第1章 2.2 圆的一般方程（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤1　　　　　　　 B．a＜1 C．a＞1 D．0＜a＜1 解析　由D2＋E2－4F＞0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋a)＞0，即4－4a＞0，解得a＜1，故选B． 答案　B 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　) A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0 C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0 解析　因为圆过原点，所以F＝0，又圆心在y＝x上，所以D＝E≠0. 答案　D 3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，则过M的最长的弦所在的直线方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0 解析　由题意，过M(3,0)的最长的弦所在的直线应为过M点的直径所在直线．x2＋y2－8x－2y＋10＝0的圆心为(4,1)，所以所求直线斜率为＝1，故所求直线方程为y－0＝x－3，即x－y－3＝0. 答案　B 4．已知P(a，b)是圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上的点，则a2＋b2的最小值是________． 解析　原点到圆心(1，－2)的距离为，半径r＝5，则a2＋b2最小值为(5－)2＝30－10. 答案　30－10 5．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线Dx＋Ey＋2F＋8＝0对称，则该圆的半径为________． 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，由题意， 有－－＋2F＋8＝0， 则D2＋E2－4F＝16， ∴圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的半径为r＝＝×4＝2. 答案　2 6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程． 解析　圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0， 即D＋E＝－2，① 又r＝＝， 所以D2＋E2＝20，② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－＜0， 即D＞0，所以 所以圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. [关键能力·综合提升] 7．(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0,1)，则实数a的取值可为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5.又因为弦AB的中点为M(0,1)，所以M点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2＜5－a，即a＜3.综上，a∈(－∞，3)．故选AB． 答案　AB 8．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　) A． B． C． D． 解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 答案　C 9．过点P(－5，0)作直线(1＋2m)x－(m＋1)y－4m－3＝0(m∈R)的垂线，垂足为M，已知点N(3,11)，则|MN|的取值范围是________． 解析　由直线(1＋2m)x－(m＋1)y－4m－3＝0(m∈R)得m(2x－y－4)＋(x－y－3)＝0， 令解得所以直线过定点(1，－2)，设为Q.因为M为垂足，所以△PQM为直角三角形，斜边为PQ，所以M在以PQ为直径的圆上运动，由点P(－5,0)可知以PQ为直径的圆的圆心坐标为(－2，－1)，设为C，半径r＝＝，则|MN|的取值范围为|CN|－r≤|MN|≤|CN|＋r，又因为|CN|＝＝13， 所以|MN|的取值范围是[13－，13＋]． 答案　[13－，13＋] 10．已知直线l1：x＋y－3＝0与x轴交于点A，直线l2：y＝2x与l1交于点B，点C在y轴的正半轴上，且AC＝2，求△ABC外接圆的方程． 解析　根据直线l1：x＋y－3＝0，令y＝0，得x＝3，所以A的坐标为(3,0)． 由l1与l2的方程联立方程组， 得解得 所以B的坐标为(1,2)． 设点C的坐标为(0，y)(y＞0)， 因为AC＝2，所以＝2. 解得y＝(y＞0)，所以C的坐标为(0，)． 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则解得 所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0. 答案　x2＋y2－2x－3＝0 [核心价值·探索创新] 11．已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0. (1)当a取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； (3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值． (1)解析　当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线．当a≠－1时，2＋2＝表示圆． (2)证明　方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0. 由于a取任何值，上式都成立， 则有解得或 所以曲线C必过定点A(0,0)，B. (3)解析　由(2)知曲线C过定点A，B，在这些圆中，以AB为直径的圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆的直径大于AB的长，圆的面积也大)， 从而以AB为直径的圆的方程为2＋2＝， 所以＝，＝，＝， 解得a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$