为k＝－，所以点(3,0)和(0,1)的垂直平分线方程为y＝3x－4，联立方程解得圆心M(1，－1)． 又r2＝(3－1)2＋12＝5， 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 解法二　设圆心M(a,1－2a)，则r2＝(a－3)2＋(1－2a)2＝(a－0)2＋(1－2a－1)2，解得a＝1. 从而得⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 13．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程为________． 解析　由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C， 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为 (3＋)x－2y－3－＝0. 答案　(3＋)x－2y－3－＝0 14．已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________． 解析　设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点， ∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|， |PA1|＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|， ∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|. 当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|. 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知， 解得 ∴A1(0,3)． ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．求： (1)AD边所在直线的方程； (2)DC边所在直线的方程． 解析　(1)由题意知ABCD为矩形， 则AB⊥AD， 又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0， ∴AD边所在的直线的斜率kAD＝－3， 而点T(－1,1)在直线AD上， ∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0. (2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点， ∴点M到直线AB和直线DC的距离相等． 又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为x－3y＋m＝0(m≠－6)． 而M到直线AB的距离d＝＝. ∴M到直线DC的距离为， 即＝⇒m＝2或－6， 又m≠－6，∴m＝2， ∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0. 16．(15分)已知直线l：y＝x＋b及圆C：x2＋y2＝1，是否存在实数b，使自A(3,3)发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点B？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由． 解析　存在这样的实数b，且b＝4.理由：假设存在这样的实数b.点A(3,3)关于l的对称点为A′(3－b,3＋b)，∴由两点式可得反射光线所在直线的方程为(25b＋68)x＋(25b－51)y－31b－51＝0. ∵反射光线是圆的切线， ∴＝1， ∴(31b－51)2＝(25b＋68)2＋(25b－51)2， 即b2－8b＋16＝0，∴b＝4. 故存在实数b，且b＝4. 17．(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4，A为圆M上一点． (1)求|OA|的最大值； (2)设A(3,2)，点T在x轴上，若圆M上存在两点P和Q，使得＋＝，求点T的横坐标的取值范围． 解析　(1)圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为M(3,4)，半径r＝2，连接OM(图略)， 根据平面几何知识得|OA|的最大值为|OM|＋r＝＋2＝7. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(t,0)， 因为＋＝，所以(3－t,2)＋(x1－t，y1)＝(x2－t，y2)，即① 因为点Q在圆M上，所以(x2－3)2＋(y2－4)2＝4，② 将①代入②，得(x1－t)2＋(y1－2)2＝4， 所以点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆(x－t)2＋(y－2)2＝4上， 所以圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4与圆(x－t)2＋(y－2)2＝4有公共点， 所以2－2≤≤2＋2， 解得3－2≤t≤3＋2， 故点T的横坐标的取值范围是[3－2，3＋2]． 18．(17分)如图，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0，6)． (1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程； (2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程． 解析　(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0， 化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50. 所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)， 又圆N的圆心在直线y＝x上， 所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)， 则有＝， 解得a＝3， 所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝3， 故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18. (2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的， 所以CP⊥CQ. 所以点C到直线m的距离为5. 当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0. 当直线m的斜率存在时， 设直线m的方程为y＝kx＋6， 即kx－y＋6＝0. 所以＝5，解得k＝. 所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0， 即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0. 19．(17分)如图，已知定圆C；x2＋(y－3)2＝4，定直线m：x＋3y＋6＝0，过点A(－1,0)的一条动直线l与直线m相交于点N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点． (1)当l与m垂直时，求证：l过圆心C； (2)设t＝|AM|·|AN|，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由． 解析　(1)证明　由题意可知直线m的斜率k＝－， 由l与m垂直，得直线l的斜率k＝3， 所以直线l的方程为y＝3(x＋1)， 将圆心C(0,3)代入方程得3＝3(0＋1)， 所以l过圆心C． (2)t为定值，且定值为5.理由如下： ①当l的斜率不存在，即l与x轴垂直时，易得M(－1,3)，N， 则|AM|＝3，|AN|＝，此时t＝|AM|·|AN|＝5. ②当l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＝k(x＋1)， M(xM，yM)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 由消去y得(1＋k2)x2＋(2k2－6k)x＋k2－6k＋5＝0， 则xM＝＝，yM＝k(xM＋1)＝， 即M， 所以＝. 又由得N，则＝， 由题图可知， t＝|AM|·|AN|＝－·＝－＝＝5. 综上，t为定值5. 学科网（北京）股份有限公司 $$