第1章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C．1 D．或－ 解析　由题意得＝，解得m＝或－. 答案　D 2．(多选)已知直线l在x轴上的截距为1.又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为(　　) A．x＝1 B．2x－y－1＝0 C．x－y－1＝0 D．2x－3y－1＝0 解析　显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1； 当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. ∵点A，B到l的距离相等， ∴＝， ∴|1－3k|＝|3k－5|，解得k＝1， ∴l的方程为x－y－1＝0. 综上可知，l的方程为x＝1或x－y－1＝0.故选AC． 答案　AC 3．如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 解析　因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y＝上．直线AB与直线x＝－平行，且两平行线间的距离为1. 又1＜＝，所以满足条件的点P有1个． 答案　B 4．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________． 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2，即|C－7|＝10. 解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 答案　4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0 5．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________． 解析　解法一　由题意可设l的方程为2x－y＋C＝0，于是有＝， 即|C－3|＝|C＋1|，解得C＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 解法二　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋C＝0，则C＝＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案　2x－y＋1＝0 6．已知直线l1：x－y＝0，l2：2x＋y－3＝0，l3：ax－2y＋4＝0. (1)若点P在直线l1上，且到直线l2的距离为3，求点P的坐标； (2)若l2∥l3，求l2与l3的距离． 解析　(1)依题意可设P(t，t)，由＝3，得|t－1|＝5，解得t＝－4或t＝6， 所以点P的坐标为(－4，－4)或(6,6)． (2)由l2∥l3得a＝－4， ∴l3：－4x－2y＋4＝0，即2x＋y－2＝0. ∴l2与l3的距离d＝＝. [关键能力·综合提升] 7．设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为(　　) A．，1 B．0,1 C．0， D．，2 解析　x2＋y2为线段AB：x＋2y＝1，x≥0，y≥0上的点与原点的距离的平方，由数形结合知，O到线段AB的距离的平方为最小值，即d2＝，与x轴的交点坐标(1,0)与原点距离的平方为最大值，即最大值为1. 答案　A 8．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A．2 B． C． D．2 解析　将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为. 答案　B 9．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为1的直线l的方程为________． 解析　由解得 所以l1，l2的交点为(1,2)． 显然，直线x＝1满足条件； 另设直线方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0， 依题意有＝1，解得k＝－. 所以所求直线方程为3x＋4y－11＝0或x＝1. 答案　3x＋4y－11＝0或x＝1 10．已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0. (1)证明：直线恒过定点P； (2)当m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，O为原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程． (1)证明　直线方程(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0， 整理得(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0， 因为对任意m等式恒成立， 所以解得 所以直线恒过定点P(－1，－2)． (2)解析　由题意得，点Q与定点P(－1，－2)的距离就是点Q到直线距离的最大值， 即＝2. 因为kPQ＝＝， 所以(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，可得－＝－，解得m＝. 综上，当m＝时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为2. (3)解析　若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，k＜0，则A，B(0，k－2)，所以S△AOB＝|k－2|＝(－k＋2)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当k＝－2时取等号，所以△AOB的面积的最小值为4，此时直线的方程为2x＋y＋4＝0. [核心价值·探索创新] 11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l边建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？ 解析　如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|＞|A′B|.因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l， 即解得即A′(3,6)． 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0， 解方程组解得 所以P点的坐标为. 故供水站应建在点P处． 此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$